Sinusfunktion – Überblick/Eigenschaften
Beschreibung Sinusfunktion – Überblick/Eigenschaften
Sinusfunktion: Definition
In Mathe beschreibt die Sinusfunktion Vorgänge, die periodisch wiederkehren. Der Sinus eines Winkels ist definiert als das Verhältnis von Strecken in einem rechtwinkligen Dreieck. Um die Sinusfunktion zu verstehen, betrachten wir verschiedene Dreiecke, die alle eine Hypotenuse der Länge $1$ haben. Dazu zeichnen wir in einem Koordinatensystem im Koordinatenursprung einen Kreis vom Radius $1$, also einen Einheitskreis:
Jeder Punkt auf der Kreislinie hat eine $x$-Koordinate und eine $y$-Koordinate. Zusammen mit dem Radius des Kreises ergibt sich so immer ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten $x$ und $y$ und der Hypotenuse $r$. Der Sinus des Winkels $\alpha$ ist das Verhältnis der Gegenkathete $y$ zur Hypotenuse $r$:
$\sin(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{y}{1} = y$
Da die Hypotenuse der Radius des Einheitskreises ist, hat sie die Länge $1$. Damit entspricht der Sinus des Winkels $\alpha$ der Länge der Gegenkathete $y$.
Sinusfunktion zeichnen
Der Winkel $\alpha$ zwischen der $x$-Achse und dem Radius $r$ kann jeden Wert zwischen $0^\circ$ und $360^\circ$ annehmen. Der Wert der $y$-Koordinate eines Punktes auf der Kreislinie - also der Sinus des Winkels $\alpha$ - hängt nur von dem Winkel $\alpha$ ab. Schreiben wir die Werte für $\alpha$ von $0^\circ$ bis $360^\circ$ auf eine horizontale Achse, so können wir die Werte der $y$-Koordinate des Punktes auf der Kreislinie jetzt in der Vertikalen abtragen. Wir erhalten so ein Bild für die Werte der Sinusfunktion, nämlich den Funktionsgraphen der Sinusfunktion.
Winkel im Bogenmaß
Im Bogenmaß nehmen Winkel Werte zwischen $0$ und $2\pi$ statt zwischen $0^\circ$ und $360^\circ$ an. Dem Wert $90^\circ = \frac{360^\circ}{4}$ entspricht also der Wert $\frac{\pi}{2} = \frac{2\pi}{4}$. Der Wert eines Winkels im Bogenmaß entspricht der Länge desjenigen Kreisbogens im Einheitskreis, den der Winkel aufspannt. Der Umfang eines Kreises ist $U = 2\pi r$. Der Umfang des Einheitskreises ist also $2\pi \cdot 1 = 2\pi$. Der Umfang eines Halbkreises ist entsprechend $\frac{1}{2} \cdot 2\pi = \pi$. Dieser Umfang entspricht dem Winkel $180^\circ$.
Sinusfunktion: Eigenschaften
Bei der Sinusfunktion nennt man die Variable gewöhnlich $x$. Die Variable entspricht dem Winkel $\alpha$ im Einheitskreis oben - und darf nicht mit der $x$-Koordinate im Einheitskreis verwechselt werden. Zur Skalierung der $x$-Achse wählt man Vielfache und Bruchteile von $\pi$.
Sinusfunktion: Nullstellen, Hochpunkte, Tiefpunkte
Die Nullstellen der Sinusfunktion liegen bei $x=0$, $x=\pi$, $x=2\pi$ usw. sowie bei $x=-\pi$, $x=-2\pi$ usw. Jede Nullstelle ist von der Form $x_k= k\cdot \pi$ mit einer ganzen Zahl $k \in \mathbb Z$. Die Nullstellen sind zugleich Wendestellen der Sinusfunktion.
Am Funktionsgraphen der Sinusfunktion kann man auch die Hochpunkte ablesen. Die Hochpunkte liegen bei $x= \frac{1}{2} \cdot \pi$, $x= \frac{5}{2} \cdot \pi$ usw. sowie bei $x=-\frac{3}{2} \pi$, $x= -\frac{7}{2} \pi$ usw. Jeder Hochpunkt liegt an einer Stelle der Form $x_k = 2\pi \cdot k + \frac{1}{2} \pi$ mit einer ganzen Zahl $k \in \mathbb Z$. Der $y$-Wert jedes Hochpunktes ist $1$.
