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Logarithmusgesetze – Übung

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Steph Richter
Logarithmusgesetze – Übung
lernst du in der Sekundarstufe 3. Klasse - 4. Klasse

Grundlagen zum Thema Logarithmusgesetze – Übung

Logarithmusgesetze – Einstieg

Wie bei vielen anderen Themen in der Mathematik gibt es auch für die Rechnung mit dem Logarithmus einige Regeln und Gesetze. Was solltest du vorweg schon wissen?

  • Was Logarithmen eigentlich sind, wie der Logarithmus definiert ist und wie die einzelnen Bestandteile im Logarithmus heißen.
  • Was hinter einer Potenz steckt und wie diese berechnet werden kann.

Wie so oft bei Regeln in der Mathematik gilt: Sie wirken erst einmal komplex, sind aber in der Anwendung hilfreich und vereinfachen viele Rechenwege sehr.

Logarithmen addieren – Produktregel

Als erstes wollen wir uns auf die Addition von Logarithmen konzentrieren. Dabei gilt:

Der Logarithmus eines Produkts ist gleich die Summe der Logarithmen der beiden Faktoren:

$\log_{\color{#008000}{b}}{(\color{#FF0000}{P} \cdot \color{#0000FF}{Q}})=\log_{\color{#008000}{b}}{\color{#FF0000}{P}} + \log_{\color{#008000}{b}}{\color{#0000FF}{Q}}$

Anhand einiger Beispiele soll das nachfolgend etwas deutlicher werden:

$\log_{\color{green}{2}}{(\color{red}{4} \cdot \color{#0000FF}{8}})=\log_{\color{green}{2}}{\color{red}{4}} + \log_{\color{green}{2}}{\color{#0000FF}{8}} = 2+3 = 5$

$\log_{\color{green}{5}}{(\color{red}{25} \cdot \color{#0000FF}{125}})=\log_{\color{green}{5}}{\color{red}{25}} + \log_{\color{green}{5}}{\color{blue}{125}} = 2+3 = 5$

Das Gesetz kann auch andersherum angewendet werden. Dabei musst du aber immer darauf achten, dass die Basis der Logarithmen tatsächlich dieselbe ist:

$\log_{\color{green}{4}}{\color{red}{8}} + \log_{\color{green}{4}}{\color{blue}{2}} =\log_{\color{green}{4}}{(\color{red}{8} \cdot \color{blue}{2}})=\log_{\color{green}{4}}{16}=2$

Natürlich kommt es eher selten vor, dass in einer Rechnung direkt ein Produkt im Logarithmus steht. Daher ist es hilfreich, wenn ein Logarithmus einer großen Zahl gebildet werden soll, zunächst zu schauen, ob man daraus ein Produkt bilden könnte. Das kann dir helfen, den Logarithmus im Kopf zu lösen. Ein Beispiel soll dir das verdeutlichen:

$\log_{8}{512} = \log_{8}{(8 \cdot 64)} = \log_{8}{8} + \log_{8}{64}=1+2=3$

Versuch die nachfolgenden Aufgaben einmal selbstständig zu lösen.

$\log_{4}{256}$
$\log_{6}{1296}$
$\log_{3}{729}$
$\log_{9}{3}+ \log_{9}{27}$
$\log_{2}{0{,}5}+ \log_{2}{64}$
$\log_{6}{72} + \log_{6}{3}$

Logarithmen subtrahieren – Quotientenregel

Als nächstes wollen wir uns die Subtraktion von Logarithmen anschauen. Dabei gilt:

Der Logarithmus eines Bruchs ist gleich die Differenz der Logarithmen von Zähler und Nenner:

$\log_{\color{#008000}{b}}{\left(\frac{\color{#FF0000}{P}}{ \color{#0000FF}{Q}}\right)}=\log_{\color{#008000}{b}}{\color{#FF0000}{P}} - \log_{\color{#008000}{b}}{\color{#0000FF}{Q}}$

Anhand einiger Beispiele soll das nachfolgend etwas deutlicher werden:

$\log_{\color{green}{2}}{\left(\frac{\color{#FF0000}{32}}{ \color{#0000FF}{8}}\right)}=\log_{\color{green}{2}}{\color{red}{32}} - \log_{\color{green}{2}}{\color{#0000FF}{8}} = 5-3=2$

