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Rekonstruktion ganzrationaler Funktionen – Eisenbahn 13:20 min

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Transkript Rekonstruktion ganzrationaler Funktionen – Eisenbahn

Hallo! Parameteraufgaben kannst du immer nach einem bestimmten Schema lösen. Zunächst werden die Eigenschaften der gesuchten Funktion bestimmt und zwar so, dass aus dem Sachzusammenhang heraus Gleichungen formuliert werden. Die bilden dann das Gleichungssystem, was man dann natürlich auch löst. Und am Ende erfolgt, wie bei solchen Aufgaben üblich, die Probe, damit man sicher sein kann, dass man richtig gerechnet hat. In der jetzt folgenden Aufgabe geht es um diese Modelleisenbahn. Da steht ein kleiner Zug drauf und der kann dann hier über die Brücke fahren. Dieses Teil hier verwendet man um solche Brückenauffahrten zu bauen. Und wenn das hergestellt wird, dann steht da natürlich nicht jemand und schnitzt das so zurecht, sondern das wird maschinell hergestellt. Und einer Maschine muss man nun in Form einer Funktion sagen, in welchem Bogen das hier gesägt werden soll. Um diese Funktion zu finden, brauchen wir ein paar Angaben. Wir brauchen diese Entfernung hier, von da bis da sind es 20 Zentimeter. Wir brauchen diese Höhe, das sind 7 Zentimeter. Und wir brauchen die Forderung, dass hier und hier glatte Übergänge existieren, damit der Zug hier problemlos drüberfahren kann. Das bedeutet, hier haben wir ja eine Steigung von 0. Und deshalb, damit hier ein glatter Übergang ist, muss an dieser Ecke hier die Steigung ebenfalls gleich 0 sein. Gleiches gilt für das andere Ende. Hier ist die Steigung 0, und deshalb muss an der Ecke hier die Steigung ebenfalls gleich 0 sein. So, und dann geht es an die Arbeit. Es ist ganz praktisch sich mal ein Koordinatensystem aufzuzeichnen oder zumindest zu skizzieren. Zwei Achsen brauchen wir, und hier ist der Funktionsgraph, so ungefähr. Hier ist x = 20 und y = 7. Und jetzt müssen wir die Eigenschaften dieser Funktion noch in Gleichungen verpacken. Wir wissen erstens, dass der Funktionswert bei 0 gleich 0 ist. Also ist f(0) = 0. Wir wissen zweitens, dass die Steigung bei 0 gleich 0 ist, also ist die erste Ableitung gleich 0 bei 0, f‘(0) = 0. Dann wissen wir, drittens, dass der Funktionswert bei x = 20 gleich 7 ist, f(20) = 7. Und wir wissen viertens, dass an dieser Stelle, nämlich bei x = 20 die Steigung 0 ist, also ist die erste Ableitung bei 20 gleich 0, f‘(20) = 0. Und jetzt suchen wir eine ganzrationale Funktion mit möglichst geringem Grad, die diese Eigenschaften hat. Wie finden wir den geringsten Grad? Wir können uns die Ableitung ansehen. Wir sehen, die Ableitung hat zwei Nullstellen, das bedeutet, die Ableitung muss mindestens vom Grad zwei sein oder höher. Wenn die Ableitung mindestens den Grad zwei hat und der Grad der Ausgangsfunktion immer um eins größer ist als der Grad der Ableitung, dann suchen wir eine Funktion, die mindestens dritten Grad hat. Also können wir uns erst mal die allgemeine Funktion dritten Grads aufschreiben, das ist f(x)=ax3+bx2+cx+d. Und die Ableitung brauchen wir auch. Die allgemeine Ableitung einer Funktion dritten Grads ist f'(x)=3ax2+2bx+c. Wir können jetzt diese Eigenschaften hier einsetzen und erhalten dann ein Gleichungssystem mit dem wir a, b, c und d bestimmen können. Und dann sind wir fertig. Also hier steht, dass wenn man für x 0 einsetzt, dass dann 0 herauskommt. Also haben wir unsere erste Gleichung. Für x 0 einsetzen, dann haben wir a×03+b×02+c×0+d=0. Zweitens, wenn man in die Ableitung für x 0 einsetzt, dann erhält man 0. Also 3a×02+2b×0+c=0. Hier steht, dass wenn man für x 20 einsetzt, dass dann 7 herauskommt. Also drittens, wir müssen in die Funktion einsetzen, a×203+b×202+c×20+d=7. Und hier viertens steht, dass wenn man in