Die Tiefpunkte liegen an den Stellen der Form $x= 2\pi \cdot k - \frac{1}{2}\pi$ mit einer ganzen Zahl $k \in \mathbb Z$, also bei $x=\frac{5}{2}\pi$, $x=\frac{9}{2} \pi$ usw. und bei $x=-\frac{1}{2} \pi$, $x=-\frac{5}{2}\pi$ usw. Der $y$-Wert jedes Tiefpunktes ist $-1$.
Zwischen je zwei Hochpunkten liegt ein Tiefpunkt und umgekehrt. Die $x$-Werte nebeneinander liegender Hoch- und Tiefpunkte haben den Abstand $\pi$.
Sinusfunktion: Definitionsmenge, Wertemenge
Die Definitionsmenge $\mathbb D$ der Sinusfunktion ist $\mathbb D = \mathbb R$, denn man kann jeden beliebigen Wert $x \in \mathbb R$ in die Sinusfunktion einsetzen. Dies entspricht der Tatsache, dass wir bei der Berechnung der Bogenlänge beliebig oft um den Kreis herum drehen können.
Die Wertemenge $\mathbb W$ der Sinusfunktion ist $\mathbb W = [-1,1]$. Denn jede Zahl $y \in [-1,1]$ zwischen dem $y$-Wert eines Tiefpunktes $y=-1$ und dem $y$-Wert eines Hochpunktes $y=1$ ist ein $y$-Wert der Sinusfunktion. Man sagt: die Amplitude der Sinusfunktion ist $1$. Die Amplitude beschreibt den Ausschlag einer Schwingung in jede der beiden Schwingungsrichtungen.
Sinusfunktion: Periode
An dem Funktionsgraph der Sinusfunktion kann man ablesen, dass sich jeder Wert der Sinusfunktion periodisch wiederholt. Die Periode $p$ der periodischen Funktion $\sin(x)$ ist der kleinste Wert $p$, für den gilt:
$\sin(x) = \sin(x+p)$
Die Periode $p$ ist der Abstand zweier nebeneinander liegender Punkte des Funktionsgraphen mit demselben $y$-Wert, also z.B. zweier nebeneinander liegender Hochpunkte:
Dieser Abstand ist immer $2\pi$. Daher ist die Periode $p = 2\pi$ und es gilt für jedes $x$:
$\sin(x) = \sin(x+2\pi)$
Auch zwei nebeneinander liegende Tiefpunkte haben den Abstand $2\pi$. Aber Achtung: Der Abstand zweier nebeneinander liegender Nullstellen ist nicht $2\pi$, sondern nur $\pi$! Dieser Abstand ist nicht die Periode der Funktion, denn die Verläufe der Sinusfunktion an zwei nebeneinander liegenden Nullstellen ist verschieden.
Sinusfunktion: Symmetrie
Der Funktionsgraph der Sinusfunktion ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Jede Gerade durch einen Punkt auf dem Funktionsgraphen und den Koordinatenursprung schneidet den Funktionsgraphen in dem am Koordinatenursprung gespiegelten Punkt. Die Punktsymmetrie kannst du durch eine der beiden folgenden äquivalenten Formeln beschreiben:
$\sin(-x) = -\sin(x)$ oder $\sin(x) = -\sin(-x)$
In der folgenden Tabelle sind die wichtigsten Kennwerte der Sinusfunktion noch einmal für dich zusammengefasst:
| Definitionsmenge | $\mathbb D = \mathbb R$ | |
|---|---|---|
| Wertemenge | $\mathbb D = [-1,1]$ | |
| Nullstellen | $0$, $\pi$, $2\pi$, $-\pi$, $-2\pi$ usw. | $x_k = k \cdot \pi$, $k \in \mathbb Z$ |
| Hochpunkte | $\frac{1}{2}\pi$, $\frac{5}{2}\pi$, $-\frac{3}{2}\pi$, $-\frac{7}{2}\pi$ usw. | $x_k=2\pi k + \frac{1}{2}\pi$, $k \in \mathbb Z$ |
| Tiefpunkte | $\frac{3}{2}\pi$, $\frac{7}{2}\pi$, $-\frac{1}{2}\pi$, $-\frac{1}{2}\pi$ usw. | $x_k = 2\pi k - \frac{1}{2}\pi$, $k \in \mathbb Z$ |
| Periode | $p=2\pi$ | $\sin(x) = \sin(x+2\pi) $ |
| Symmetrie | punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung | $\sin(x) = -\sin(-x)$ $\sin(-x) = -\sin(x)$ |
Dieses Video
Du lernst in diesem Video die Eigenschaften der Sinusfunktion: Die Definition des Sinus am Einheitskreis, die Bogenlänge als Winkelmaß, Definitions- und Wertemenge der Sinusfunktion sowie ihre Nullstellen, Hochpunkte, Tiefpunkte, Periode und Symmetrie.