$\log_{\color{green}{3}}{\left(\frac{\color{#FF0000}{3}}{ \color{#0000FF}{27}}\right)}=\log_{\color{green}{3}}{\color{red}{3}} - \log_{\color{green}{3}}{\color{blue}{27}} = 1-3= -2 $

Auch dieses Gesetzt kann andersherum angewendet werden (auch hier müssen dafür die Basen der Logarithmen identisch sein):

$\log_{\color{green}{2}}{\color{red}{24}} - \log_{\color{green}{2}}{\color{blue}{12}} = \log_{\color{green}{2}}{\left(\frac{\color{#FF0000}{24}}{ \color{#0000FF}{12}}\right)}=\log_{\color{green}{2}}{2}=1 $

Jetzt bist du wieder dran! Löse die nachfolgenden Aufgaben selbstständig.

$\log_{2}{\left(\frac{1}{64}\right)}$
$\log_{3}{\left(\frac{9}{27}\right)}$
$\log_{6}{\left(\frac{216}{36}\right)}$
$\log_{12}{432} - \log_{12}{3}$
$\log_{4}{2} - \log_{4}{8}$

Hinweis: Alternativ können die Brüche natürlich auch für den Lösungsweg gekürzt werden.

Logarithmus einer Potenz – Potenzregel

Zum Abschluss schauen wir uns an, wie man den Logarithmus einer Potenz umschreiben kann.

Der Logarithmus einer Potenz ergibt sich als Produkt aus dem Exponenten und dem Logarithmus der Basis der Potenz.

$\log_{\color{#008000}{b}}{\color{#FF0000}{P}^\color{#0000FF}{n}}={\color{#0000FF}{n}} \cdot \log_{\color{#008000}{b}}{\color{#FF0000}{P}}$

Die nachfolgenden Beispiele sollen dir das deutlicher machen:

$\log_{\color{#008000}{3}}{\color{#FF0000}{27}^\color{#0000FF}{7}}= {\color{#0000FF}{7}} \cdot \log_{\color{#008000}{3}}{\color{#FF0000}{27}} = 7 \cdot 3 = 21$

$\log_{\color{#008000}{9}}{\color{#FF0000}{81}^\color{#0000FF}{5}}= {\color{#0000FF}{5}} \cdot \log_{\color{#008000}{9}}{\color{#FF0000}{81}} = 5 \cdot 2 = 10$

Andersherum kann das Gesetz wie folgt angewendet werden:

${\color{#0000FF}{6}} \cdot \log_{\color{#008000}{8}}{\color{#FF0000}{2}} =\log_{\color{#008000}{8}}{\color{#FF0000}{2}^\color{#0000FF}{6}}=\log_{\color{#008000}{8}}{64}=2$

Wie bei den anderen beiden Rechenregeln darfst du dich jetzt auch wieder an ein paar Aufgaben versuchen!

$\log_{2}{\left(64^{3}\right)}$
$\log_{5}{\left(125^{3}\right)}$
$\log_{10}{\left(100^{10}\right)}$
$6 \cdot \log_{4}{2}$
$2 \cdot \log_{3}{9}$

Logarithmusgesetze – Zusammenfassung

Das waren jetzt ganz schön viele Zahlen und Regeln. Nun sollten dir Logarithmus-Aufgaben einfacher fallen!

Zur Wiederholung:

  • Der Logarithmus eines Produkts ist gleich die Summe der Logarithmen der beiden Faktoren (Produktregel):

$\log_{\color{#008000}{b}}{(\color{#FF0000}{P} \cdot \color{#0000FF}{Q}})=\log_{\color{#008000}{b}}{\color{#FF0000}{P}} + \log_{\color{#008000}{b}}{\color{#0000FF}{Q}}$

  • Der Logarithmus eines Bruchs ist gleich der Differenz der Logarithmen von Zähler und Nenner (Quotientenregel):

$\log_{\color{#008000}{b}}{\left(\frac{\color{#FF0000}{P}}{ \color{#0000FF}{Q}}\right)}=\log_{\color{#008000}{b}}{\color{#FF0000}{P}} - \log_{\color{#008000}{b}}{\color{#0000FF}{Q}}$

  • Der Logarithmus einer Potenz ergibt sich als Produkt aus dem Exponenten und dem Logarithmus der Basis der Potenz (Potenzregel):

