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Zehnerpotenzen – Komma verschieben (2)

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Martin Wabnik
Zehnerpotenzen – Komma verschieben (2)
lernst du in der Sekundarstufe 1. Klasse - 2. Klasse - 3. Klasse - 4. Klasse

Beschreibung Zehnerpotenzen – Komma verschieben (2)

Herzlich Willkommen zum Video „ Zehnerpotenzen - Komma verschieben 2 “. Was erwartet dich in diesem Video? Die Fortsetzung vom Video „ Zehnerpotenzen - Komma verschieben 1 “. Im letzten Film wurde gezeigt, wie sich das Komma von 1,783 verschiebt, wenn man diese Dezimalzahl mit Zehn multipliziert. Was passiert nun, wenn man 17,83 mit 10 multipliziert? Man kann es sich schon denken, aber wir wollen es noch einmal ausführlich erläutern. Wie verschiebt man nun das Komma und was hat es mit den Zehnerpotenzen zu tun? Finde es heraus! Viel Spaß beim Schauen!

Transkript Zehnerpotenzen – Komma verschieben (2)

Hallo! Im letzten Film habe ich gezeigt, dass sich das Komma verschiebt, wenn man 1,783 mit 10 multipliziert und zwar es verschiebt sich um eine Stelle nach rechts. Das kann man hier schön nachweisen, in dem man die Rechnungen alle einzeln ausführt und sich einmal überlegt, was bedeutet eigentlich das Stellenwertsystem und wo steht was. Ich möchte das jetzt noch mal weiter ausbauen und das, was hier herausgekommen ist, also die 17,83 noch einmal mit 10 multiplizieren. Dann habe ich hier also 17,83 × 10. Na ja, man kann sich schon denken, was rauskommen wird, das Komma wird sich wieder um eine Stelle verschieben, aber ich möchte eben begründen, warum das so ist. Man braucht, man muss sich das einmal wirklich genau überlegen, damit man das dann hinterher immer wieder anwenden kann und danach nicht durcheinander kommt. Wir haben also hier die 1 auf der Zehnerstelle, davor übrigens kommt die Hunderterstelle, angedeutet durch das große "H", hier ist die Einerstelle, dann kommt das Komma. Nach dem Komma haben wir Zehntel, das schreibt man mit einem kleinen "z" und danach kommen die Hundertstel, die Hunderstelstelle ist also die zweite Stelle nach dem Komma. Hier haben wir auf der Hunderstelstelle die 3, auf der Zehntelstelle die 8, auf der Einer die 7 und auf der Zehnerstelle die 1, und wenn man das Ganze jetzt mit 10 multipliziert, kann man das eben stellenweise machen, das heißt erst die 10, dann die 7 Einer, dann die 8 Zehntel und dann die 3 Hundertstel. Und wenn man 10 mit 10 multipliziert, kommt 100 raus, dann kann ich da schon mal die 1 hinschreiben. Wenn man 7 mit 10 multipliziert, kommt 70 raus, das sind also 7 Zehner, die kommen hier hin. Wenn man 8 Zehntel mit 10 multipliziert, dann kann man eine 10 kürzen, das sind die 8 Zehntel hier, die werden mit 10 multipliziert, 10 kürzen, heraus kommt 8, also 8 Einer. Danach wird das Komma erscheinen, ich habe hier 3 Hundertstel, das schreibe ich auch noch als Nebenrechnung hin. 3 Hundertstel, die werden mit 10 multipliziert und dann kommt da, kann man ja eine 10 kürzen, 100 ist ja 10 × 10, eine 10 kann man kürzen, 3 Zehntel bleiben übrig und dann kommen diese 3 hier also jetzt auf die Zehntelstelle und wie vorausgesagt, wenn man diese beiden Zahlen vergleicht, 178,3 und 17,83, dann stellt man fest, sie unterscheiden sich im Schriftbild lediglich dadurch, dass das Komma von hier, von dieser Zahl zu der hier sich um eine Stelle nach rechts verschoben hat. Und wenn wir jetzt mal beide Tafeln ankucken, ja es jetzt sehr ausführlich und vermutlich stinklangweilig, wir haben 1,783 zwei Mal mit 10 multipliziert und das Komma hat sich jeweils um eine Stelle nach rechts verschoben von hier nach da und von da nach da und wir könnten natürlich auch diese 1,783 mit 102 multiplizieren, das ist ja wie × 10 × 10, also mit 100 multiplizieren, dann würde sich das Komma also um zwei Stellen nach rechts verschieben. Außerdem ist es so, wenn man jetzt 1,783 mit 103 multiplizieren würde, das könnte ich hier noch vormachen, das Komma würde sich um eine weitere Stelle nach rechts verschieben, insgesamt also um 3 Stellen, das heißt, man kann sich also so als Faustregel merken: Wenn ich eine Dezimalzahl, das heißt, so eine Kommazahl mit einer 10 und einem Exponenten multipliziere, wobei der Exponent eine natürliche Zahl sei, also 103, 104, 105 oder so was, dann verschiebt sich das Komma nach rechts, und zwar um so viele Stellen, wie der Exponent anzeigt. Wenn ich diese Zahl hier mit 1038 multiplizieren würde, dann könnte ich das Komma einfach um 38 Stellen verschieben, und wie das funktioniert, das zeige ich in dem nächsten Film. Bis dahin, viel Spaß. Tschüss.