die Ableitung 20 einsetzt, dann erhält man 0. Also 3a×202+2b×20+c=0. Wir haben hier jetzt ein Gleichungssystem mit vier Gleichungen und vier Variablen, und das löst man normalerweise mit dem Gauß-Algorithmus. Wir sind hier aber nicht normal, wir können uns die Sache viel, viel einfacher machen. Gucken wir mal was hier steht. Also hier, das ist 0, das ist 0, das ist 0. Das bedeutet, hier steht eigentlich nur noch die Gleichung d=0. Darauf ist diese Gleichung jetzt reduziert. Wenn d = 0 und wir das schon wissen, dann kann dieses d weg. Das hier ist 0, das ist 0. Hier steht letztlich c=0. Das bedeutet, diese 20c interessieren uns auch nicht mehr und dieses c auch nicht mehr. Was wir noch zu bestimmen haben sind a und b und zwar mit einem Gleichungssystem, das aus zwei Gleichungen besteht, also das haben wir hier. Das ist die eine Gleichung, und das ist die andere Gleichung. Ja und das kannst du lösen wie du das aus der Mittelstufe gewohnt bist. Ich würde hier das Einsetzungsverfahren vorschlagen. Das ist also das Gleichungssystem, was wir noch zu lösen haben. Wir könnten hier die zweite Gleichung nach b umformen und erhalten dann: b = (-3a×202)/(2×20) = -30a. Wir können -30a jetzt für b in die erste Gleichung einsetzen und erhalten a×203+(-30a)×202=7. Und das können wir jetzt nach a umstellen und erhalten dann a = -7/4000. Jetzt wollen wir noch b bestimmen und deshalb können wir hier für a -7/4000 einsetzen und erhalten dann b = -30×(-7/4000) = 21/400. So und dann sind wir jetzt fast fertig. Wir müssen jetzt nur noch die Funktionen hinschreiben und die Probe machen. Also wir haben a = -7/4000 also (-7/4000)×x3 + b. b = 21/400, mal x2 und c ist gleich 0 und d ist gleich 0 und deshalb ist das die Funktion, die wir gesucht haben, f(x) = (-7/4000)×x3 +(21/400)×x2. Ja und dann fehlt noch die Probe. Naja und da kann ich mich jetzt wirklich kurz fassen, das muss ich nicht in allen Einzelheiten vorrechnen. Wir haben als erstes gefordert, wenn man für x 0 einsetzt in die Funktion, dann soll auch 0 rauskommen. Naja wenn man hier für x 0 einsetzt und da auch, dann ist das Ganze gleich 0. Wir haben gefordert, dass die Ableitung bei 0 gleich 0 ist. Wenn man hier die Ableitung macht, diese 3 wandert nach vorne, x2 bleibt dann noch, diese 2 wandert nach vorne, das x bleibt noch. Wenn man dann für x 0 einsetzt kommt wieder 0 raus. Das ist schon mal geklärt. Naja und dann müsste man noch in diese Funktion hier für x 20 einsetzen und dann muss 7 rauskommen. Das würdest du sowieso mit dem Taschenrechner nachrechnen, das muss ich hier nicht vorrechnen. Und bei der Ableitung setzt man für x 20 ein und dann kommt 0 raus, das ist auch der Fall, das habe ich schon mal heimlich nachgeprüft. So, das war es zu dieser Aufgabe. Dann schauen wir uns noch mal an, wie wir vorgegangen sind. Wir haben die Eigenschaften der Funktionen bestimmt. Als wir die hatten, war es kein Problem mehr, das Gleichungssystem aufzustellen und dieses auch zu lösen. Gut, wir hatten hier einen Spezialfall vorliegen, normalerweise braucht man den Gauß-Algorithmus dafür, aber das ist auch nur ein Rechenverfahren, ein Schema, was immer gleich funktioniert. Gleiches gilt auch für die Probe, das ist immer das Gleiche. Man muss halt die Werte einsetzen und ausrechnen. Dazu ist kein großartiges mathematisches Verständnis vonnöten. Man muss einfach nur gewissenhaft arbeiten. Dieses Verständnis braucht man aber hier in Punkt eins. Nämlich dann, wenn eine Situation aus dem realen Leben in die Mathematik übertragen werden soll. Das kann kein Rechenverfahren bewerkstelligen. Das kann auch kein Taschenrechner. Das kannst nur du mit deinem gesunden Menschenverstand. Und damit du dieses mathematische Verständnis erlangen kannst, stehen diese Parameteraufgaben im Lehrplan. Viel Spaß damit. Tschüss.

