Zentrische Streckung – negativer Streckfaktor
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Grundlagen zum Thema Zentrische Streckung – negativer Streckfaktor
Zentrische Streckung mit negativem Streckfaktor – Erklärung
Du kennst schon die zentrische Streckung mit positivem Streckfaktor. Aber kann der Streckfaktor einer zentrischen Streckung auch negativ sein? Ja, das geht. In diesem Text wird das Thema Zentrische Streckung mit negativem Streckfaktor einfach erklärt. Dafür wird im Folgenden ein Fünfeck genauer betrachtet.
Das ungestreckte Ausgangsfünfeck ist die Ursprungsfigur. Ihre Punkte sind die Ursprungspunkte. Der Punkt, an dem man die zentrische Streckung durchführen will, nennt man Streckzentrum. Er wird mit einem $Z$ bezeichnet. Für den Streckfaktor wird die Variable $m$ genutzt. Wir wollen das Fünfeck um einen Streckfaktor von $m = -2$ strecken.
Negativer Streckfaktor – Konstruktionsschritte
Bei der zentrischen Streckung mit einem negativen Streckfaktor gehen wir ähnlich vor wie bei der zentrischen Streckung mit einem positiven Streckfaktor. Es wird Punkt für Punkt vorgegangen.
Wie zeichnen zunächst einen Hilfsstrahl durch den Ursprungspunkt $A$ und das Streckzentrum $Z$ und messen dann den Abstand von $A$ zu $Z$.
Dieser ist in dem Beispiel gleich $3\,\pu{cm}$. Diese Länge wird nun mit dem Streckfaktor multipliziert.
$\overline{AZ} \cdot m = 3\,\pu{cm} \cdot (-2) = -6\,\pu{cm}$
Doch was bedeutet der errechnete Wert von $-6\,\pu{cm}$ nun? Die Zahl $6$ verrät uns, dass der entstehende Punkt $6\,\pu{cm}$ vom Streckzentrum entfernt sein soll. Das Minus steht dafür, dass der Punkt auf der anderen Seite des Streckzentrums liegen soll. Also messen wir vom Streckzentrum aus $6\,\pu{cm}$ entlang des Hilfsstrahls ab, und zwar nicht in die Richtung des Ursprungspunkts, sondern in die entgegengesetzte Richtung.
$6\,\pu{cm}$ vom Streckzentrum entfernt liegt der neue Punkt. Er wird Bildpunkt genannt. Bildpunkte werden immer mit einem Strich gekennzeichnet. Der eben ermittelte Punkt wird demnach $A^\prime$ genannt.
Das Vorgehen wird nun bei Punkt $B$ wiederholt. Zuerst den Hilfsstrahl durch $Z$ zeichnen, dann den Abstand zwischen $Z$ und $B$ messen. Dieser beträgt:
$\overline{BZ} = 7\,\pu{cm}$
Nun diesen Abstand mit $m$ multiplizieren:
$\overline{BZ} \cdot m = 7\,\pu{cm} \cdot (-2) = -14\,\pu{cm}$
Also von $Z$ aus entlang des Hilfsstrahls $14\,\pu{cm}$ auf der gegenüberliegenden Seite abtragen. Dort liegt der Bildpunkt $B^\prime$.
Genauso fahren wir mit den übrigen Punkten fort.
- Hilfsstrahl zeichnen
- Entfernung abmessen
- Mit dem Streckfaktor $m$ multiplizieren
- Bildpunkt abtragen und einzeichnen
Nun müssen die Bildpunkte noch so miteinander verbunden werden, wie die Ursprungspunkte der Ursprungsfigur verbunden sind. Die entstehende Figur nennt man Bildfigur.
Die Bildfigur steht auf dem Kopf. Zudem liegt sie auf der anderen Seite des Streckzentrums. Außerdem ist die Bildfigur vergrößert. Man sagt, sie ist gestreckt.