Zehnerpotenzen – Komma verschieben (2) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Zehnerpotenzen – Komma verschieben (2) kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib die entsprechende Stelle der einzelnen Ziffer an.

    Tipps

    Vor dem Komma stehen die Einer, Zehner, Hunderter, Tausender, ...

    Hinter dem Komma stehen die Zehntel, Hundertstel, Tausendstel, ...

    Die erste Stelle vor dem Komma ist die Einerstelle.

    Lösung

    Die Dezimalzahl $17,83$ soll mit $10$ multipliziert werden. In dieser Dezimalzahl steht

    • die $1$ an der Zehnerstelle,
    • die $7$ an der Einerstelle,
    • die $8$ an der Zehntelstelle und
    • die $3$ an der Hundertstelstelle.
    Allgemein sieht eine Dezimalzahl wie folgt aus:

    $...T H Z E , z h t ...$,

    dabei steht

    • ... $T$ für Tausender, $H$ für Hunderter, $Z$ für Zehner, $E$ für Einer und
    • $z$ für Zehntel, $h$ für Hundertstel, $t$ für Tausendstel ...

  • Berechne das Produkt.

    Tipps

    Schreibe $17,83$ als Summand der Zehner, Einer, Zehntel und Hundertstel.

    Multipliziere nun jede Stelle mit $10$.

    Zum Beispiel ist $\frac5{10000}\cdot 10 =\frac5{1000}$.

    Vor der Multiplikation stand die $5$ an der fünften, der Zehntausendstelstelle, und nach der Multiplikation an der vierten, der Tausendstelstelle, Stelle hinter dem Komma.

    Die Zahlen werden jeweils um eine Stelle nach links verschoben.

    Lösung

    Es soll $17,83$ mit $10$ multipliziert werden.

    $17,83$ setzt sich zusammen aus den Summanden $1$ Zehner, $7$ Einer, $8$ Zehntel und $3$ Hundertstel. Also kann die Summe mit $10$ multipliziert werden:

    • $10\cdot 10=100$. Das bedeutet, die $1$ kommt auf die Hunderterstelle.
    • $7\cdot 10=70$. Die $7$ kommt also auf die Zehnerstelle.
    • $\frac 8{10}\cdot 10=8$. Die $8$ kommt also auf die Einerstelle.
    • $\frac 3{100}\cdot 10=\frac3{10}$. Die $3$ kommt also auf die Zehntelstelle.
    Insgesamt lautet das Ergebnis: $178,3$.

  • Bestimme jeweils die Zehner, Einer, Zehntel, Hundertstel.

    Tipps

    Die Stellen vor dem Komma sind die Einer (E), Zehner (Z), Hunderter (H), ...

    Die Stellen nach dem Komma sind die Zehntel (z), Hundertstel (h), ...

    Nicht jede der vier Stellen kommt in jeder der Zahlen vor.

    Orientiere dich an dem Komma.

    Lösung

    Eine Dezimalzahl ist eine Zahl mit einem Komma. Vor und hinter dem Komma stehen Zahlen:

    $....T H Z E , z h t ...$,

    dabei steht

    • ... $T$ für Tausender, $H$ für Hunderter, $Z$ für Zehner, $E$ für Einer und
    • $z$ für Zehntel, $h$ für Hundertstel, $t$ für Tausendstel, ...
    1. Bei $12,56$ steht $1$ an der Zehner-, $2$ an der Einer-, $5$ an der Zehntel- und $6$ an der Hundertstelstelle.
    2. Bei $6,45$ steht $6$ an der Einer-, $4$ an der Zehntel- und $5$ an der Hundertstelstelle. Es gibt keine Zehnerstelle.
    3. Bei $0,8$ steht $0$ an der Einer- und $8$ an der Zehntelstelle. Es gibt keine Zehner- und Hundertstelstelle.
    4. Bei $23,4$ steht $2$ an der Zehner-, $3$ an der Einer- und $4$ an der Zehntelstelle. Es gibt keine Hundertstelstelle.