Transkript Sinusfunktion – Überblick/Eigenschaften
Linus ist ein ganz besonderer Wurm. Er liebt es, den Nachthimmel zu betrachten. Heute den Mond. Was es auf dem Mond wohl noch alles zu entdecken gibt? Huch..wer ist das denn? Das ist der Mondwurm Minus. Auch er ist fasziniert vom Nachthimmel. Doch plötzlich hat er nur noch Augen für Linus. Wenn das mal nicht Liebe auf den ersten Blick ist. Um seiner neuen Liebe Minus einen romantischen Besuch abstatten zu können, muss Linus natürlich sofort zum Mond. Weil der Mond in schöner Regelmäßigkeit die Erde umkreist, brauchen wir für die Planung der Mondreise die Sinusfunktion. Hier siehst du, wie der Mond die Erde umkreist. Wir zeichnen hier erstmal ein Koordinatensystem so, dass die Erde in dessen Ursprung liegt. Und dann verbinden wir die Erde und den Mond mit einer Strecke. In Wirklichkeit ist der Mond natürlich sehr weit weg – aber tun wir doch einfach mal so, als wäre der Abstand zwischen Mond und Erde... Eins. Einen Kreis mit Radius Eins nennt man Einheitskreis. Zeichnen wir doch mal diese Hilfslinie als Abstand des Punktes zu der x-Achse ein. Fällt dir etwas auf? Dieses entstehende Dreieck ist ein rechtwinkliges Dreieck. Hier liegt seine Hypotenuse, hier die Gegenkathete und diesen Winkel nennen wir alpha. Wie können wir die Länge der Gegenkathete bestimmen? Dazu benutzen wir den Sinus von alpha. Der Sinus von alpha ist nämlich definiert als: Gegenkathete durch Hypotenuse. Kann man diesen Zusammenhang noch weiter vereinfachen? Weil die Hypotenuse gerade dem Radius des Einheitskreises entspricht, ist ihre Länge gleich eins. Also können wir für die Hypotenuse hier 1 einsetzen und damit ist der Sinus von alpha gleich der Gegenkathete. Nun tragen wir die Länge der Gegenkathete in Abhängigkeit von alpha in ein Koordinatensystem ein und erhalten diesen Graphen. Weil Winkel mit ihren Gradzahlen etwas unhandlich sind, benutzt man lieber das Bogenmaß. Ein Winkel im Bogenmaß entspricht der Länge des Kreisbogens, den der Winkel im Einheitskreis aufspannt. Der Umfang eines Kreises ist gleich 2π * r. Das heißt, der Umfang des Einheitskreises beträgt 2π. Also entsprechen 360 Grad gerade 2π. 180 Grad entsprechen π – also dem Umfang des Halbkreises und 90 Grad sind 1/2π– die Bogenlänge eines Viertels des Einheitskreises. Schauen wir uns den Graphen nun genauer an. In der Sinusfunktion schreibt man üblicherweise ein x an Stelle von alpha – und gibt auch alle übrigen Werte im Bogenmaß an. Doch vorsicht: Dieses x ist nicht zu verwechseln mit der x-Koordinate im Einheitskreis! Um die Eigenschaften der Sinusfunktion besser feststellen zu können, zeichnen wir unseren Graphen noch ein wenig weiter. Welche markanten Punkte fallen dir auf? Die Nullstellen liegen hier bei x = 0, π und 2π und so weiter. Weitere Nullstellen findest du bei -π, -2π und immer so weiter. Merke dir: Die k-te Nullstelle der Funktion Sinus x liegt allgemein bei k * π. Die Nullstelle bei x gleich 0 ist dann die nullte Nullstelle! Dabei ist k Element der ganzen Zahlen. Unserem Graphen können wir außer der Nullstellen noch Hoch- und Tiefpunkte entnehmen. Dieser Hochpunkt liegt bei x gleich 1/2π Den nächsten Hochpunkt finden