Eine zentrische Streckung mit negativem Streckfaktor ist dasselbe wie eine zentrische Streckung mit positivem Streckfaktor, bei der die Bildfigur anschließend um $180^\circ$ um das Streckzentrum gedreht wird.
Negativer Streckfaktor – noch ein Beispiel
Betrachten wir nun das folgende Dreieck. Wir wollen es um den Faktor $m = -\frac{1}{3}$ strecken.
Beginnen wir wieder mit Punkt $A$. Wir zeichnen zunächst den Hilfsstrahl durch $A$ und $Z$. Die Länge zwischen den beiden Punkten beträgt:
$\overline{AZ} = 9\,\pu{cm}$
Diese Entfernung multiplizieren wir mit dem Streckfaktor:
$\overline{AZ} \cdot m = 9\,\pu{cm} \cdot (-\frac{1}{3}) = -3\,\pu{cm}$
Von $Z$ ausgehend messen wir auf der gegenüberliegenden Seite des Ursprungspunkts $3\,\pu{cm}$ ab. Dort liegt der Bildpunkt $A^\prime$. Mit den anderen beiden Punkten gehen wir genauso vor. Dann verbinden wir noch alle Bildpunkte und erhalten die Bildfigur.
Diese Bildfigur steht wieder auf dem Kopf, ist jedoch kleiner als die Ursprungsfigur. Man sagt, die Bildfigur ist gestaucht.
Negativer Streckfaktor – generelle Eigenschaften
Wo liegt die Bildfigur und wie groß ist sie eigentlich?
Ein negativer Streckfaktor bedeutet immer, dass die Bildfigur auf dem Kopf steht und sich auf der anderen Seite des Streckzentrums befindet.
Die Lage des Streckzentrums hat keinen Einfluss auf die Größe der Bildfigur. Auch hat sie keinen Einfluss auf die Orientierung der Bildfigur. Diese wird bei einem negativen Streckfaktor immer auf dem Kopf stehen. Die Lage des Streckzentrums bestimmt die Lage der Bildfigur. Das Streckzentrum kann auch im Inneren der Ursprungsfigur liegen. Dann liegen Bild- und Ursprungsfigur aufeinander. Liegt das Streckzentrum auf einer der Ecken der Ursprungsfigur, liegt die entsprechende Ecke der Bildfigur genau auf dem gleichen Punkt.
Der Streckfaktor hingegen bestimmt die Größe der Bildfigur. Wenn der Streckfaktor kleiner als $-1$ ist, dann ist die Bildfigur größer als die Ursprungsfigur. Kleiner als $-1$ bedeutet „weiter links“ auf dem Zahlenstrahl. Liegt $m$ zwischen $-1$ und $0$, ist die Bildfigur kleiner als die Ursprungsfigur. Ist $m$ genau $-1$, ist die Bildfigur genau die Punktspiegelung der Ursprungsfigur am Streckzentrum und damit genau gleich groß wie die Ursprungsfigur.
Und was passiert, wenn der Streckfaktor gleich $0$ ist? Da jede Entfernung in diesem Fall mit $0$ multipliziert wird, sind die Ergebnisse ebenfalls immer $0$. Die Bildpunkte haben also eine Entfernung von $0\,\pu{cm}$ zum Streckzentrum. Daraus folgt, dass sich alle Bildpunkte genau auf dem Streckzentrum befinden.
Zusammenfassung der zentrischen Streckung mit negativem Streckfaktor
Die folgenden Stichpunkte fassen noch einmal das Wichtigste zum Thema Zentrische Streckung mit negativem Streckfaktor zusammen.
- Bei einer zentrischen Streckung gibt es ein Streckzentrum $Z$ und einen Streckfaktor $m$.
- Ein negativer Streckfaktor bedeutet, dass $m$ kleiner als $0$ ist.
- Um eine Ursprungsfigur um den Faktor $m$ zentrisch zu strecken, geht man Punkt für Punkt vor.
