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Umfang von Dreiecken 10:47 min

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Transkript Umfang von Dreiecken

Hallo liebe Schülerinnen und Schüler, herzlich willkommen zur Geometrie Teil 11. Das heutige Video heißt: Umfang von Dreiecken. Nehmen wir einfach mal an, wir haben ein dreieckiges Gelände. Ein erfolgreicher holländischer Fußballspieler soll die gesamte Strecke um dieses Dreieck herumlaufen. Wie groß ist die Gesamtlänge, dieser Strecke? Notieren wir zunächst einmal die Eckpunkte des Dreiecks. Mit Großbuchstaben A, B und C. Wir messen nun die einzelnen Dreiecksseiten aus. AB beträgt 235m, BC 200 und CA 185m. Nun werden die Dreiecksseiten durch Kleinbuchstaben bezeichnet. Klein a, liegt gegenüber des Punktes A, b gegenüber des Punktes B und c gegenüber des Punktes C. Also beträgt a=200m, b=185m und c=235m. Der Umfang dieses Dreiecks berechnet sich offensichtlich aus der Summe der längen der einzelnen Dreiecksseiten. Also u=200m+185m+235m. Eine gewissenhafte Addition dieser 3 Summanden ergibt, u=620m. Das Dreieck, das wir hier betrachten, ist ein unregelmäßiges Dreieck. Die Formel für den Umfang des unregelmäßigen Dreiecks lautet somit u=a+b+c. Der Umfang berechnet sich folgendermaßen: Wir bestimmen die Seiten und addieren sie. Wir betrachten nun, das rechtwinklige Dreieck. Auch für das rechtwinklige Dreieck gilt die Formel u=a+b+c. Wir beschriften die Eckpunkte des Dreiecks mit den Großbuchstaben A, B und C und die entsprechend gegenüberliegenden Seiten mit den Kleinbuchstaben a,b und c. Wir messen nun die Seitenlängen aus. Für a erhalten wir 19,7cm, für b werden 24,0cm gemessen und c erhalten wir 13,7cm. Nach der Formel für den Umfang des Dreiecks berechnen wir u=19,7cm+24,0cm+13,7cm. U=57,4cm. So müssen wir die allgemeine Formel für den Umfang eines Dreiecks, auch für ein rechtwinkliges Dreieck verwenden. Als Nächstes betrachten wir ein solches Dreieck, könnt ihr euch noch erinnern, um was für ein Dreieck es sich hier handelt? Richtig, es ist ein gleichschenkliges Dreieck. Wir beschriften zunächst die Eckpunkte mit den Großbuchstaben A, B und C und die entsprechend gegenüberliegenden Seiten mit den Kleinbuchstaben a,b und c. Nun messe ich die Seiten aus. Für a erhalte ich 19,5cm. Nun messe ich b aus, ach ich erinnere mich aber, es gab etwas zu beachten. Beim gleichschenkligen Dreieck gilt a=b. Die Schenkel sind beide gleichlang. Also kann ich für den anderen Schenkel schreiben, b=19,5cm. C, die Länge der Basis, muss ich noch ausmessen. C=14,3cm. Für den Umfang erhalte ich nach unserer Umfangsformel u=19,5cm+19,5cm+14,3cm. Die Addition dieser 3 Summanden ergibt 53,3cm. Was habe ich eigentlich gerechnet? U=a+ (a=b) a +c. Also vereinfacht sich unsere ursprüngliche Formel U=a+b+c zu U=2a+c. Wir formulieren nun in Worten, wie wir den Umfang berechnet haben. Wir messen die Länge eines Schenkels (a) aus, verdoppeln das Ergebnis (2a) und addieren (+) die Länge der Basis(c). Für den letzten Fall, den wir betrachten wollen, müssen wir noch einmal die allgemeine Formel für den Umfang eines Dreiecks notieren. Erinnert ihr euch? U=a+b+c. Welche Art von Dreieck haben wir noch nicht betrachtet? Richtig, es ist das gleichseitige Dreieck. Ich habe hier einen hübschen Vertreter, den ihr schon aus einem anderen Video kennt. Wir bezeichnen die Eckpunkte mit den Großbuchstaben A, B und C und die entsprechenden Seiten mit den kleinen Buchstaben a, b und c. Ich messe nun die Seiten und beginne mit a, a ist gleich 13cm. Jetzt möchte ich b messen, aber halt da gab es doch eine Beziehung. Richtig, wir haben es hier mit einem gleichseitigen Dreieck zu tun. In diesem Dreieck sind alle 3 Seitenlängen gleich. Also a=b=c. Also können wir auch für b=13cm und für c=13cm schreiben. Wir berechnen  nun den Umfang unseres gleichseitigen Dreiecks. U=13cm+13cm+13cm. Wir haben hier gerechnet u=a+, und da a=b ist, a+ und da b=c  und a=b ist +a. Also u=3a=3×13cm. U ist folglich 39cm lang. Demzufolge vereinfacht sich unsere allgemeine Formel für die Berechnung des Umfangs von Dreiecken, zu U=3a. Wir formulieren nun, wie man den Umfang eines gleichseitigen Dreiecks berechnet. Man bestimmt eine Seitenlänge (a), verdreifacht diese Seitenlänge (3a) und erhält so den Umfang des Dreiecks (u). So bevor wir das Video beenden, möchte ich die Ergebnisse in einer kleinen Übersicht zusammenfassen. Wir haben unterschiedliche Dreiecke betrachtet, so wie ich sie hier darstelle. Das Dreieck ganz links ist unregelmäßig. Das Dreieck daneben ist ein rechtwinkliges Dreieck. Das 3. Dreieck in der Reihe schließlich ist gleichschenklig und das letzte Dreieck ist gleichseitig. Im unregelmäßigen Dreieck sind alle drei Seitenlängen verschieden. Also a?b, b?c und c?a. Genauso sieht es im rechtwinkligen Dreieck aus. Auch hier gilt a?b, b?c und c?a. Im gleichschenkligen Dreieck sind 2 Seiten gleichlang, und zwar sind das die beiden Schenkel. A=b?c. Im gleichseitigen Dreieck sind alle 3 Seiten gleich lang, also a=b=c. Für den Umfang im unregelmäßigen Dreieck gilt U=a+b+c. Im rechtwinkligen Dreieck erhalten wir dieselbe Formel. Ebenfalls U=a+b+c. Im gleichschenkligen Dreieck vereinfacht sich die Formel etwas. Wir erhalten U=2a+c. Im gleichseitigen Dreieck ist die Formel am einfachsten, U=3a. So das war es wieder für heute. Ich hoffe ihr hattet ein wenig Spaß, so wie ich auch. Ich wünsche euch alles Gute und viel Erfolg. Tschüss.