wir bei x gleich '5 Halbe'π ... also bei 2 1/2π. Allgemein kannst du den x-Wert des k-ten Hochpunktes mittels dieser Beziehung bestimmen. Dabei ist k wieder Element der ganzen Zahlen. Einen Tiefpunkt finden wir bei x gleich drei halbe π und einen weiteren bei '7 Halbe' π, also bei 4π - 1/2π. Dementsprechend erhalten wir die x-Werte aller Tiefpunkte über diesen Zusammenhang. Hoch- und Tiefpunkte liegen immer abwechselnd und um π verschoben. Übrigens: Die y-Koordinaten der Hochpunkte sind immer 1 und die der Tiefpunkte immer -1. Also besteht die Wertemenge der Sinusfunktion aus allen reellen Zahlen zwischen -1 und 1. Man sagt dann, dass die Amplitude dieser Sinusfunktion gleich eins ist. Die Amplitude ist allgemein die Hälfte dieses Abstandes. Da wir zudem alle beliebigen reellen Zahlen für x einsetzen können, ist die Definitionsmenge gleich R. Man kann sich schließlich beliebig oft entlang des Einheitskreises drehen! Erkennst du noch weitere Eigenschaften dieser Sinusfunktion? Wir können dem Graphen entnehmen, dass sich die Funktionswerte in regelmäßigen Abständen wiederholen. Man nennt solche Funktionen periodisch. Nach einer Periode wiederholen sich die Funktionswerte. Mathematisch schreiben wir das so, wobei p die Periode ist. Aber erkennst du auch die vorliegende Periode? Du kannst sie zum Beispiel als den x-Abstand der Hochpunkte bestimmen. Wir zählen von einem Hochpunkt zum nächsten 2π. Also ist p gleich 2π. Und damit ist sinus von x = sin(x) + 2π. Ebenso hätten wir auch den Abstand zweier Tiefpunkte betrachten können - das Resultat ist das gleiche. Du kannst aber auch den Abstand von einer Nullstelle zur ... jetzt Achtung: Übernächsten Nullstelle zählen. Die Funktion soll sich ja wiederholen – schauen wir uns die Verläufe um die Nullstellen an, sehen wir, dass wir immer mit der übernächsten Nullstelle vergleichen müssen. Erkennst du auch noch eine wichtige Symmetrie der Sinusfunktion? Sie ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Zeichnen wir eine Gerade durch einen Punkt auf dem Graphen und den Koordinatenursprung, erhalten wir den gespiegelten Punkt als Schnittpunkt des Graphen und der Geraden. Mathematisch schreibt man das: sin(x) = -sin(-x). Lass uns die Eigenschaften der Sinusfunktion noch kurz zusammenfassen. Die Sinusfunktion ist für alle reellen Zahlen definiert. Die Wertemenge sind alle Zahlen zwischen -1 und 1. Ihre Amplitude beträgt also 1. Außerdem ist die Sinusfunktion periodisch. Die Funktionswerte wiederholen sich nach einer Periode von 2π. Die Sinusfunktion besitzt unendlich viele Nullstellen und die k-te Nullstelle findest du bei xk = k * π. Die x-Koordinaten der Hochpunkte kannst du mit dieser Gleichung berechnen. Die y-Koordinate der Hochpunkte ist immer gleich 1. Dieso Beziehung liefert dir alle x-Koordinaten der Tiefpunkte, wo die y-Koordinaten stets gleich -1 sind. Die Sinusfunktion ist zudem punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung als Gleichung schreibt man das so. Linus und Minus wissen nun gut genug über den Sinus und damit über die Mondlaufbahn Bescheid. Zeit, sich endlich zu besuchen! ...hm. Vielleicht ist die Mondumlaufbahn doch kein perfekter Kreis.
