Brüche als Exponenten
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Brüche als Exponenten Übung
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Vereinfache den Wurzelterm.
TippsVerwende die Regel
$\sqrt[n]a=a^{\frac1n}$.
Potenzen werden potenziert, indem man die Basis mit dem Produkt der Exponenten potenziert:
$\left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}$.
Wenn man die Quadratwurzel einer Zahl $a$ berechnen will, kann man umgekehrt fragen, welche Zahl quadriert $a$ ergibt.
LösungUm die Wurzel $\sqrt[4]{16^2}$ zu berechnen, wird
- zunächst die vierte Wurzel als Potenz mit dem Exponenten $\frac14$ geschrieben und
- dann die Regel angewendet, dass Potenzen potenziert werden, indem die Basis mit dem Produkt der Exponenten potenziert wird:
Nun ist eine Potenz mit dem Exponenten $\frac12$ die Quadratwurzel und damit ist
$\sqrt[4]{16^2}=\sqrt{16}=4$,
da $4^2=16$ ist.
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Vereinfache den Term so weit wie möglich.
TippsSchreibe die Quadratwurzel als Potenz mit dem passenden Bruch als Exponenten.
Potenzen werden potenziert, indem man die Basis mit dem Produkt der Exponenten potenziert:
$\left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}$.
Ein Produkt wird potenziert, indem jeder einzelne Faktor potenziert wird:
$(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n$.
LösungEs soll der Term $\sqrt{\sqrt{x^8\cdot y^4}}$ vereinfacht werden:
- man schreibt die Quadratwurzeln, sowohl die äußere als auch die innere als Potenzen mit dem Exponenten $\frac12$ und
- verwendet dann die Regel, wonach Potenzen potenziert werden, indem die Basis mit dem Produkt der Exponenten potenziert wird. Dieses Produkt ist in diesem Beispiel $\frac12\cdot \frac12=\frac14$:
Nun wird die Regel für das Potenzieren von Produkten verwendet:
$\left(x^8\cdot y^4\right)^{\frac14}=\left(x^8\right)^{\frac14}\cdot\left(y^4\right)^{\frac14}$.
Unter nochmaliger Verwendung der Regel zum Potenzieren von Potenzen führt dies zu
$\left(x^8\right)^{\frac14}\cdot\left(y^4\right)^{\frac14}=x^{8\cdot\frac14}\cdot y^{4\cdot\frac14}=x^2\cdot y$.
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Leite den Potenzterm her.
TippsEs gilt
$a^{\frac1n}=\sqrt[n] a$.
Die Regeln für Potenzen mit rationalen Exponenten lassen sich mit der obigen Regel sowie
$\left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}$
herleiten.
Für Potenzen mit negativen Exponenten gilt:
$a^{-n}=\frac1{a^n}$.
Bei der Quadratwurzel wird der Wurzelexponent nicht hingeschrieben.
LösungWurzeln lassen sich als Potenzen mit Brüchen im Exponenten wie folgt schreiben:
- $\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac mn}$ sowie
- $\frac1{\sqrt[n]{a^m}}=a^{-\frac mn}$.
- $\frac1{\sqrt[3]{c^4}}=c^{-\frac 43}$,
- $\sqrt[5]{c^2}=c^{\frac 25}$,
- $\sqrt[4]{c^3}=c^{\frac 34}$ und
- $\frac1{\sqrt{c^5}}=c^{-\frac 52}$.
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Wende die Regeln zum Rechnen mit Wurzeln und Potenzen an, um den Term umzuformen.
TippsDas Lösungswort ist ein Ausruf:
„..., wenn du alle Regeln gut gelernt hast, fällt dir diese Aufgabe leicht!“
Die Regel J kommt zweimal vor.
LösungZur Umformung des Turmes $\sqrt[3]{\left(27c^3\right)^2}$ wird zunächst die Regel O angewendet, nach der sich Wurzeln als Potenzen mit Brüchen im Exponenten schreiben lassen:
$\sqrt[3]{\left(27c^3\right)^2}=\left(\left(27c^3\right)^2\right)^{\frac13}$.
Nun wird die Regel angewendet, dass Potenzen potenziert werden, indem man die Basis mit dem Produkt der Exponenten potenziert (J):
$\left(\left(27c^3\right)^2\right)^{\frac13}=\left(27c^3\right)^{2\cdot \frac13}=\left(27c^3\right)^{\frac23}$.
Da $27=3^3$ ist kann der Term $27c^3$ zu $(3c)^3$ zusammengefasst werden (A), es gilt also:
$\left(27c^3\right)^{\frac23}=\left((3c)^3\right)^{\frac23}$.
Nun kann wieder die Regel zum Potenzieren von Potenzen (J) angewendet werden:
$\left((3c)^3\right)^{\frac23}=(3c)^{3\cdot\frac23}=(3c)^2$.
Unter nochmaliger Anwendung der Regel zum Potenzieren von Produkten (A) erhält man:
$(3c)^2=9c^2$.
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Erkläre, wie Potenzen mit Brüchen im Exponenten in Wurzeln umgeformt werden können.
TippsEs ist $4^{\frac32}=\sqrt[2]{4^3}$.
$27^{\frac25}$ lässt sich auch als Wurzel schreiben: $\sqrt[5]{27^2}$.
LösungWas passiert mit dem Zähler und Nenner des Exponenten beim Potenzieren mit Brüchen?
- Der Zähler des Exponenten ist der Exponent des Radikanden, des Terms unter der Wurzel, und
- der Nenner ist die Zahl, die über der Wurzel steht. Man nennt diese Zahl auch den Wurzelexponenten.
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Leite eine Formel für $\sqrt[n]{\sqrt[m]a}$ her.
TippsPotenzen werden potenziert, indem man die Basis mit dem Produkt der Exponenten potenziert:
$\left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}$.
Wurzeln können als Potenzen mit Brüchen als Exponenten geschrieben werden.
Es gilt
$\sqrt[n]a=a^{\frac1n}$.
LösungEs soll nachgewiesen eine Vereinfachung für das mehrfache Anwenden von Wurzeln hergeleitet werden.
Diese Regel entspricht der Regel, dass Potenzen potenziert werden, indem die Basis mit dem Produkt der Exponenten potenziert wird.
Da eine Wurzel als Potenz geschrieben werden kann, lässt sich eine solche Regel wie folgt herleiten:
$\large{\begin{align*} \sqrt[n]{\sqrt[m]a}&=\left(\sqrt[m]a\right)^{\frac1n}\\ &=\left(a^{\frac1m}\right)^{\frac1n}\\ &=a^{\frac1m\cdot\frac1n}\\ &=a^{\frac1{m\cdot n}}\\ &=\sqrt[m\cdot n]a \end{align*}}$
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