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Histogramme erstellen 09:09 min

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Transkript Histogramme erstellen

Hallo, ich bin Lennart. Und heute erkläre ich dir, wie du selbst ein Histogramm erstellen kannst. Dafür gebe ich dir erst eine Einleitung zum Thema Histogramme, in der ich dir erklären werde, was ein Histogramm ist. Danach zeige ich dir, wie man ein Histogramm erstellt. Zum Schluss werde ich alles Gelernte zusammenfassen. Um dir das Histogramm nahezubringen, habe ich ein Beispiel vorbereitet. Betrachten wir einen Judoverein. Für die Mitgliederstatistik im Jugendbereich wurden alle Kinder und Jugendliche im Verein gezählt und nach Alter sortiert in eine Liste geschrieben. Da diese Liste sehr unübersichtlich ist, fasst man die Kinder und Jugendlichen in Altersklassen zusammen. Aus diesen Werten kann man nun die jeweiligen relative Häufigkeiten der Altersklassen berechnen, also den Anteil der jeweiligen Altersklassen an allen Kindern und Jugendlichen im Verein. Dies kann man nun in einem Säulendiagramm darstellen. Dabei sind die Altersklassen auf der x-Achse und die relative Häufigkeiten auf der y-Achse. Allerdings wird in diesem Säulendiagramm nicht deutlich, dass die Altersklassen unterschiedlich groß sind. Eine andere Möglichkeit wäre es, die relativen Häufigkeiten als Flächen von Rechtecken darzustellen. Wenn man dies tut, entsteht ein Histogramm. Dabei entsprechen die Flächeninhalte der Säulen den relativen Häufigkeiten der Klassen. Auf der y-Achse ist die sogenannten relative Häufigkeitsdichte. Die relative Häufigkeitsdichte ist der Quotient aus der relativen Häufigkeit der Klassen und der Klassenbreite. Doch man muss vorsichtig mit der Wahl der Klassen sein. Denn bei unterschiedlichen Klassenwahlen können ganz unterschiedliche Histogramme entstehen. Wählt man zum Beispiel für dieselben Daten die zwei Klassen der Sieben- bis 17-jährigen und der 18- bis 20-jährigen, erhält man dieses Histogramm. Beide Histogramme wurden aus denselben Daten erstellt, geben aber Anlass zu ganz unterschiedlichen Interpretationen. Es empfiehlt sich, die Klassenbreite gleichmäßig zu wählen, um die Klassen auch sinnvoll vergleichen zu können. Doch, wie erstellt man solch ein Histogramm? Das zeige ich dir an folgendem Beispiel: Klaus hat seine Freunde befragt, wie viel Taschengeld jeder bekommt und das in einer Tabelle notiert. Dabei hat er bereits eine Klasseneinteilung vorgenommen. Demnach bekommen drei seiner Freunde null bis 15 Euro Taschengeld. Vier seiner Freunde bekommen 15 bis 20 Euro, sechs bekommen 20 bis 25 Euro, vier bekommen 25 bis 35 Euro und drei sogar 35 bis 50 Euro. Um aus dieser Tabelle ein Histogramm zu erstellen, müssen wir allerdings noch ein paar Rechnungen durchführen. Dazu benötigen wir als Erstes die relativen Häufigkeiten der einzelnen Klassen. Diese berechnest du, indem du die absolute Häufigkeit für eine Klasse durch die Summe der absoluten Häufigkeiten teilst. Die Summe aus allen absoluten Häufigkeiten beträgt 20. Also teilst du drei durch 20 und erhältst 0,15. Vier geteilt durch 20 ergibt 0,2. Sechs geteilt durch 20 ergibt 0,3. Vier geteilt durch 20 haben wir schon gerechnet, das sind 0,2. Und drei geteilt durch 20 haben wir ebenfalls bestimmt: 0,15. Damit du ein Histogramm erstellen kannst, benötigst du die Klassenbreiten der einzelnen Klassen. Dafür musst du die untere Klassengrenze von der oberen subtrahieren. Demnach hat die erste Klasse eine Breite von 15 minus null, also 15. Die zweite Klasse hat eine Breite von fünf. Die dritte hat ebenfalls eine Breite von fünf. Die vierte Klasse hat eine Breite von zehn und die letzte Klasse hat eine Breite von 15. Des Weiteren musst du jeweils noch die relative Häufigkeitsdichte berechnen, um die Säulenhöhe anzugeben und schließlich zeichnen zu können. Diese erhältst du, indem du die relative Häufigkeit durch die Klassenbreite teilst. Also rechnen wir: 0,15 geteilt durch 15 ergibt 0,01. 