Sinusfunktion – Überblick/Eigenschaften Übung
-
Bestimme die korrekten Aussagen.
TippsDie Strecke vom Nulldurchgang bis zu einer Extremstelle heißt bei trigonometrischen Funktionen Amplitude.
Die Sinusfunktion $f(x)=\text{sin}(x)$ ist auf der gesamten $x$-Achse definiert.
Das ist der Graph der Sinusfunktion.
LösungDiese Aussagen sind wahr:
- In die Sinusfunktion $f(x)=\text{sin}(x)$ kann man alle reellen Zahlen einsetzen.
- Die Sinusfunktion $f(x)=\text{sin}(x)$ kann Werte zwischen $-1$ und $1$ annehmen.
- Die Sinusfunktion $f(x)=\text{sin}(x)$ ist eine periodische Funktion.
Diese Aussagen sind falsch:
- Die Amplitude der Sinusfunktion ist $2$.
- Die Sinusfunktion $f(x)=\text{sin}(x)$ hat eine Periode von $\pi$.
-
Beschrifte den Graphen der Sinusfunktion.
TippsAlle Nullstellen der Sinusfunktion können durch $x_k= k \cdot \pi$ mit $k \in \mathbb{Z}$ angegeben werden.
Extremwerte befinden sich genau zwischen zwei Nullstellen.
LösungAlle Nullstellen der Sinusfunktion können durch $x_k= k \cdot \pi$ mit $k \in \mathbb{Z}$ angegeben werden. Für die ersten beiden positiven Nullstellen gilt: Für $k=0$ ergibt sich $x=0$ und für $k=1$ ergibt sich $x=\pi$. Das sind also die Nullstellen im Graphen.
Alle Hochpunkte der Sinusfunktion kann man durch $(2 \pi k + \frac{\pi}{2} |1)$ mit $k \in \mathbb{Z}$ ausdrücken. Der erste positive Hochpunkt liegt also für $k=0$ bei $(\frac{\pi}{2} |1)$.
Alle Tiefpunkte der Sinusfunktion kann man durch $(2 \pi k - \frac{\pi}{2} |1)$ mit $k \in \mathbb{Z}$ ausdrücken. Der erste positive Tiefpunkt liegt also für $k=1$ bei $(\frac{3\pi}{2} |-1)$. Hier muss $k=1$ eingesetzt werden, da man sonst im negativen $x$ Bereich landet.
-
Zeige die Punktsymmetrie eines Punktes der Sinusfunktion.
TippsZu Beginn jeder Rechnung muss aufgeschrieben werden, was ausgerechnet werden soll.
Die anfängliche Relation wird so lange durch Einsetzen oder Rechenschritte verändert, bis die Punktsymmetrie gezeigt ist.
LösungUm Punktsymmetrie zu zeigen, muss die Relation
$f(x)=-f(-x)$
nachgerechnet werden.
Zu Beginn jeder Rechnung muss aufgeschrieben werden, was ausgerechnet werden soll.
Wählt man
$f(x)=\text{sin}(x)$
und multipliziert mit $-1$, dann erhält man:
$\text{sin}(-x)=-\text{sin}(x)$.
Man konkretisiert was ausgerechnet werden soll.
Jetzt kann man Werte für $x$ einsetzten und kontrollieren, ob das stimmt. Für $x=\frac{\pi}{2}$ gilt:
Die gefundene Relation soll für einen Punkt geprüft werden.
$\text{sin}(-x)=\text{sin}(-\frac{\pi}{2})=-1$
Außerdem erhält man:
$-\text{sin}(x)=-\text{sin}(\frac{\pi}{2})=-1$.
Dazu setzt man den Punkt einzeln in beide Seiten der Gleichung ein und berechnet.
Die Werte sind also gleich. Damit ist die Punktsymmetrie für den Wert $x=\frac{\pi}{2}$ gezeigt.
Die Rechnung wird durch einen Antwortsatz abgeschlossen.
-
Bestimme die Besonderheit der gegebenen $x$-Werte.
TippsBenutze die behandelten Formeln, um herauszufinden, welche besonderen Stellen sich an den $x$-Werten befinden.