16 Kommentare
  1. Default

    Ach, Dankeschön für das Kompliment und noch mal vielen, vielen Dank für Ihre Bemühungen:)

    Von Ekr Forstner, vor 8 Monaten
  2. 001

    Vielen Dank für die stilvolle Kommunikation. Das ist durchaus nicht selbstverständlich.
    Alles Gute

    Von André Otto, vor 8 Monaten
  3. Default

    Vielen Dank für Ihre Hilfe und Ihre Bemühungen. Dann handelt es sich bei mir womöglich um "große Dreiecke", da schau ich gleich mal nach, ob ich eine Formel dazu finde.

    Vielen Dank, dass Sie sich so viel Zeit genommen haben.

    Von Ekr Forstner, vor 8 Monaten
  4. 001

    Hallo,
    klare / diffuse Aufgabenstellung ===> Ergebnis / kein Ergebnis.
    Wenn man n Punkte hat, deren aller Tripel Dreiecke bilden, so ist die Zahl der Dreiecke n über 3. Bei n = 7 ist das 7 über 3 oder 7!/[(3!(7-3)!] = 35.
    Anders muss man rechnen, wenn Punktetripel auf einer Geraden liegen. Dann gibt es "große Dreiecke", die Punkte enthalten, die keine Eckpunkte sind. Die muss man dazuzählen. Es entfallen dann die "entarteten Dreiecke". Das sind die Dreiecke, deren Eckpunkte auf einer Geraden liegen. Die entsprechende Rechnung möchte ich bitte nicht ausführen.
    Damit möchte ich Dich wieder in die Welt der Mathematik entlassen. Den Rest musst Du selber bewältigen.
    Alles Gute und viel Erfolg

    Von André Otto, vor 8 Monaten
  5. Default

    Vielen Dank für Ihre schnelle Rückmeldung.
    Irgendwie konnte ich das ganze aber trotzdem noch nicht nachvollziehen. Das mit den "zwei verbinden" ist mir klar, aber hier müsste ich ja 3 verbinden.
    Und ich hab jetzt auch schon versucht, irgendein Chema daraus zu erkennen, also wenn man insgesamt 7 Punkte hat: 2 oben, 5 unten
    ich hab gerechnet
    2*(2*5) = 20
    20 +5 = 25

    aber wenn jetzt 5 Punkte oben sind und drei unten und ich rechne
    2*(5*3) = 30 ... dann kann ich ja nicht einfach so 15 dazuzuählen (das richtige Ergebnis wäre nämlich 45)

    Aber das ist jetzt egal, ich hab Sie eh schon lange genug aufgehalten.