Rekonstruktion ganzrationaler Funktionen – Eisenbahn Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Rekonstruktion ganzrationaler Funktionen – Eisenbahn kannst du es wiederholen und üben.

  • Benenne die Eigenschaften, die die Funktion erfüllen muss.

    Tipps

    Sieh dir die Eigenschaften des Graphen im Koordinatensystem genau an.

    Die anderen Schienen haben die Steigung $0$.

    Um knickfrei mit den anderen Schienen verbunden zu sein, muss das Brückenteil am Anfangs- und Endpunkt die gleiche Steigung wie die anderen Schienen haben.

    Die Steigung ermittelst du mit Hilfe der ersten Ableitung einer Funktion.

    Lösung

    Mit Hilfe des Graphen und der Beschreibung des Brückenteils kannst du die nötigen Eigenschaften mathematisch definieren.

    Um knickfrei mit den anderen Schienen verbunden zu sein, muss das Brückenteil am Anfangs- und Endpunkt die gleiche Steigung wie die anderen Schienen haben. Die anderen Schienen haben eine Steigung von $0$, das heißt: Bei $x=0$ und $x=20$ ist die Steigung, also die erste Ableitung, jeweils $0$. Mathematisch ausgedrückt heißt das: $f’(0)=0$ und $f’(20)=0$.

    Außerdem soll die Funktion durch den Nullpunkt gehen, hat also an der Stelle $x=0$ den Wert $0$. Und an der Stelle $x=20$, nämlich am Brückenpfeiler, soll die Höhe $7$ betragen. Mathematisch ausgedrückt heißen diese beiden Eigenschaften: $f(0)=0$ und $f(20)=7$.

  • Gib den Lösungsweg zur Bestimmung der Funktion an.

    Tipps

    Gehe bei Parameteraufgaben immer nach diesem Schema vor:

    1. Eigenschaften bestimmen
    2. Gleichungssystem aufstellen und lösen
    3. Probe
    Lösung

    Lies zunächst immer die Aufgabe mehrmals und in Ruhe.

    Bestimme dann mit Hilfe der Angaben aus der Aufgabe die Eigenschaften der Funktion und drücke sie mathematisch aus.

    Anschließend überlege, welchen Grad deine Funktion mindestens haben muss und stelle die allgemeine Funktionsgleichung für eine Funktion des jeweiligen Grades auf. Wenn nötig, bestimme auch gleich deren Ableitung.

    Stelle nun mit Hilfe der Eigenschaften mehrere Gleichungen auf, die du, gegebenenfalls mit Hilfe des Gauß’schen Algorithmus, löst.

    Mit Hilfe der Werte für $a$, $b$, $c$ und $d$ stellst du nun die Funktionsgleichung für $f(x)$ auf.

    Führe zum Schluss immer eine Probe durch.

  • Stelle mit Hilfe der Funktionseigenschaften vier Gleichungen auf.

    Tipps

    Die allgemeine Form einer Funktion dritten Grades lautet: $f(x)=a\cdot x^3+b\cdot x^2+c\cdot x+d$.