- Zunächst wird durch jeden Eckpunkt der Figur ein Hilfsstrahl durch $Z$ gezeichnet.
- Nun werden die Abstände zwischen den jeweiligen Ursprungspunkten und dem Streckzentrum auf dem Hilfsstrahl abgemessen.
- Diese Längen werden jeweils mit $m$ multipliziert.
- Die Ergebnisse werden nun als Strecken von $Z$ aus auf dem Hilfsstrahl abgetragen. Das Minus bedeutet, dass immer auf der gegenüberliegenden Seite von $Z$ abgetragen werden muss.
- Diese abgetragenen Abstände ergeben die Bildpunkte.
- Alle neu entstandenen Punkte werden in derselben Weise wie bei der ursprünglichen Figur verbunden.
- Die Lage des Streckzentrums beeinflusst die Lage der gestreckten Figur. Sie hat aber keinen Einfluss auf die Größe und Orientierung der Bildfigur.
- Die Größe der Figur wird durch den Streckfaktor bestimmt.
- Bei $-1 < m < 0$ wird die Figur gestaucht. Die Bildfigur ist also kleiner als die Ursprungsfigur.
- Bei $m < -1$ wird die Figur gestreckt. Die Bildfigur ist also größer als die Ursprungsfigur.
- Eine zentrische Streckung mit negativem Streckfaktor ist dasselbe wie eine zentrische Streckung mit positivem Streckfaktor, bei der die Bildfigur anschließend um $180^\circ$ um das Streckzentrum gedreht wird.
Willst du nun weitere Aufgaben zur zentrischen Streckung mit negativem Streckfaktor lösen? Hier auf der Seite gibt es noch Übungen und Arbeitsblätter zum Thema Zentrische Streckung mit negativem Streckfaktor.
Transkript Zentrische Streckung – negativer Streckfaktor
Hefte raus! Heute geht es um zentrische Streckung mit einem negativem Streckfaktor. Dafür betrachten wir dieses Huhn!? Wie dem auch sei, das geht bestimmt auch mit Geflügel. Wir vereinfachen das Huhn zu einem Fünfeck. Die Ecken bezeichnen wir mit den Buchstaben A bis E. Das ungestreckte Ausgangshuhn ist die Ursprungsfigur. Und ihre Punkte sind die Ursprungspunkte. Hier liegt der Punkt, an dem wir die zentrische Streckung durchführen wollen. Man nennt ihn Streckenzentrum und wir bezeichnen ihn mit Z. Für den Streckfaktor benutzt man die Variable m. Wir wollen das Huhn um einen Faktor 'm gleich minus 2' strecken. Du weißt vielleicht schon, wie zentrische Streckung mit einem positivem Streckfaktor funktioniert – hier geht es ganz ähnlich. Wir gehen Punkt für Punkt vor. Zunächst zeichnen wir einen Hilfsstrahl durch den Ursprungspunkt A und das Streckzentrum Z. Dann messen wir den Abstand von A zu Z. Der ist hier gleich 3 Zentimeter. Diese Länge multiplizieren wir jetzt mit dem Streckfaktor. Hm, was könnte 'minus 6 cm' jetzt bedeuten? Der entstehende Punkt soll vom Streckzentrum 6 Zentimeter entfernt sein – und auf der anderen Seite des Streckzentrums liegen. Also messen wir 6 Zentimeter vom Streckzentrum aus entlang des Hilfsstrahls in diese Richtung. Hier liegt der neue Punkt. Den nennt man auch Bildpunkt. Bildpunkte kennzeichnet man immer mit einem Strich – das hier ist also 'A Strich'. Wir wiederholen das Vorgehen genauso bei Punkt B. Zuerst der Hilfsstrahl durch Z. Dann messen wir den Abstand zwischen Z und B. Der beträgt hier 7 Zentimeter. Mit 'm' multiplizieren – hier