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Winkelberechnung – Exkurs

Exkurs

Hier lernst du, wie du Winkel in geometrischen Formen berechnen kannst, wenn dir Größen gegeben sind.

Winkelberechnung

Die drei Innenwinkel im Dreieck werden meistens mit $\alpha, \beta$ und $\gamma$ bezeichnet.

Innenwinkel_eines_Dreicks.jpg

Ihre Summe beträgt immer $180°$, das heißt:

$\alpha + \beta + \gamma = 180°$

Die Innenwinkelsumme eines Vierecks beträgt immer $360°$, also:

$\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360°$

Innenwinkel_eines_Vierecks.jpg

Schneiden sich Geraden, entstehen Winkelpaare. Deren Lage zueinander weist Besonderheiten auf:

Winkelpaare.jpg

Zwei nebeneinanderliegende Winkel (Nebenwinkel) ergänzen sich immer zu $180°$. Es gilt also:

$\begin{array}{lllllll} \alpha + \beta = 180° && \beta + \gamma = 180° && \alpha + \delta = 180° && \gamma + \delta = 180° \end{array}$

Zwei sich gegenüberliegende Winkel (Scheitelwinkel) sind gleich groß.

$\begin{array}{lll} \alpha = \gamma && \beta = \delta \end{array}$

Betrachtet man zwei parallele Geraden, die von einer dritten Geraden geschnitten werden, so erkennt man gleich große Stufenwinkel, die jeweils auf derselben Seite liegen. Im folgenden Bild gilt $\alpha=60°$:

Stufen-_und_Wechselwinkel.jpg

Auch Wechselwinkel sind gleich groß, sie liegen aber auf jeweils unterschiedlichen Seiten: $\gamma=60°$

In der Trigonometrie sind die Winkelfunktionen Sinus, Cosinus und Tangens hilfreich, um Winkel oder Seitenlängen in rechtwinkligen Dreiecken zu berechnen:

$\sin(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} \\ \cos(\alpha) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} \\ \tan(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$

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