$\log_{\color{#008000}{b}}{\color{#FF0000}{P}^\color{#0000FF}{n}}={\color{#0000FF}{n}} \cdot \log_{\color{#008000}{b}}{\color{#FF0000}{P}}$

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Vorschaubild einer Übung

Transkript Logarithmusgesetze – Übung

Hi! In diesem Video üben wir ein paar Logarithmusaufgaben, ganz ohne Taschenrechner. Wir brauchen dafür einmal die drei Gesetze:   * aus Mal wird Plus * aus Geteilt wird Minus * und aus Hoch wird Mal   Außerdem müssen wir noch wissen, dass wenn Numerus und Basis übereinstimmen, also zum Beispiel bei Logarithmus von a zur Basis a, dann erhalten wir immer gleich 1. Und jetzt ist noch wichtig, dass der Logarithmus von 2 zur Basis 10 gleich 0,301 usw., also ungefähr 0,3 ergibt. Wir werden die Aufgaben jetzt nämlich so aufteilen, dass wir immer gleichen Numerus und gleiche Basis haben und zusätzlich noch den Logarithmus von 2 zur Basis 10. Ich zeige es euch gleich.   Kommen wir direkt zur ersten Aufgabe: Logarithmus von 200 zur Basis 10. Wir haben hier die Basis 10, also müssen wir das irgendwie auf 10 und am besten auch auf 2 aufteilen, wir wissen ja, Logarithmus von 2 zur Basis 10 ist ungefähr 0,3. Machen wir zuerst einmal 2×100 aus 200, denn jetzt können wir ein Logarithmusgesetz anwenden. Aus × innen, wird + außen. Im nächsten Schritt machen wir aus 100 10×10. Den Teil schreiben wir ab, und hier wird wieder aus × +. Also als Logarithmus von 10×10 zur Basis 10, wird Logarithmus von 10 zur Basis 10 + Logarithmus von 10 zur Basis 10. Genauso wie hier: aus Logarithmus von 2×100 zur Basis 10, wurde Logarithmus von 2 zur Basis 10 + Logarithmus von 100 - 10×10 - zur Basis 10. Dann bleibt jetzt nur noch ein Schritt: Logarithmus von 2 zur Basis 10 macht 0,3, das war einfach vorgegeben, das wissen wir jetzt. Und Logarithmus von 10 zur Basis 10 ist 1, denn Numerus und Basis stimmen überein. Das gleiche hier. Also lautet unsere Lösung 2,3. Ganz formal gehört hier noch ein Rundungszeichen hin, denn Logarithmus von 2 zur Basis 10 ist ja nur ungefähr 0,3.   Kommen wir zur nächsten Aufgabe: Logarithmus von 5 zur Basis 10. Wenn wir das lösen wollen und keinen Taschenrechner zur Hand haben, dann müssen wir dafür sorgen, dass der Numerus irgendetwas Bekanntes wird, also irgendetwas mit 10, denn dann wären Numerus und Basis identisch oder am Besten irgendetwas mit 2, denn das wissen wir ja, Logarithmus von 2 zur Basis 10 war ungefähr 0,3. Und aus der 5 können wir ja einfach 10/2 machen, und da wir jetzt ein / im Logarithmus haben, können wir daraus ein - außerhalb machen. Also Logarithmus von 10/2 zur Basis 10 = Logarithmus von 10 zur Basis 10 - (aus Geteilt wird Minus) Logarithmus von 2 zur Basis 10. Identisch, also 1-0,3. Macht also 0,7. Nicht vergessen, ist ja ein bisschen gerundet.   Kommen wir zur nächsten Aufgabe: Für die müssen wir jetzt schon ein bisschen kreativ werden. Logarithmus von 80 zur Basis 10. Zuallererst machen wir aus der 80 10×8. Hier haben wir ein ×, dann kommt wieder ein Logarithmusgesetz zum Einsatz. Das heißt, aus Logarithmus von 10×8 zur Basis 10 wird Logarithmus von 10 zur Basis 10 + Logarithmus von 8 zur Basis 10. Aus × innen wird + außen. Logarithmus von 10 zur Basis 10 ergibt 1, aber was machen wir aus Logarithmus von 8 zur Basis 10? Die 8 stört uns noch. Wir wissen, dass wenn Numerus und Basis übereinstimmen, wir daraus 1 machen können, so wie hier. Und wir wissen auch, was der Logarithmus von 2 zur Basis 10 ist. Also müssen wir irgendwie aus der 8 etwas mit einer 2 machen. Und 8 ist nichts anderes als 23. 23 ist ja 2×2×2. 2×2 ergibt 4, ×2 ergibt 8. Und auch hier können wir wieder ein Logarithmusgesetz anwenden. Aus Hoch innerhalb wird × außerhalb. Na, das sieht doch ganz gut aus! Wir wissen ja, dass Logarithmus von 2 zur Basis 10 ungefähr 0,3 ergibt, also 1+ 3×0,3 liefert uns das Ergebnis 1,9.   Kommen wir zur letzten Aufgabe für dieses Video: Logarithmus von 0,05 zur Basis 10. lg, dekadischer Logarithmus. Logarithmus zur Basis 10. Zuallererst wandeln wir 0,05 in einen Bruch um. Als Zähler haben wir 5 und als Nenner eine 1, mit zwei Nullen, also 100. Dann kommt auch schon wieder ein Logarithmusgesetz zum Einsatz: Aus Geteilt wird Minus! Logarithmus von 5 zur Basis 10 und Logarithmus von 100 zur Basis 10, haben wir schon gelöst. 5 wandeln wir in 10/2 um und 100 in 102. Jetzt wieder an die Logarithmusgesetze denken: Aus / wird - und aus Hoch wird ×. Dann hätten wir es auch schon fast. Wir haben den Logarithmus jetzt wieder so umgewandelt, dass wir einsetzen können. Logarithmus von 10 zur Basis 10 ergibt 1, Logarithmus von 2 zur Basis 10 war 0,3 und 2×Logarithmus von 10 zur Basis 10 ergibt 2, mit dem jeweiligen Rechenzeichen natürlich. Und unser Ergebnis lautet: -1,3, aber, da wo wir runden, dürfen wir das Rundungszeichen nicht vergessen!   Tja, das war's dann auch! Danke fürs Zusehen und bis zum nächsten Mal! Tschau!