kommt dann 'minus 14 Zentimeter' heraus. Also von Z aus entlang des Hilfsstrahls 14 Zentimeter auf der gegenüberliegenden Seite abmessen. Dort liegt der Bildpunkt 'B Strich'. Ganz genauso geht das mit den übrigen Punkten. Hilfsstrahlen zeichnen Abmessen mit dem Streckfaktor multiplizieren und die Bildpunkte einzeichnen. Jetzt musst du nur noch die Bildpunkte so miteinander verbinden, wie die Ursprungspunkte zur Ursprungsfigur verbunden sind. Und die entstehende Figur ist die Bildfigur. Was fällt dir auf? Die Bildfigur steht auf dem Kopf! Und sie liegt auf der anderen Seite des Streckzentrums. Außerdem ist die Bildfigur vergrößert! Du kannst dir die zentrische Streckung mit negativem Streckfaktor vorstellen wie eine zentrische Streckung mit positivem Streckfaktor, bei der du anschließend das gestreckte Bild noch am Streckzentrum punktspiegelst, oder um 180 Grad um das Streckzentrum drehst. Das Huhn ist ganz konfus vor lauter Streckerei und noch dazu steht es Kopf! Aber schau mal, es legt ein Ei! Dieses Ei hätten wir gerne kleiner und auch auf dem Kopf stehend! Sagen wir mal, wir wollen es um den Faktor 'minus ein Drittel' zentrisch strecken. Bezeichnen wir noch rasch die Punkte des Ei-Dreiecks mit A, B und C. Das Streckzentrum Z liegt hier. Dann kann's ja los gehen: Hilfsstrahl durch A und Z zeichnen. Die Länge ausmessen: 9 Zentimeter. Mit dem Streckfaktor multiplizieren. Das Ergebnis lautet 'minus 3 Zentimeter'. Von Z ausgehend auf der gegenüberliegenden Seite des Ursprungspunkts 3 Zentimeter abmessen. Dort liegt der Bildpunkt 'A Strich'. Und mit den anderen beiden Punkten gehen wir genauso vor. Dann noch alle Punkte verbinden wie in der Ursprungsfigur. Und fertig ist die Bildfigur. Die steht wieder auf dem Kopf und ist kleiner – man sagt gestaucht. Wo liegt denn die Bildfigur immer? Und wie groß ist sie? Untersuchen wir doch mal, wie sich das Bild verändert, wenn wir die Ursprungsfigur und den Streckfaktor gleich lassen, aber das Streckenzentrum verschieben. Die Größe der Bildfigur bleibt immer gleich, egal wo Z liegt. Und sie bleibt auch immer auf dem Kopf stehen. Aber die Lage der Bildfigur verschiebt sich immer mit Z. Das Streckzentrum kann auch im inneren der Ursprungsfigur liegen. Dann liegen Bild- und Ursprungsfigur sozusagen aufeinander. Und wenn wir das Streckzentrum auf eine der Ecken der Ursprungsfigur legen liegt die entsprechende Ecke der Bildfigur genau auf dem gleichen Punkt. Halten wir jetzt das Streckzentrum mal fest und verändern den Streckfaktor. Wenn der Streckfaktor kleiner ist als 'minus 1', ist das Bild größer als die Ursprungsfigur. Aber denk dran: "Kleiner als minus 1" bedeutet "weiter links auf dem Zahlenstrahl". Liegt m zwischen 'minus 1' und 0, ist die Bildfigur KLEINER als die Ursprungsfigur. Und wenn m genau 'minus 1' ist? Dann ist die Bildfigur genau die Punktspiegelung der Ursprungsfigur! Dann fassen wir mal schnell zusammen! Bei einer zentrischen Streckung gibt es ein Streckzentrum Z und einen Streckfaktor m. Hier schauen wir uns an, wie ein negativer Streckfaktor funktioniert, also