    Wie lautet die erste Ableitung der allgemeinen Funktion dritten Grades?

    Die Steigung ermittelst du mit Hilfe der ersten Ableitung.

    Lösung

    Mit Hilfe des Graphen und der Beschreibung des Brückenteils kannst du die nötigen Eigenschaften mathematisch beschreiben und in die allgemeine Form einer Funktion dritten Grades und deren ersten Ableitung einsetzen.

    Die allgemeine Form einer Funktion dritten Grades lautet:

    $f(x)=a\cdot x^3+b\cdot x^2+c\cdot x+d$.

    Ihre erste Ableitung lautet entsprechend:

    $f'(x)=3\cdot a\cdot x^2+2\cdot b\cdot x+c$.

    Um knickfrei mit den anderen Schienen verbunden zu sein, muss das Brückenteil am Anfangs- und Endpunkt die gleiche Steigung wie die anderen Schienen haben. Bei $x=0$ und $x=20$ muss die Steigung, also die erste Ableitung, jeweils $0$ sein. Mathematisch ausgedrückt heißt das: $f’(0)=0$ und $f’(20)=0$.

    In die erste Ableitung der allgemeinen Form einer Funktion dritten Grades eingesetzt erhalten wir:

    $3\cdot a\cdot 0^2+ 2\cdot b\cdot 0 + c=0$ und

    $3\cdot a\cdot 20^2+ 2\cdot b\cdot 20 + c=0$

    Außerdem soll die Funktion durch den Nullpunkt gehen, sie hat folglich an der Stelle $x=0$ den Wert $0$. Es gilt also: $f(0)=0$.

    Dies in die allgemeine Form einer Funktion dritten Grades eingesetzt erhalten wir:

    $a\cdot 0^3+b\cdot 0^2+ c\cdot 0+d=0$.

    Und an der Stelle $x=20$, nämlich am Brückenpfeiler, soll die Höhe $7$ betragen. Mathematisch ausgedrückt heißt diese Eigenschaft: $f(20)=7$.

    Wenn wir das in die allgemeine Form einer Funktion dritten Grades einsetzen, erhalten wir:

    $a\cdot 20^3+b\cdot 20^2+ c\cdot 20+d=7$.

  • Bestimme die Funktionsgleichung des Teilstücks, das die beiden Straßen verbindet.

    Tipps

    Gehe bei Parameteraufgaben immer nach diesem Schema vor:

    1. Eigenschaften bestimmen
    2. Gleichungssystem aufstellen und lösen
    3. Probe

    Damit zwei Funktionen knickfrei verbunden sind, müssen sie im Verbindungspunkt die gleiche Steigung besitzen.

    Wende den Gauß’schen Algorithmus an.

    Achte auf die Vorzeichen der Werte für die Parameter.

    Alle Parameter stehen in dieser Aufgabe für ganzzahlige Werte.

    Lösung

    Die Funktion dritten Grades, die wir mit $f(x)$ bezeichnen, muss verschiedene Voraussetzungen erfüllen: Sie muss mit zwei weiteren Funktionen, $g(x)$ und $h(x)$, einen gemeinsamen Punkt haben, nämlich jeweils den Verbindungspunkt von Straße und Zwischenstück. Außerdem sollen die Funktionen miteinander knickfrei verbunden werden, also die gleiche Steigung im Verbindungspunkt besitzen.

    Daraus können wir folgende Eigenschaften formulieren:

    • $f(x)$ soll mit $g(x)$ bei $x = -1$ verbunden werden.
    • $f(x)$ soll mit $h(x)$ bei $x = 3$ verbunden werden.
    • $f(x)$ soll knickfrei mit $g(x)$ verbunden sein.
    • $f(x)$ soll knickfrei mit $h(x)$ verbunden sein.
    Um die Verbindungspunkte der Funktionen zu bestimmen, setzen wir die jeweiligen Verbindungsstellen, also die $x$-Werte, in die Funktionsgleichungen von $g(x)$ und $h(x)$ ein:

    $g(-1)=9\cdot(-1)+7=-2$ und

    $h(3)=9\cdot(3)-25=2$.

