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Was ist eine Potenzfunktion?

In einer Potenzfunktion steht die Variable $x$ in der Basis einer Potenz:

$f(x)=x^n$.

Im Folgenden lernst du die Eigenschaften von Potenzfunktionen für verschiedene Exponenten kennen.

Der Graph von Potenzfunktionen mit natürlichem Exponenten $n$ wird als Parabel der Ordnung $n$ bezeichnet.

Der Graph von Potenzfunktionen mit negativem ganzzahligen Exponenten $-n$ wird als Hyperbel der Ordnung $n$ bezeichnet.

Potenzfunktionen mit geradem Exponenten

Als Beispiele schauen wir uns die Funktionen $f(x)=x^2$ (grün) sowie $g(x)=x^4$ (rot) an.

3106_x_2_x_4.jpg

  • Der Definitionsbereich dieser Funktionen ist $\mathbb{D}=\mathbb{R}$.
  • Da das Potenzieren einer negativen Zahl mit einer geraden Zahl zu einer positiven Zahl führt, ist der Wertebereich dieser Funktionen $\mathbb{W}=\mathbb{R}^+_0$.
  • Die Parabeln sind achsensymmetrisch zur y-Achse.
  • Alle Parabeln haben die Punkte $P(-1|1)$, $O(0|0)$ sowie $R(1|1)$ gemeinsam.
  • Für negative $x$ ist der Funktionsgraph streng monoton fallend und für positive $x$ streng monoton steigend.
  • Alle Parabeln mit geradem Exponenten haben einen Scheitelpunkt in $O(0|0)$.
  • Die Parabel zu $f(x)=x^2$ wird als Normalparabel bezeichnet.
  • Du kannst an den beiden dargestellten Funktionen bereits erkennen, dass für alle $-1<x<1$ der Funktionsgraph für größere Exponenten flacher verläuft. Für $x<-1$ sowie $x>1$ verläuft der Funktionsgraph für größere Exponenten steiler.

Potenzfunktionen mit ungeradem Exponenten

Der Exponent 1

Die Funktion $f(x)=x$ ist ein spezielles Beispiel für eine proportionale Funktion. Allgemein sieht eine proportionale Funktion so aus $f(x)=a\cdot x$, wobei $a>0$ ist. Der Funktionsgraph einer solchen Funktion ist eine Gerade, welche durch den Koordinatenursprung $O(0|0)$ verläuft.

Hier siehst du den Funktionsgraphen der Funktion $f(x)=x$.

3106_x.jpg

Weitere Beispiele

Schauen wir uns nun noch $f(x)=x^3$ (rot) sowie $g(x)=x^5$ (blau) an.

3106_x_3_x_5.jpg

  • Der Definitionsbereich dieser Funktionen ist $\mathbb{D}=\mathbb{R}$.
  • Der Wertebereich ist $\mathbb{W}=\mathbb{R}$.
  • Die Parabeln sind punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung $O(0|0)$.
  • Alle Parabeln haben die Punkte $P(-1|-1)$, $O(0|0)$ sowie $R(1|1)$ gemeinsam.
  • Der Funktionsgraph ist streng monoton steigend für alle $x$.
  • Auch hier gilt: Für alle $-1<x<1$ verläuft der Funktionsgraph für größere Exponenten flacher. Für $x<-1$ sowie $x>1$ verläuft der Funktionsgraph für größere Exponenten steiler.

Potenzfunktionen mit negativem Exponenten

Der Funktionsgraph der Funktion

$f(x)=x^{-n}=\frac1n$

wird als Hyperbel der Ordnung $n$ bezeichnet.

Der Exponent -1

Die Funktion

$f(x)=\frac 1x$

ist ein spezielles Beispiel für eine umgekehrt proportionale oder antiproportionale Funktion.

3105_1_x.jpg

Allgemein sieht eine antiproportionale Funktion so aus:

$f(x)=\frac ax$

mit $a>0$.

Darüber hinaus kannst du auch bei negativem Exponenten zwischen geraden und ungeraden Exponenten unterscheiden:

Potenzfunktionen mit negativem geraden Exponenten

Wir schauen uns hierfür die Beispiele

$f(x)=\frac1{x^2}$ (grün) sowie $g(x)=\frac1{x^4}$ (blau) an.

3106_1_x_2_1_x_4.jpg

  • Der Definitionsbereich dieser Funktionen ist $\mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus{0}$.
  • Da das Potenzieren einer negativen Zahl mit einer geraden Zahl zu einer positiven Zahl führt, ist der Wertebereich dieser Funktionen $\mathbb{W}=\mathbb{R}^+$.
  • Die Hyperbeln sind achsensymmetrisch zur y-Achse.
  • Alle Hyperbeln haben die Punkte $P(-1|1)$ sowie $R(1|1)$ gemeinsam.
  • Für negative $x$ ist der Funktionsgraph streng monoton steigend und für positive $x$ streng monoton fallend.
  • Wenn $x$ gegen $\pm \infty$ geht, werden die Funktionswerte immer kleiner, genauer: sie gehen gegen $0$. Das bedeutet, dass die x-Achse eine waagerechte Asymptote ist.
  • Der Grenzwert für $x\to 0$, mit $x>0$ sowie $x<0$, ist $\infty$. Also ist die y-Achse eine senkrechte Asymptote.

Potenzfunktionen mit negativem ungeraden Exponenten

Nun schauen wir uns hierfür

$f(x)=\frac1{x^3}$ (blau) sowie $g(x)=\frac1{x^5}$ (grün) an.

3105_1_x_3_1_x_5.jpg

  • Der Definitionsbereich dieser Funktionen ist $\mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus{0}$.
  • Der Wertebereich dieser Funktionen ist $\mathbb{W}=\mathbb{R}\setminus{0}$.
  • Die Hyperbeln sind punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung $O(0|0)$.
  • Alle Hyperbeln haben die Punkte $P(-1|-1)$ sowie $R(1|1)$ gemeinsam.
  • Der Funktionsgraph ist streng monoton fallend für alle $x\in\mathbb{D}$.
  • Auch hier gilt: Wenn $x$ gegen $\pm \infty$ geht, werden die Funktionswerte immer kleiner, genauer: sie gehen gegen $0$. Das bedeutet, dass die x-Achse eine waagerechte Asymptote ist.
  • Der Grenzwert für $x\to 0$, mit $x>0$, ist $\infty$.
  • Der Grenzwert für $x\to 0$, mit $x<0$, ist $-\infty$. Also ist die y-Achse eine senkrechte Asymptote.

Potenzfunktionen mit rationalem Exponenten

Hier haben ausschließlich ganzzahlige Exponenten betrachtet.

Wenn bei

$f(x)=x^r$

$r$ eine rationale Zahl ist, handelt es sich hier um eine Wurzelfunktion. Dies kann man sich mit den Potenzgesetzen klarmachen.

$f(x)=x^{\frac mn}=\sqrt[n]{x^m}$.