0,2 geteilt durch fünf ergibt 0,04. 0,3 geteilt durch fünf ergibt 0,06. 0,2 geteilt durch zehn ergibt 0,02. Und 0,15 geteilt durch 15 ergibt 0,01. Nun kann ich beginnen, das Histogramm zu zeichnen. Ich fange mit dem Koordinatensystem an. Auf die x-Achse kommt die Klasse, also hier das Taschengeld in Euro. Ich überlege mir, dass ich genügend Platz benötige, um Klassen bis 50 Euro einzuzeichnen. Deshalb entscheide ich mich, dass 5 cm auf dem Whiteboard 10 Euro entsprechen und zeichne die x-Achse. Auf die y-Achse schreibe ich die relative Häufigkeitsdichte. Bei der Skalierung beachte ich die höchste Häufigkeitsdichte aus meiner Tabelle. In diesem Beispiel ist dies 0,06. Deshalb entscheide ich mich, dass 5 cm auf meinem Whiteboard einer Häufigkeitsdichte von 0,01 entsprechen und zeichne die y-Achse. Nachdem ich das Koordinatensystem gezeichnet habe, beginne ich, die Klassenbreite zu markieren. Die erste Klasse geht von null bis 15 Euro, die zweite von 15 bis 20 Euro, die dritte von 20 bis 25 Euro, die vierte von 25 bis 335 Euro und die letzte geht von 35 bis 50 Euro. Jetzt markiere ich die Höhe der Säulen. Dafür mache ich für jede Klasse einen Punkt bei der jeweiligen relativen Häufigkeitsdichte. Also ein Punkt bei 0,01 für die erste Klasse, bei 0,04 für die zweite Klasse, bei 0,06 für die dritte Klasse, bei 0,02 für die vierte und bei 0,01 für die letzte Klasse. Als Letztes zeichne ich nur noch die Säulen ein. Dabei sind die Höhen der Säulen durch die Punkte gegeben und die Breite der Säulen ist durch die Klassenbreite gegeben. Färben darfst du die Säulen in einer Farbe deiner Wahl. Klaus kann jetzt erkennen, dass er mit seinen 15 Euro Taschengeld eher unterbezahlt ist und wird mit diesem Histogramm gute Chancen haben, mit seinen Eltern das Taschengeld neu zu verhandeln. Ich fasse einmal alles Gelernte zusammen: Ein Histogramm stellt relative Häufigkeiten von gegebenen Daten graphisch dar. Dabei werden die Daten zu Klassen zusammengefasst und der Flächeninhalt der Säulen stellt die relative Häufigkeit der jeweiligen Klasse dar. Ein Histogramm erstellst du wie folgt: Zuerst berechnest du die relativen Häufigkeiten der Klassen. Dies machst du, indem du die absoluten Häufigkeiten durch die Summe aller absoluten Häufigkeiten teilst. Als Nächstes berechnest du die relative Häufigkeitsdichte der Klassen. Dafür teilst du die relative Häufigkeiten der Klassen durch ihre Klassenbreite. Nun kannst du das Koordinatensystem zeichnen. Dabei werden die Klassen auf die x-Achse und die Häufigkeitsdichten auf die y-Achsen geschrieben. Für die Skalierung solltest du die größten Werte und die Abstände auf den jeweiligen Achsen berücksichtigen. Jetzt zeichnest du die Häufigkeitsdichten der Klassen als Punkte im Koordinatensystem, damit du als Nächstes die Säulen einzeichnen kannst. Dabei markieren die gezeichneten Punkte die Höhe und die Klassen die Breite der Säulen. Ich hoffe, du hast alles verstanden, tschüs und bis zum nächsten Mal!