8 Kommentare
8 Kommentare
  1. Danke fürs genaue erklären

    Von Margarete D., vor fast 5 Jahren
  2. Sehr gut , vielen Dank!

    Von Charlotte Voss, vor mehr als 7 Jahren
  3. Jetzt habe ich durch Ihre Hilfe die 3 Logarithmusregeln verstanden. Vor allem sind verschiedene Aufgabentypen erwähnt worden.

    Toll und weiter so xD

    Von Christoph Ederer, vor etwa 9 Jahren
  4. Danke, weiter so! Wirklich ganz gut.

    Von Juliane Viola D., vor etwa 9 Jahren
  5. Toll erklärt, vor allem total ruhig und sicher!

    Von Christinablessing, vor fast 10 Jahren
Mehr Kommentare

Logarithmusgesetze – Übung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Logarithmusgesetze – Übung kannst du es wiederholen und üben.
  • Bennene die Logarithmusgesetze.

    Tipps

    Der Quotient und die Rechnung mit dem Bruch passen in keine Lücke.

    Lösung

    • Der Logarithmus eines Produkts ist gleich der Summe der Logarithmen der beiden Faktoren (Produktregel):
    $\log_{\color{#008000}{b}}{(\color{#FF0000}{P} \cdot \color{#0000FF}{Q}})=\log_{\color{#008000}{b}}{\color{#FF0000}{P}} + \log_{\color{#008000}{b}}{\color{#0000FF}{Q}}$

    • Der Logarithmus eines Bruchs ist gleich der Differenz der Logarithmen von Zähler und Nenner (Quotientenregel):
    $\log_{\color{#008000}{b}}{\left(\frac{\color{#FF0000}{P}}{ \color{#0000FF}{Q}}\right)}=\log_{\color{#008000}{b}}{\color{#FF0000}{P}} - \log_{\color{#008000}{b}}{\color{#0000FF}{Q}}$

    • Der Logarithmus einer Potenz ergibt sich als Produkt aus dem Exponenten und dem Logarithmus der Basis der Potenz (Potenzregel):
    $\log_{\color{#008000}{b}}{\color{#FF0000}{P} ^{\color{#0000FF}{n}}}= {\color{#0000FF}{n}} \cdot \log_{\color{#008000}{b}}{\color{#FF0000}{P}}$

  • Wende ein Logarithmusgesetz an.