muss m kleiner als 0 sein. Um eine Ursprungsfigur um den Faktor m zentrisch zu strecken, gehst du so vor: Zuerst zeichnest du durch jeden Eckpunkt der Figur einen Hilfsstrahl durch Z. Dann misst du die Längen der entstandenen Strecken auf den Hilfsstrahlen. Diese Längen multiplizierst du mit m und trägst die Ergebnisse als Strecken von Z aus auf dem Hilfsstrahl ab. Aber Vorsicht: Immer auf der gegenüberliegenden Seite von Z. Dort liegen die Bildpunkte. Alle neu entstandenen Punkte verbindest du wie bei der ursprünglichen Figur. Jetzt bist du fertig! Die Lage des Streckzentrums beeinflusst die Lage der gestreckten Figur, aber nicht ihre Größe oder Orientierung. Der Streckfaktor bestimmt die Größe der Figur: Wenn m zwischen 0 und 'minus 1' liegt, wird die Figur gestaucht. Wenn m kleiner ist als 'minus 1', wird die Figur gestreckt. Du kannst dir eine zentrische Streckung mit negativem Streckfaktor immer vorstellen als eine Streckung mit positivem Faktor, bei der du anschließende das Bild noch am Streckzentrum punktspiegelst. Was ist das denn für ein Hühnerhaufen hier? Da steht ja alles Kopf! Bei der Produktion dieses Videos kamen keine Tiere zu Schaden.
Zentrische Streckung – negativer Streckfaktor Übung
-
Gib die Konstruktion der zentrischen Streckung wieder.
TippsOhne Streckzentrum und Streckfaktor kann die Konstruktion nicht beginnen.
Nachdem alle Bildpunkte konstruiert sind, musst Du sie zur Bildfigur verbinden.
Der Abstand der Ursprungspunkte zum Streckzentrum wird auf den Hilfsstrahlen abgemessen.
LösungDie Konstruktion der zentrischen Streckung mit negativem Streckfaktor geschieht in mehreren Schritten. Die Reihenfolge der Schritte ist dieselbe wie bei der zentrischen Streckung mit positivem Streckfaktor. Die korrekte Abfolge sieht so aus:
- Wähle ein Streckzentrum und den Streckfaktor.
- Ziehe Hilfsstrahlen von den Ursprungspunkten durch das Streckzentrum.
- Miss den Abstand der Ursprungspunkte zum Streckzentrum.
- Multipliziere den Abstand mit dem Streckfaktor.
- Trage das Produkt auf dem Hilfsstrahl auf der anderen Seite des Streckzentrums ab.
- Verbinde die Bildpunkte in derselben Weise wie die Ursprungspunkte.
-
Beschreibe die zentrische Streckung.
TippsDie zentrische Streckung mit negativem Streckfaktor geht ähnlich wie die mit positivem Streckfaktor. Es werden nur die Abstände auf der anderen Seite des Streckzentrums abgetragen.
Die Bildfigur einer zentrischen Streckung mit Streckfaktor $-\frac{1}{2}$ ist halb so groß wie die Ursprungsfigur.
Jeder Verbindung der Punkte in der Ursprungsfigur entspricht eine Verbindung der Punkte in der Bildfigur.
LösungDie zentrische Streckung mit negativem Streckfaktor verwendet verschiedene Punkte und Variablen. Hier ist die korrekte Benennung der einzelnen Konstruktionsschritte:
- Die Konstruktion beginnt mit der Wahl eines Streckzentrums $Z$ und eines Streckfaktors $m$. Nun ziehst Du von jedem der Ursprungspunkte einen Hilfsstrahl durch das Streckzentrum. Als Nächstes misst Du den Abstand des Ursprungspunktes zum Streckzentrum und multiplizierst ihn mit dem Streckfaktor.