  • Ermittle das jeweilige Produkt.

    Tipps

    Merke dir: Bei der Multiplikation einer Dezimalzahl mit $10$ wird das Komma um eine Stelle nach rechts verschoben.

    Merke dir: Bei der Multiplikation einer Dezimalzahl mit einer Zehnerpotenz mit dem natürlichen Exponenten $n$ wird das Komma um $n$ Stellen nach rechts verschoben.

    Wenn du das Komma nicht mehr verschieben kannst, kannst du Nullen hinter der Zahl einfügen. Zum Beispiel:

    $0,87\cdot 1000=870$.

    Lösung

    Bei der Multiplikation von Dezimalzahlen mit Zehnerpotenzen kann man sich merken, dass das Komma ebenso viele Stellen nach rechts verschoben wird, wie die Zahl im Exponenten. Die Zahl im Exponenten ist auch die Zahl der Nullen, wenn die Zehnerpotenz ausgeschrieben wird: $10^6=1000000$.

    • $1,41421\cdot 1000=1414,21$
    • $141,421\cdot 10000=1414210$
    • $3,162277\cdot 10=31,62277$
    • $0,3162277\cdot 100000=31622,77$

  • Benenne Merkregeln zur Multiplikation von Dezimalzahlen mit Zehnerpotenzen.

    Tipps

    Es ist zum Beispiel

    $17,83\cdot 10=178,3$.

    Du kannst dir eine Dezimalzahl

    • vor dem Komma als Einer (E), Zehner (Z), Hunderter (H), ...
    • und hinter dem Komma als Zehntel (z), Hundertstel (h), ...
    merken.

    Wenn du ein Hundertstel

    • mit $10$ multiplizierst, erhältst du ein Zehntel,
    • mit $100$ multiplizierst, erhältst du einen Einer,
    • mit $1000$ multiplizierst, erhältst du einem Zehner,
    • ...

    Lösung

    Wenn man mit $10$ multipliziert, wird das Komma um eine Stelle nach rechts verschoben.

    Dies ist in dem Video an dem Beispiel $17,83\cdot 10=178,3$ zu sehen.

    Wie kann man sich dies klarmachen?

    Die Stellen hinter dem Komma sind die Zehntel (z), Hundertstel (h), ...

    • Wenn man ein Zehntel (z), erste Stelle hinter dem Komma, mit $10$ multipliziert, erhält man einen Einer (E). Dies ist die erste Stelle vor dem Komma.
    • Wenn man ein Hundertstel (h), zweite Stelle hinter dem Komma, mit $10$ multipliziert, erhält man ein Zehntel (z). Dies ist die erste Stelle nach dem Komma.
    • ...
    Diese Aussage kann auch erweitert werden auf die Multiplikation mit höheren Zehnerpotenzen:

    Die Multiplikation einer Dezimalzahl mit $10^n$ führt dazu, dass das Komma um $n$ Stellen nach rechts verschoben wird. Also bei der Multiplikation mit $100$ wird das Komma um zwei Stellen nach rechts verschoben.

    Zum Beispiel ist

    $5,4321\cdot 10^4=54321,0=54321$

    oder

    $3,4567\cdot 10^5=345670,0=345670$.

    Da nicht so viele Nachkommastellen vorhanden sind, um welche das Komma verschoben werden könnte, werden entsprechend viele Nullstellen hinzugefügt.

  • Ordne der jeweiligen Multiplikation oder Division das Ergebnis zu.

    Tipps

    Schreibe die Zahlen ganz auf und runde nicht.

    Führende Nullen müssen nicht aufgeschrieben werden:

    $0345,6=345,6$.

    Bei der Division durch eine Zehnerpotenz wird die Zahl kleiner – wohin muss also das Komma verschoben werden?

    Wie weit das Komma verschoben werden muss, erkennst du an der Anzahl der Nullen der Zehnerpotenz.

    Lösung

    Wird mit einer Zehnerpotenz multipliziert, so wird das Komma nach rechts verschoben. Dies geschieht eben so weit wie die Anzahl der Nullen der Zehnerpotenz.

    Wird durch eine Zehnerpotenz dividiert, so wird das Komma nach links verschoben. Dies geschieht ebenso weit wie die Anzahl der Nullen der Zehnerpotenz.

    1. $323,876\cdot 100=32387,6$. Das Komma wird um zwei Stellen nach rechts verschoben.
    2. $25,1067:100=0,251067$. Das Komma wird um zwei Stellen nach links verschoben.
    3. $0,031014\cdot100000=3101,4$. Das Komma wird um fünf Stellen nach rechts verschoben.

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