    Vielen lieben Dank
    Mit freundlichen Grüßen
    Elena

    Von Ekr Forstner, vor 8 Monaten
  1. 001

    Hallo Elena,
    eigentlich kann man die Aufgabe auch in der 8. Klasse lösen. Das heißt ohne den Binomialkoeffizienten.
    Wenn ich nämlich 5 Punkte habe und und möchte die Anzahl der Möglichkeiten berechnen, zwei zu verbinden, so kann das jeder der 5 Punkte mit den 4 anderen. Also 5 * 4 = 20. Da zu jedem Paar immer zwei Punkte gehören, muss man das Ergebnis durch 2 teilen. Also 10.
    Viele Grüße

    Von André Otto, vor 8 Monaten
  2. Default

    das Programm hat mir die "x" jetzt anders angeordnet. Die Punkte oben sollten eigentlich über dem zweiten und vierten von unten stehen ...

    Von Ekr Forstner, vor 8 Monaten
  3. Default

    Vielen, vielen Dank für die schnelle Rückmeldung.
    Leider bin ich noch nicht zehnte Klasse (achte;)),
    Neben der Aufgabenstellung war uns ein Bild gegeben (von den Punkten) ich kann Ihnen das Prinzip ja mal zeigen (x = Punkt)

    x x
    x x x x x

    So waren die Punkte angeordnet.

    Entschuldigen Sie, wenn ich Sie jetzt so lange damit aufhalte.

    Vielen Dank trotzdem und auch schon mal vielen Dank im Voraus
    Mit freundlichen Grüßen
    Elena

    Von Ekr Forstner, vor 8 Monaten
  4. 001

    Hallo,

    "oben" und "unten" bedeutet offensichtlich, dass die (verschiedenen) 5 Punkte auf einer Geraden liegen. Dann hat man zu unterscheiden:

    1. oben zwei Punkte, unten einer
    Das macht 1 * 5 = 5 Möglichkeiten.
    2. oben ein Punkt, unten zwei
    Das macht 2 * (5 über 2) = 2 * 10 = 20 Möglichkeiten..
    Zusammen erhält man 5 + 20 = 25 Dreiecke.
    Anm.: (5 über 2) bedeutet Binomialkoeffizient. Die Aufgabe ist geeignet ab etwa Klasse 10.
    Alles Gute und viel Erfolg

    Von André Otto, vor 8 Monaten
  5. Default

    Hallo:) Dieses Video finde ich sehr gut erklärt, auch anhand der Beispielaufgaben. Jedoch habe ich eine Frage. (bin mir aber nicht sicher, ob die hier her passt)
    Wenn jetzt nur Punkte gegeben sind, z.B: 7
    und die Aufgabenstellung lautet: Im Bild rechts siehst du 7 Punkte: 2 oben, 5 unten. Benutze je 3 der 7 Punkte als Eckpunkte eines Dreiecks. Wie viel Dreiecke gibt es höchstens?

    Woher weiß man, dass es 25 Dreiecke sind, gibt es da eine Formel?

    Dies war keine Hausaufgabe (sonst hätte ich es natürlich im Hausaufgabenchat gestellt) ...

    Vielen Dank im Voraus
    mit freundlichen Grüßen
    Elena

    Von Ekr Forstner, vor 8 Monaten
  6. Default

    geiles video hat mir mega geholfen

    Von Kerimsina2004, vor 12 Monaten
  7. Default

    sehr gut erklärt hat mir geholfen

    Von Zimmi0912, vor etwa einem Jahr
  8. 001

    Hallo Juliane, dafür ist die Redaktion zuständig.

    Alles Gute

    Von André Otto, vor mehr als einem Jahr
  9. Wp 000233

    Hallo, bitte dieses Video nicht mehr in die 10.Klasse einordnen, ist viel zu einfach dafür, danke.

    Von Juliane Viola D., vor mehr als einem Jahr
  10. Default

    er schreit immer noch

    Von Annette Moehler, vor mehr als 4 Jahren
  11. Default

    hat mir echt geholfen

    Von Cmllm, vor mehr als 4 Jahren
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