5 Kommentare
  1. 👍🏻Super erklärt

    Von Franz Kern, vor 11 Monaten
  2. Hey,
    Würde mich freuen wenn du noch ein Video zum Streifendiagramm (Blockdiagramm) machst. ^^

    Von Marie B., vor mehr als einem Jahr
  3. Super erklärt 😄👍🏻

    Von Alma-Victoria L., vor mehr als einem Jahr
  4. Aha!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

    Von Nochoi, vor fast 2 Jahren
  5. Bei 1:46 unten bei der Formel, steht "REALTIVE Häufigkeit/Klassenbreite" anstatt "RELATIVE Häufigkeit/Klassenbreite" :)

    Von Jessy ღ., vor fast 2 Jahren

Histogramme erstellen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Histogramme erstellen kannst du es wiederholen und üben.

  • Schildere, warum Histogramme sinnvoll sind.

    Tipps

    Der y-Achse kommt bei Histogrammen eine andere Bedeutung zu als bei normalen Säulendiagrammen.

    Bei einem normalen Säulendiagramm wird einer Klasse die relative Häufigkeit zugeordnet. Bei Histogramme spielt die relative Häufigkeit aber nach wie vor ein Rolle.

    Lösung

    Histogramme dienen dazu, gegebene Daten sinnvoll darzustellen. Ein Vorteil gegenüber typischen Säulendiagrammen ist, dass Histogramme unterschiedlich breite Säulen aufweisen können, welche die verschiedenen Größen von Klassen berücksichtigen.

    Diese Eigenschaft ist immer dann besonders interessant, wenn Klassen gebildet werden. Eine Klasse kann beispielsweise die Gruppe der 14- bis 16-Jährigen sein. In diesem Fall spricht man von einer Altersklasse. Soll diese Altersklasse mit der Gruppe der 9- bis 10-Jährigen verglichen werden, so haben wir nun die Möglichkeit, dass die eine Klasse über eine breitere Säule verfügt als die andere. So erkennen wir im Diagramm sofort, dass eine Klasse größer oder kleiner ist als die andere.

    Bei einem Histogramm werden die relativen Häufigkeiten als Flächen von Rechtecken dargestellt. Auf der y-Achse ist die sogenannte relative Häufigkeitsdichte. Diese lässt sich durch den folgenden Quotienten berechnen:

    $\large{relative~Häufigkeitsdichte = \frac{relativer~Häufigkeit}{Klassenbreite}}$.

    Histogramme bieten noch mehr als Säulendiagramme die Möglichkeit, aus denselben Daten verschiedene graphische Darstellungen zu erstellen. Da diese auch unterschiedlich interpretierbar sind, ist es stets wichtig, eine sinnvolle Klassenbreite zu wählen.

  • Erstelle ein Histogramm für gegebene Klassen mit zugehörigen absoluten Häufigkeiten.

    Tipps

    Bevor du dich an das Zeichnen eines Koordinatensystems machst, solltest du dir eine sinnvolle Skalierung überlegt haben.

    Eine sinnvolle Skalierung kannst du bestimmen, indem du zuvor die notwendigen Informationen berechnet hast.

    Gewisse Werte lassen sich erst ermitteln, nachdem du andere Werte berechnet hast.

    Lösung

    Histogramme sind in der Lage, relative Häufigkeiten von gegebenen Daten graphisch darzustellen. Dabei werden die Daten zu Klassen zusammengefasst.

    Die Säulen eines Histogramms sind im Gegensatz zum normalen Säulendiagramm nicht gleichmäßig breit sondern von unterschiedlicher Breite. Dabei stellen die Flächeninhalte der Säulen die relativen Häufigkeiten dar.

    Um ein Histogramm zu erstellen, braucht man neben den Daten, die einem zur Verfügung stehen, noch weitere Informationen. Diese lassen sich aber aus dem vorliegenden Datenmaterial ermitteln. Häufig steht neben den Klassen nämlich eine absolute Häufigkeit.

    1. Im ersten Schritt berechnen wir dann aus der absoluten Häufigkeit die relative Häufigkeit. Klassischerweise erhalten wir diese, indem wir die jeweilige absolute Häufigkeit durch die Summe aller absoluten Häufigkeiten dividieren.
    2. Da in Histogrammen an der y-Achse nicht die relative Häufigkeit sondern die relative Häufigkeitsdichte steht, müssen wir auch diese noch berechnen. Diese ist nichts anderes als die relative Häufigkeit in Abhängigkeit von der jeweiligen Klassenbreite. Daher teilen wir für die relative Häufigkeitsbreite auch die relative Häufigkeit durch die Klassenbreite.
    3. Nun da wir eine wichtige Komponente ermittelt haben, kann das Koordinatensystem gezeichnet werden. Dazu zeichnen wir auf der x-Achse die gegebenenfalls verschieden breiten Klassen ein und auf der y-Achse die relative Häufigkeitsdichte. Für die richtige Skalierung gilt es zu berücksichtigen, dass die Einheiten und Abstände gemäß der größten vorliegenden Werte zu wählen sind.
    4. Im vorletzten Schritt können die jeweiligen Häufigkeitsdichten als Punkte über die einzelnen Klassen im Koordinatensystem eingezeichnet werden.
    5. Zuletzt zeichnen wir noch die Säulen, wobei die eben eingezeichneten Punkte die Höhe und die Klassen die Breite der Säulen bestimmen. Optional können die Säulen noch farbig gestaltet werden.
  • Arbeite heraus, wie viele Kinder in die jeweiligen Klassenstufen gehen.

