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Steve Taube
Partielle Integration mit Sinus- und Cosinustermen
lernst du in der Sekundarstufe 5. Klasse - 6. Klasse - 7. Klasse

Grundlagen zum Thema Partielle Integration mit Sinus- und Cosinustermen

Hallo und herzlich willkommen zu einem weiteren Einführungsvideo in die Integralrechnung. Ich möchte dir in diesem Video die partielle Integration anhand von Sinusfunktionen und Kosinusfunktionen erklären. Die partielle Integration wird häufig bei Produkten von ganzrationalen Funktionen mit anderen speziellen Funktionen gebraucht. Für den Fall, dass dabei die spezielle Funktion, eine Sinus- oder Kosinusfunktion ist, gibt es einige besondere Vorgehensweisen und Tricks. Diese werden dir hier nun vorgestellt. Natürlich werden sie dir auch an mehreren Beispielen gleich veranschaulicht.

Transkript Partielle Integration mit Sinus- und Cosinustermen

Herzlich willkommen zu dem Video über Partielle Integration mit sin und cos Termen. Da gibt es nämlich ein paar hilfreiche Tipps und Tricks, mit denen man die lösen kann. Zur Erinnerung noch einmal die Formel zur Partiellen Integration.

∫u´(x)×v(x)dx=[u(x)×v(x)]-∫u(x)×v´(x) Und das besondere an der Formel ist ja immer, dass man ein bisschen kreativ sein muss, was ist nun das u´und was das v. Bei uns geht es jetzt um das Ingetral aus cos x × sin x. Und der wesentliche Trick war, dass wir nach dem partiellen Integrieren das Integral das wir suchen einmal zur Gleichung dazu addieren.Also probieren wie es einfach mal mit cos=u´ und sin=v. Da wäre also u(x)=sin x und v´(x)=cos x.  Da kommt in die eckige Klammer u×v, also sin x×sin x und dann -∫u×v`, also sin x×cos x. Und siehe da, da haben wir hinten das gleiche Integral wie das was wir auf der anderen Seite stehen haben, was wir eigentlich ausrechnen wollen. D.h. wenn wir jetzt noch mal partiell integrieren, dann drehen wir uns eigentlich nur im Kreis. Aber, und das ist jetzt der Trick, können wir die Gleichung äquivalent umformen, indem wir eben das Integral einmal zur Gleichung hinzuaddieren. Dann steht also auf der linken Seite 2mal unser Integral und auf der rechten Seite hebt es sich weg, d.h. es bleibt nur der Term von vorne, nämlich sin2 x übrig. Und wenn wir die Gleichung noch durch 2 teilen, dann sind wir eigentlich schon fertig. Dann ist also das Integral aus cos x×sin x=½(sin x)2+C. Und der wesentliche Trick war, dass wir nach dem partiellen Integrieren das Intregral das wir suchen einmal zur Gleichung dazu addieren. Als Nächstes versuchen wir uns mal an der ∫sin2x×cos x. Soll ich hier sin2 als u´ nehmen? Ne davon kenn ich die Stammfunktion nicht. Also nehme ich cos als u´ und sin2 als v. Dann ist also u(x)=sin x und v´(x) ist die Ableitung von sin2, also 2×sin x×cos x. Her mit der Kettenregel. In die eckige Klammer kommt u×v, also sin mal sin2-∫u×v´, also sin x×2×sin x×cos x. Die 2 ziehen wir aus dem Integral raus und dann fassen wir die Terme noch mal etwas zusammen. Da haben wir also vorne sin3x und dann -2×∫sin2x×cos x. Aha, da haben wir also wieder genau das Integral, das wir suchen, nur diesmal steht eine 2 davor, also addieren wir es 2mal zu der Gleichung. So, da haben wir also links 3mal das Integral und rechts nur noch sin x3. Das teilen wir noch durch 3 und dann haben wir also ∫sin2x×cos x=1/3sin3x+C.   So als Letztes berechnen wir das ∫sin2x dx, das schreiben wir erstmal als sin x×sin x, damit man deutlicher das Produkt sieht. Und jetzt ist auch egal was ich als u´ und was ich als v wähle, das sind ja sowieso die gleichen Funktionen. Jedenfalls ist dann u(x) die Stammfunktion von sin also -cos x und v´(x) ist die Ableitung, also cos x. So jetzt kommt in die Klammer u×v, also -cos×sin und da ein -∫u×v´ also -cos×cos. So die beiden Minuszeichen hier ergeben zusammen ein +. An dieser Stelle versuchen wir jetzt nochmal partiell zu integrieren. Natürlich mit anderen Funktion u und v. Wobei aber wieder egal ist, welche Funktion welche Rolle übernimmt, da ja beide gleich sind. Dann wäre also das neue u=sin x und das neue v´=-sin x. Der Teil vorne bleibt stehen und wir wenden die Regel auf das hintere Integral an. u×v=sin×cos-∫u×v´, das ist sin x×(-sin x). So, -×- ergibt + und sin×sin ergibt sin2. Jetzt sind wir weider soweit, dass wir das gleiche Integral haben wie oben. Wenn wir das Integral aber jetzt von der Gleichung abziehen, damit es auf der rechten Seite wegfällt, dann steht auf der linken Seite eine 0, weil wir ja das Ingetral - das Integral rechnen. Und rechts würde übrigens auch eine 0 stehen, weil -cos×sin+sin×cos=0 ist. Diese Gleichung wäre dann zwar richtig, aber die hilft uns überhaupt nicht weiter. Hier war es also schon falsch, noch ein 2mal partiell zu integrieren. Deswegen gehen wir mal zurück und schreiben diesen Term als cos2x und da benutzen wir jetzt die Gleichung cos2=1-sin2 und ersetzen also den Term im Integral entsprechend. Jetzt können wir die Summenregel anwenden. Die Stammfunktion von 1=x und dann haben wir wieder unser ursprüngliches Integral dastehen und diesmal können wir es wirklich dazu addieren, weil ein - davor steht. Dann krieg ich also auf der linken Seite 2mal das Integral und auf der rechten Seite fällt das Integral weg, dann teile ich die Gleichung noch durch 2 und kriege raus ∫sin2x=½(x-sin x×cos x)+C. Und die entscheidenden Tricks waren: cos2/1-sin2 zu ersetzen und danach das gesuchte Integral wieder zur Gleichung dazu zu addieren. Meistens kommt man mit dem Addierentrick hin, und wenn das nicht reicht, dann braucht man halt noch den anderen. Okay und das wars.