    Tipps

    Der Exponent wird als Faktor vor den Logarithmus gezogen.

    Lösung
    • $ \log_7 3^4 = 4 \cdot \log_7 3$
    • $\log_4 7^3 = 3 \cdot \log_4 7$
    • $\log_7 4^3 = 3 \cdot \log_7 4$
    • $\log_3 7^4 = 4 \cdot \log_3 7$
  • Ergänze die Rechnungen.

    Tipps

    Es müssen ausschließlich ganze Zahlen in die Felder eingetragen werden. Alle Werte kannst du im Kopf berechnen!

    Lösung
    • $\log_4 64=\log_4 (4\cdot 16)= \log_4 4 + \log_4 16= 1 + 2 = 3$
    • $\log_8 2+ \log_8 32 = \log_8 (2\cdot 32)=\log_8 64 = 2$
    • $\log_{10} \big(\frac{10}{1000}\big)=\log_{10} 10 - \log_{10} 1000 = 1-3 = -2$
    • $\log_3 81=\log_3 9^2 = 2\cdot \log_3 9= 2\cdot 2 = 4$
  • Finde Fehler bei der Anwendung von Logarithmusgesetzen.

    Tipps

    Nur eine Rechnung ist vollständig korrekt.

    Lösung

    • $\log_5 100= \log_5 (5 \cdot 25) =\log_5 5 + \log_5 25=1+2=3$
    Da $100\neq 5\cdot 25$, ist der erste Schritt falsch. Wäre $\log_5 125$ gesucht, könnte man wie oben weiterrechnen.

    Wenn $\log_5 100$ gesucht ist, kann man wegen $100=4\cdot 25$ auflösen zu $\log_5 4+\log_5 25$, allerdings ist $\log_5 4$ keine ganze Zahl und könnte z. B. mit dem Taschenrechner bestimmt werden.

    • $\log_2 2 + \log_4 32=\log_{2\cdot 4} {2\cdot 32} = \log_8 64 = 2$
    Da in den Summanden zwei verschiedene Basen gegeben sind, kann diese Summe nicht zu einem Logarithmus zusammengefasst werden. Hier kommt man mit den Logarithmusgesetzen leider nicht weiter. Die Gesetze gelten nur für Logarithmen mit gleichen Basen!

    • $\log_2 32= \log_2 (4\cdot 8) = \log_2 4 + \log_2 8 = 2 + 3 = 5$
    Hier ist alles richtig!

    • $\log_6 (3) {\color{#FF0000}{ \cdot}} \log_6 12=\log_6 (3 \cdot 12)=\log_6 36=2$
    Da zu ein Beginn ein Malzeichen steht, kann hier kein Gesetz angewendet werden. Die Rechnung wäre korrekt für $\log_6 3 {\color{#008000}{+}} \log_6 12=\log_6 (3 \cdot 12)=\log_6 36=2$.

  • Beschreibe den Rechenweg.

    Tipps

    Es fängt an mit einem Textbaustein und dann wechseln sich Rechungen und Textbausteine ab.

    Lösung

    Wir wenden die Regel rückwärts an und fassen die beiden Logarithmen zu einem zusammen:

    $\log_7 \big( \frac{98}{2}\big)$

    Dann kürzen wir den Bruch im Numerus:

    $\log_7 49$

    Anschließend wenden wir den Logarithmus an und erhalten das Ergebnis:

    $\underline{\underline{2}}$

  • Wende ein Logarithmusgesetz an, um das Ergebnis näherungsweise zu bestimmen.

    Tipps

    $400=2\cdot 2 \cdot 100$ oder $400=2\cdot 2 \cdot 10\cdot 10$

    Lösung

    $\log_{10} 400$

    $= \log_{10} (2\cdot 2 \cdot 100)$

    $= \log_{10} 2 + \log_{10} 2 + \log_{10} 100$

    $\approx 0,3 + 0,3 + 2 = 2,6$

    oder

    $\log_{10} 400$

    $= \log_{10} 2 + \log_{10} 2 + \log_{10} 10 + \log_{10} 10$

    $\approx 0,3 + 0,3 + 1+1 = \underline{\underline{2,6}}$