    Tipps

    Die Informationen über die relative Häufigkeit gehen in einem Histogramm nicht verloren.

    Da du die jeweiligen relativen Häufigkeitsdichten sowie die Klassenbreiten kennst, lassen sich auch die jeweiligen relativen Häufigkeiten berechnen.

    Die Formel dafür lautet:

    $\large{\text{relative Häufigkeit}} =\text{relative Häufigkeitsdichte} \cdot \text{Klassenbreite}$.

    Lösung

    Wir wollen anhand des vorliegenden Histogramms die absoluten Häufigkeiten der jeweiligen Klassen ermitteln.

    Dabei müssen wir lediglich die Schritte, welche wir bisher auf dem Weg zum Histogramm gegangen sind, umkehren. Wir hatten bisher die relative Häufigkeitsdichte als Quotienten aus relativer Häufigkeit und Klassenbreite berechnet. Da sich zwei der drei Angaben aus dem Hisotgramm ablesen lassen, können wir die uns bereits bekannte Formel benutzen.

    $\small{relative~Häufigkeitsdichte} = \large{\frac{relative~Häufigkeit}{Klassenbreite}}$

    Es ergibt sich somit für die erste Säule, welche die Klasse der Kinder kennzeichnet, die in der 2. bis 5. Klasse sind, aus $0,125 = \large{\frac{relative~Häufigkeit}{4}}$ die gesuchte relative Häufigkeit. Sie beträgt 0,5. Da wir die Summe aller absoluten Häufigkeiten kennen, können wir auch die absolute Häufigkeit für diese Klasse ausrechnen. Es gehen von den acht Kinden der Familie Fleißig $0,5 \cdot 8 = 4$ in die 2. bis 5. Klasse.

    Wollen wir die absolute Häufigkeit derjenigen Kinder berechnen, die in die 6., 7. oder 8. Klasse gehen, so ermitteln wir wiederum zunächst die relative Häufigkeit mittels der obigen Formel. So haben wir $0,125 = \large{\frac{relative~Häufigkeit}{3}}$ und es ergibt sich die relative Häufigkeit $0,375$. Da $0,375 \cdot 8 = 3$ ist, gehen 3 Kinder in die 6. bis 8. Klassenstufe.

    Es bleibt ein Kind übrig, welches in die 9. Klasse geht. Dies ließe sich durch eine analoge Rechnung zeigen.

  • Berechne die fehlenden Werte für das Histogramm.

    Tipps

    Um die relative Häufigkeit einer jeweiligen Klasse zu ermitteln, wird die jeweilige absolute Häufigkeit durch die Summe aller absoluten Häufigkeiten dividiert, also

    $relative~Häufigkeit = \large{\frac{absolute~Häufigkeit}{Summe~aller~absoluten~Häufigkeiten}}$.

    Die Klassenbreite hängt mit dem Intervall zusammen.

    Um die jeweilige relative Häufigkeitsdichte zu ermitteln, teilst du die jeweilige relative Häufigkeit durch die entsprechende Klassenbreite.

    Lösung

    Klaus möchte ein Histogramm erstellen, mit welchem er seine Eltern zu mehr Taschengeld überreden kann. Ein Histogramm bietet sich hier mehr an als ein einfaches Säulendiagramm, da die Klassen unterschiedlich groß sind. So hat er beispielsweise eine Klasse, welche die Freunde beinhaltet, die zwischen 0 und 15 Euro erhalten. Andererseits hat er auch eine Klasse von Freunden, die zwischen 15 und 20 Euro bekommen.

    Mit einem Histogramm kann er die Säulen dieser beiden Klassen nun unterschiedlich breit darstellen. In diesem Fall müssen die relativen Häufigkeiten aber auch in Abhängigkeit von der Klassenbreite, also der Größe der Klasse, genannt werden. Dies wird dann relative Häufigkeitsdichte genannt und lässt sich durch

    $\small{relative~Häufigkeitsdichte} = \large{\frac{relative~Häufigkeit}{Klassenbreite}}$

    berechnen.