- Ist der Streckfaktor negativ, so trägst Du als Nächstes das Ergebnis der Multiplikation auf dem Hilfsstrahl auf der anderen Seite des Streckzentrums ab. Schließlich erhältst Du die Bildfigur, indem Du die Bildpunkte in derselben Weise verbindest wie die Ursprungspunkte.
- Die so erhaltene Bildfigur einer zentrischen Streckung mit Streckfaktor $m=-2$ kannst Du auch durch eine zentrische Streckung mit dem Streckfaktor $m=2$ konstruieren, indem Du anschließend noch eine Punktspiegelung am Streckzentrum durchführst. Bei dem Streckfaktor $m=-2$ ist die Bildfigur doppelt so groß wie die Ursprungsfigur und steht gegenüber der Ursprungsfigur auf dem Kopf.
-
Erschließe die Punkte.
TippsSuche zuerst das Streckzentrum.
Das Streckzentrum liegt auf jeder Geraden durch einen Ursprungspunkt und seinen Bildpunkt.
Die Bildpunkte werden in derselben Weise verbunden wie die Ursprungspunkte.
LösungDas Streckzentrum $Z$ liegt auf jeder Verbindungsgeraden zwischen einem Ursprungspunkt und seinem Bildpunkt. Die Bildpunkte liegen jeweils auf der anderen Seite des Streckzentrums als die Ursprungspunkte. Die Bildpunkte unterscheiden sich in der Bezeichnung von den Ursprungspunkten durch den Strich: $A'$ ist der Bildpunkt von $A$, usw.
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Ordne den Bildern die Streckfaktoren zu.
TippsÜberlege, wie sich die zentrische Streckung mit negativem Streckfaktor von der mit positivem Streckfaktor unterscheidet.
Die Größe der Bildfigur hängt nur von dem Betrag des Streckfaktors ab.
Die Bildfigur einer zentrischen Streckung mit negativem Streckfaktor steht gegenüber der Ursprungsfigur auf dem Kopf.
LösungDie zentrische Streckung mit einem Streckfaktor $\neq 1$ oder $\neq -1$ ändert nicht die Größe der Figur. Ist der Streckfaktor größer als $-1$ und kleiner als $1$ so wird die Figur verkleinert oder gestaucht, andernfalls gestreckt. Das Vorzeichen des Streckfaktors bestimmt die Orientierung der Bildfigur: Ist der Streckfaktor negativ, so steht die Bildfigur gegenüber der Ursprungsfigur auf dem Kopf bzw. erscheint um $180^\circ$ gedreht. Bei positivem Streckfaktor hat die Bildfigur dieselbe Orientierung wie die Ursprungsfigur.
Aus diesen Überlegungen ergibt sich die Zuordnung der Streckfaktoren zu den obigen Bildnummern.
Bild 1: $\quad m=2$
Bild 2: $\quad m=-2$
Bild 3: $\quad m=1$
Bild 4: $\quad m=-1$
Bild 5: $\quad m=-\frac{1}{2}$
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Gib die Eigenschaften zentrischer Streckungen an.
TippsBei einer zentrischen Streckung wird die Ursprungsfigur gestaucht, wenn der Streckfaktor größer als $-1$ und kleiner als $1$ ist.
Die zentrische Streckung mit Streckfaktor $m=-2$ geht durch eine Drehung um $180^\circ$ aus der zentrischen Streckung um den Faktor $m=2$ hervor.
Überlege, wie sich Lage und Größe der Bildfigur ändern, wenn Du das Streckzentrum veränderst.
LösungDie zentrischen Streckungen mit positivem bzw. negativem Streckfaktor unterscheiden sich nur durch die Orientierung. Bei zentrischen Streckungen mit negativem Streckfaktor steht die Bildfigur gegenüber der Ursprungsfigur auf dem Kopf.