    Die Funktionen $f(x)$ und $g(x)$ haben also den Punkt $P (-1|-2)$ als gemeinsamen Verbindungspunkt und die Funktionen $f(x)$ und $h(x)$ den Punkt $Q (3|2)$.

    So kennen wir auch bereits zwei Punkte von $f(x)$ und schließen:

    $f(-1)=-2$

    $f(3)=2$

    Da die Funktionen in den Punkten $P (-1|-2)$ und $Q (3|2)$ die gleiche Steigung haben sollen, bestimmen wir zunächst die Steigung der Funktionen $g(x)$ im Punkt $P$ und $h(x)$ im Punkt $Q$. Dazu bilden wir jeweils die erste Ableitung der Funktionen:

    $g(x)=9\cdot x+7$, also ist $g’(x)=9$

    $h(x)=9\cdot x-25$, also ist $h’(x)=9$.

    Da die beiden Funktionen konstant die Steigung $9$ haben, muss natürlich auch in den Punkten $P$ und $Q$ die Steigung $9$ betragen. Daraus können wir für die Steigung von $f(x)$ ableiten, dass auch sie in den beiden Punkten $9$ betragen muss. Es gilt also:

    $f’(-1)=9$

    $f’(3)=9$

    Da wir wissen, dass die Funktion $f(x)$ eine Funktion dritten Grades ist, können wir die allgemeine Form der Funktion und ihre Ableitung mit

    $f(x)=a\cdot x^3+b\cdot x^2+c\cdot x+d$ sowie

    $f’(x)=3\cdot a\cdot x^+2\cdot b\cdot x+c$

    nun mit den entsprechenden Eigenschaften versehen und vier Gleichungen aufstellen:

    I.$~~ a\cdot (-1)^3+b\cdot (-1)^2+c\cdot (-1)+d=-2$

    II.$~~ a\cdot (3)^3+b\cdot (3)^2+c\cdot (3)+d=2$

    III.$~ 3\cdot a\cdot (-1)^2+2\cdot b\cdot (-1)+c=9$

    IV. $~3\cdot a\cdot (3)^2+2\cdot b\cdot (3)+c=9$

    Zusammengefasst ergibt das:

    I.$~~ -a+b-c+d=-2$

    II.$~~ 27a+9b+3c+d=2$

    III. $~3a-2b+c=9$

    IV.$ ~27a+6b+c=9$

    Mit Hilfe des Gauß’schen Algorithmus können wir dann nacheinander die Parameter isolieren und einsetzen. Wir erhalten:

    $a=1$ , $b= -3$, $c= 0$ und $d= 2$

    Die Funktionsgleichung des gesuchten Verbindungsstücks der beiden Straßen lautet also:

    $f(x)=x^3-3x^2+2$.

  • Bestimme die neue Funktionsgleichung des Brückenteils.

    Tipps

    Gehe bei Parameteraufgaben immer nach diesem Schema vor:

    1. Eigenschaften bestimmen
    2. Gleichungssystem aufstellen und lösen
    3. Probe
    Lösung

    Lies zunächst immer die Aufgabe mehrmals und in Ruhe.

    Bestimme dann mit Hilfe der Angaben aus der Aufgabe die Eigenschaften der Funktion und drücke sie mathematisch aus:

    Die Eigenschaften lauten: $f(0)=0$, $f`(0)=0$, $f(10)=5$ und $f’(10)=0$.

    Anschließend überlege, welchen Grad deine Funktion mindestens haben muss, und stelle die allgemeine Funktionsgleichung für eine Funktion des jeweiligen Grades auf. Wenn nötig, bestimme auch gleich deren Ableitung.

    Hier gibt es bei der Ableitungsfunktion zwei Schnittpunkte mit der $x$-Achse. Die Ableitung ist (mindestens) eine quadratische Funktion, die Ausgangsfunktion ist also (mindestens) eine Funktion dritten Grades.