LösungNullstellen: $x=5 \pi$, $x=-3 \pi$, $x=-25 \pi$
Alle Nullstellen der Sinusfunktion können durch $x_k= k \cdot \pi,~k \in \mathbb{Z}$ angegeben werden. Die oben genannten Stellen ergeben sich für $k=5$, $k=-3$, $k=-25$.
Maxima: $x=-5 \frac{1}{2} \pi$, $x=-3,5 \pi$, $x=6 \frac{1}{2} \pi$
Alle $x$-Werte der Maxima der Sinusfunktion können durch $2 \pi k + \frac{\pi}{2}, ~k \in \mathbb{Z}$ angegeben werden. Die oben genannten Stellen ergeben sich für $k=-6$, $k=-4$ und $k=6$ .
Minima: $x=13,5 \pi$, $x=-\frac{13}{2} \pi$
Alle $x$-Werte der Mimima der Sinusfunktion können durch $2 \pi k - \frac{\pi}{2}, ~k \in \mathbb{Z}$ angegeben werden. Oben genannte Werte ergeben sich für $k=7$ und $k=-3$.
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Bestimme die korrekten Aussagen über die Sinusfunktion $f(x)=\text{sin}(x)$.
TippsDas ist der Graph der Sinusfunktion
LösungDiese Aussagen sind wahr:
- Die Sinusfunktion hat eine Nullstelle bei $x=0$.
- Die Funktionswerte der Sinusfunktion $f(x)=\text{sin}(x)$ wiederholen sich in regelmäßigen Abständen von $2 \pi$.
- Die Sinusfunktion ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.
Diese Aussagen sind falsch:
- Die Periode der Sinusfunktion $f(x)=\text{sin}(x)$ kann man an dem Abstand zweier nebeneinanderliegender Nullstellen ablesen.
- Die Sinusfunktion $f(x)=\text{sin}(x)$ hat bei $x=0$ einen Hochpunkt.
-
Erschließe die Streckung und Stauchung der Sinusfunktion $f(x)=\sin(x)$.
TippsBeim Strecken wird etwas in die Länge gezogen.
LösungUm die Sinusfunktion:
$f(x)=\sin(x)$
auf der $y$-Achse zu strecken oder zu stauchen, multipliziert man die Funktion mit einem Faktor $a$:
$f(x)=a \cdot \sin(x)$.
Ist der Faktor größer als eins, wird die Funktion gestreckt. Die Amplitude vergrößert sich.
Ist der Faktor kleiner als eins, wird die Funktion gestaucht. Die Amplitude verkleinert sich.
$f(x)=\sin(x)$
Um auf der $x$-Achse zu strecken oder zu stauchen, multipliziert man den $x$-Wert mit einem Faktor $b$:
$f(x)=\sin(b \cdot x)$.
Dieser Faktor verändert die Periode $p$ der Funktion.
Ist der Faktor größer als eins, wird die Funktion gestaucht. Die Periode verkleinert sich.
Ist der Faktor kleiner als eins, wird die Funktion gestreckt. Die Periode vergrößert sich.
Beim Strecken wird etwas in die Länge gezogen und beim Stauchen verkleinert.
Die Funktion:
$g(x)= 2 \sin(x)$
wurde also auf der $y$-Achse gestreckt.
Die Funktion
$h(x)= \sin(2x)$
wurde auf der $x$-Achse gestaucht.
Die beiden Veränderungen können auch kombiniert werden:
$u(x)= 2 \sin(2x)$.
Der Faktor $a$ streckt/staucht die Funktion auf der $y$-Achse und der Faktor $b$ auf der $x$-Achse.
Sinusfunktion – Überblick/Eigenschaften
Sinusfunktion – Anschauliche Erklärung
Sinusfunktion ohne Zahlen
Sinusfunktion für alle reellen Zahlen (1)
Sinusfunktion für alle reellen Zahlen (2)
Sinusfunktion – Spezielle Werte (1)
Sinusfunktion – Spezielle Werte (2)
Sinusfunktion – Spezielle Werte (3)
Sinusfunktion – Achsensymmetrie
Sinusfunktion – Punktsymmetrie
Sinusfunktion – Funktionsgleichung aus Graph ermitteln
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2 Kommentare
gut erklärt und die "Würmis" sind nett
Erster