Folgende Aussagen sind wahr:
- „Die Bildfigur einer zentrischen Streckung mit Streckfaktor $m=2$ ist doppelt so groß wie die Ursprungsfigur.“
- „Die Größe der Bildfigur hängt von der Wahl des Streckfaktors ab.“
- „Die Größe der Bildfigur hängt nicht vom Vorzeichen des Streckfaktors ab.“
- „Die Bildfigur einer zentrischen Streckung mit Streckfaktor $m=-2$ ist kleiner als die Ursprungsfigur.“ Die Bildfigur ist doppelt so groß wie die Ursprungsfigur und steht gegenüber dieser auf dem Kopf.
- „Die Bildfigur einer zentrischen Streckung mit Streckfaktor $m=2$ steht gegenüber der Ursprungsfigur auf dem Kopf.“ Für den Kopfstand brauchst Du einen negativen Streckfaktor.
- „Die Größe der Bildfigur hängt von der Wahl des Streckzentrums ab.“ Nur die Lage ist abhängig von der Wahl des Streckzentrums, die Größe und Orientierung der Bildfigur hängen nur vom Streckfaktor ab.
- „Die Lage der Bildfigur hängt nicht von dem Streckzentrum ab.“ Veränderst Du das Streckzentrum, so ändert sich nur die Lage der Bildfigur, nicht die Größe und Orientierung.
-
Analysiere die Aussagen über zentrische Streckungen.
TippsÜberlege, ob in jedem Fall die Größe, Orientierung und Lage der Bildfigur von Streckfaktor und Streckzentrum abhängen. Versuche Spezialfälle zu finden, in denen diese Abhängigkeiten nicht gelten.
LösungBei zentrischen Streckungen ändert sich im Allgemeinen die Größe mit dem Betrag des Streckfaktors, die Orientierung mit dem Vorzeichen des Streckfaktors und die Lage mit dem Streckzentrum. Es treten aber einige Spezialfälle auf, die Du beachten solltest.
Richtig sind folgende Aussagen:
- „Bei einer zentrischen Streckung mit Streckfaktor $m=1$ sind Ursprungsfigur und Bildfigur identisch.“ Diese zentrische Streckung verändert die Figur gar nicht. Die Bildfigur ist insbesondere unabhängig von der Wahl des Streckzentrums.
- „Verändert man das Streckzentrum, so ändert sich die Lage der Bildfigur nur dann, wenn $m\neq 1$.“ Im Fall $m=1$ ist die zentrische Streckung die Identität, unabhängig von der Wahl des Streckzentrums. In allen anderen Fällen bestimmt das Streckzentrum die Lage der Bildfigur.
- „Es gibt Ursprungsfiguren, die zu ihrer Bildfigur unter einer zentrischen Streckung mit Streckfaktor $m=-1$ kongruent sind.“ Eine zentrische Streckung mit Streckfaktor $m=-1$ kann man als Parallelverschiebung und anschließende Punktspiegelung bzw. Drehung um $180^\circ$ darstellen. Daher ist in diesem Fall jede Bildfigur zu ihrer Ursprungsfigur kongruent.
- „Bei einer zentrischen Streckung mit Streckfaktor $m=1$ ist die Ursprungsfigur nie mit der Bildfigur kongruent.“ Für den Streckfaktor $m=1$ ist die zentrische Streckung die Identität. Jede Figur ist mit der Bildfigur nicht nur kongruent, sondern sogar identisch.
- „Es gibt eine Figur aus mehr als einem Punkt, die zu ihrer Bildfigur unter einer zentrischen Streckung mit Streckfaktor $m\neq 1,-1$ kongruent ist.“ Besteht eine Figur aus mindestens zwei Punkten, so wird der Abstand der Punkte bei der zentrischen Streckung gestaucht oder gestreckt, da der Streckfaktor $m\neq \pm 1$ ist. Besteht die Figur aber nur aus einem einzelnen Punkt, so ist sie zu jeder Bildfigur unter zentrischen Streckungen mit jedem beliebigen Streckfaktor kongruent.
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