    Führen wir dies am Beispiel der Klasse durch, welche die Freunde beinhaltet, die zwischen 0 und 15 Euro erhalten. Dieser Klasse gehören 3 Freunde an. Die absolute Häufigkeit dieser Klasse ist also 3. Da er insgesamt 20 Freunde befragt hat, beträgt die relative Häufigkeit $\frac{3}{20}= 0,15$. Da die Klassenbreite $15-0=15$ beträgt, lautet die relative Häufigkeitsdichte $\frac{0,15}{15}= 0,01$.

    Anhand der folgenden Tabelle kann Karl sein Histogramm erstellen.

    $\large{\begin{array}{c|c|c|c|c|c} t~in~€& 0-15 & 15-20 & 20-25 & 25-35 & 35-50\\ \hline abs & 3 & 4 & 6 & 4 & 3\\ \hline rel & 0,15 & 0,2 & 0,3 & 0,2 & 0,15\\ \hline K& 15& 5 & 5 & 10 &15\\ \hline D & 0,01 &0,04 & 0,06 & 0,02 & 0,01\\ \end{array}}$

  • Ermittle die relative Häufigkeitsdichte.

    Tipps

    Um ein Histogramm zu erstellen, wird die relative Häufigkeitsdichte benötigt.

    Diese lässt sich durch den Quotienten $\Large{\frac{relative~Häufigkeit}{Klassenbreite}}$ berechnen.

    Die Klassenbreite ist die Differenz des rechten Intervallwertes und des linken Intervallwertes.

    Lösung

    Auf dem Weg, ein Histogramm zu erstellen, müssen einige Überlegungen angestellt werden. Ausgehend von der jeweiligen absoluten Häufigkeit müssen zunächst einerseits die relativen Häufigkeiten berechnen werden, andererseits auch die Klassenbreiten ermittelt werden. Ist dies getan, kann die jeweilige relative Häufigkeitsdichte berechnet werden.

    Insgesamt hat Karoline 20 Freundinnen und Freunde befragt. Die Summe der absoluten Häufigkeiten ist also 20. Davon sind 5 Kinder zwischen 150 und 160 cm groß. Die relative Häufigkeit dieser Klasse ist also $\frac{5}{20} = \frac{1}{4} = 0,25$. Da die Klassenbreite 10 beträgt, kann die relative Häufigkeitsdichte berechnet werden. Dazu verwendet wir die folgende Formel:

    $\small{relative~Häufigkeitsdichte} = \large{\frac{relative~Häufigkeit}{Klassenbreite}}$.

    Die relative Häufigkeitsdichte beträgt also $\frac{0,25}{10} = \frac{1}{40} = \frac{15}{600}$.

    Analog kann zu den übrigen Klassen verfahren werden.

  • Ermittle das Histogramm, welches zum abgebildeten Säulendiagramm passt.

    Tipps

    Die absoluten Häufigkeiten lassen sich aus dem Säulendiagramm ablesen.

    Anhand derer lassen sich alle weiten notwendigen Angaben berechnen.

    Die relative Häufigkeitsdichte ist der Quotient aus relativer Häufigkeit und Klassenbreite.

    Lösung

    Dem Säulendiagramm sind alle Daten zu entnehmen, die wir benötigen, um ein Histogramm zu erstellen. Wir können die einzelnen absoluten Häufigkeiten der verschiedenen Noten ablesen.

    So hatte Grethe in ihrem Zeugnis eine „Eins“, drei „Zweien“, vier „Dreien“, eine „Vier“ und ebenfalls eine „Fünf“. Das ergibt folgende Tabelle, die wir dann anhand der „Einsen“ und „Zweien“ illustrieren wollen.

    $\begin{array}{c|c|c|c} \text{Notenklasse} & \text{Einsen/Zweien} & \text{Dreien/Vieren} & \text{Fünfen}\\ \hline \text{absolute Häufigkeit} & 4 & 5 & 1\\ \hline \text{relative Häufigkeit} & 0,4 & 0,5 & 0,1\\ \hline \text{Klassenbreite} & 2 & 2 & 1\\ \hline \text{rel. Häufigkeitsdichte} & 0,2 & 0,25 & 0,1\\ \end{array}$

    Von den „Einsen“ und „Zweien“ gibt es zusammen vier Stück. Deren relative Häufigkeit ist also $\frac{4}{10}= 0,4$. Die Klassenbreite ist 2, da sich die Breite aus zwei Noten zusammensetzt. Im Gegensatz dazu hat die „Fünf“ nur eine Klassenbreite von 1. Mithilfe der relativen Häufigkeit und der Klassenbreite lässt sich nun die relative Häufigkeitsdichte berechnen, und zwar $\frac{0,4}{2} = 0,2$. Dies lässt sich auch aus dem Histogramm ablesen.