    Die allgemeine Form einer Funktion dritten Grades lautet: $f(x)=a\cdot x^3+b\cdot x^2+c\cdot x+d$.

    Ihre Ableitung lautet entsprechend: $f'(x)=3\cdot a\cdot x^2+2\cdot b\cdot x+c$.

    Stelle nun mit Hilfe der Eigenschaften mehrere Gleichungen auf, die du, gegebenenfalls mit Hilfe des Gauß’schen Algorithmus, löst. Mit Hilfe der Werte für $a$, $b$, $c$ und $d$ stellst du nun die Funktionsgleichung für $f(x)$ auf.

    Die Gleichungen lauten hier:

    I. $~~a\cdot 0^3+b\cdot 0^2+ c\cdot 0+d=0$

    II. $~~3\cdot a\cdot 0^2+ 2\cdot b\cdot 0 + c=0$

    III. $~a\cdot 10^3+b\cdot 10^2+ c\cdot 10+d=5$

    IV. $~3\cdot a\cdot 10^2+ 2\cdot b\cdot 10 + c=0$

    Es ergeben sich die Werte: $a=-\frac{1}{100}~~~b=\frac{3}{20}~~~c=0~~~d=0$

    Daraus kann man die Funktionsgleichung des Brückenstücks ableiten:

    Die Funktionsgleichung lautet: $f(x)=-\frac{1}{100}x^3+\frac{3}{20}x^2$.

    Führe zum Schluss immer eine Probe durch.

  • Gib an, welche Eigenschaften die Funktionen jeweils erfüllen müssen.

    Tipps

    Fertige zu den Aufgaben eine Skizze an. Sie hilft dir, die Eigenschaften zu bestimmen.

    Damit zwei Funktionen knickfrei verbunden sind, müssen sie im Verbindungspunkt die gleiche Steigung besitzen.

    Für die Aufstellung der Eigenschaften müssen alle Einheiten innerhalb einer Aufgabe gleich sein (also z. B. alle Angaben in Zentimeter, Meter, … umgewandelt werden).

    Lösung

    Straßenbahn: Hier sind indirekt zwei Punkte der gesuchten Funktion gegeben: Die Verbindungspunkte liegen auf der Höhe $10~m$ und sind $30~m$ voneinander entfernt.

    Der Anfangspunkt des Verbindungsstücks liegt also bei $P(0|10)$ und der Endpunkt bei $Q(30|10)$.

    Daraus kann man schließen: $f(0)=10$ und $f(30)=10$.

    Außerdem sind an den Verbindungsstellen die Steigung $3$ und $2$. Es gilt also: $f’(0)=3$ und $f’(30)=2$.

    Spielzeugauto: Hier sind ebenfalls indirekt zwei Punkte der gesuchten Funktion gegeben: Der erste Verbindungspunkt liegt auf der Höhe $0~cm$ (nämlich dem Gehweg), der zweite auf der Höhe $10~cm$. Beide sind $6~dm$ voneinander entfernt.

    Der wichtige Schritt besteht hier darin, erst einmal alle Angaben in dieselbe Einheit umzurechnen, z. B. Zentimeter.

    Dann können wir die Punkte bestimmen: $P(0|0)$ und $Q(60|10)$.

    Daraus kann man schließen:$f(0)=0$ und $f(60)=10$.

    Außerdem ist an beiden Verbindungsstellen die Steigung $0$. Es gilt also: $f’(0)=0$ und $f’(60)=0$.

    Skater-Rampe: Auch hier sind indirekt zwei Punkte der gesuchten Funktion gegeben: Der erste Verbindungspunkt liegt auf der Höhe $2~m$ über dem Boden, der zweite auf der Höhe $3~m$ über dem Boden und die Seitenteile sind $3~m$ voneinander entfernt.

    Daraus können wir die Punkte $P(0|2)$ und $Q(3|3)$ bestimmen und können schließen:$f(0)=2$ und $f(3)=3$.

    Außerdem hat das linke Seitenteil die Steigung $-0,5$ und das rechte die Steigung $1$. Es folgt: $f’(0)=-0,5$ und $f’(3)=1$.