10 Kommentare
10 Kommentare
  1. Hallo Susannahwinter,
    welche Stelle meinst du genau?
    Viele Grüße.

    Von Steve Taube, vor mehr als 4 Jahren
  2. Hallo Susannahwinter,
    bitte beschreibe genauer, was du nicht verstanden hast. Gib beispielsweise die konkrete Stelle im Video mit Minuten und Sekunden an. Gerne kannst du dich auch an den Fach-Chat wenden, der von Montag bis Freitag zwischen 17-19 Uhr für dich da ist.
    Ich hoffe, dass wir dir weiterhelfen können.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Franziska H., vor mehr als 4 Jahren
  3. Mir erschließt sich nicht, warum ich da einfach sinx cosx addieren kann? Da wäre ein Hinweis schön gewesen. Danke aber für das Video

    Von Deleted User 520075, vor mehr als 4 Jahren
  4. Hallo Anna,
    wie meinst du das? Ich habe es grade nochmal überprüft und das Gesprochene passt genau zu dem, was ich schreibe. Vielleicht hattest du kurz ein technisches Problem an deinem Computer?!? Probier es bitte nochmal und falls du immer noch der Meinung bist, das Gesprochene passt nicht zum Geschriebenen, dann nenne mir bitte die Stelle, an der das der Fall ist.

    Danke, Steve

    Von Steve Taube, vor fast 9 Jahren
  5. Das Video ist total unnötig, weil das Gesagte überhaupt nicht zu dem Gezeigten passt. Macht also überhaupt keinen Sinn, es sich anzuschauen...

    Von Annapetrov93, vor fast 9 Jahren
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