Regelmäßiges Fünfeck – Seitenlängen und Winkelgrößen
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Grundlagen zum Thema Regelmäßiges Fünfeck – Seitenlängen und Winkelgrößen
Was ist ein regelmäßiges Fünfeck?
Ein regelmäßiges Fünfeck ist ein regelmäßiges Vieleck mit fünf Ecken. Es hat fünf gleich lange Seiten und fünf gleich große Winkel. In diesem Text und Video erfährst du alles, was du brauchst, um die Innenwinkel und Seitenlängen eines regelmäßigen Fünfecks zu berechnen.
Regelmäßiges Fünfeck – Innenwinkel
Der Vollwinkel $360^\circ$ entspricht einer vollen Drehung um den Kreis. Verbinden wir den Mittelpunkt eines Fünfecks mit den fünf Eckpunkten, so erhalten wir fünf kongruente, gleichschenklige Dreiecke. Diese Dreiecke teilen auch den Vollwinkel um den Mittelpunkt des Fünfecks in fünf gleich große Winkel. Diese Winkel sind die Mittelpunktswinkel des Fünfecks. Jeder Mittelpunktswinkel ist ein Fünftel des Vollwinkels, hat also die Winkelgröße $360^\circ :5 = 72^\circ$.
Die beiden anderen Winkel jedes Dreiecks können wir nun auch bestimmen. Sie heißen Basiswinkel, weil sie der Basis des gleichschenkligen Dreiecks anliegen. Die beiden Basiswinkel eines gleichschenkligen Dreiecks sind gleich groß. Die Innenwinkelsumme eines Dreiecks beträgt $180^\circ$, daher hat jeder Basiswinkel die Winkelgröße $(180^\circ-72^\circ):2= 54^\circ$.
Jeder Innenwinkel des Fünfecks besteht aus zwei dieser Basiswinkel, er hat damit die Winkelgröße $2 \cdot 54^\circ = 108^\circ$.
Regelmäßiges Fünfeck – Seitenlängen
Wir berechnen die Seitenlängen $a$ eines regelmäßigen Fünfecks, indem wir jedes der gleichschenkligen Dreiecke weiter teilen. Dazu zeichnen wir jeweils die Höhe $h$ der Basis ein. Die Schenkel bezeichnen wir mit $r$. Die Höhe $h$ teilt das gleichschenklige Dreieck in zwei kongruente rechtwinklige Dreiecke auf. Diese haben die Katheten $h$ und $\frac{a}{2}$. Für den Basiswinkel $54^\circ$ ist $\frac{a}{2}$ die Ankathete und $h$ die Gegenkathete.
In dem rechtwinkligen Dreieck können wir trigonometrische Zusammenhänge nutzen, um die Seitenlängen zu bestimmen:
$\sin(54^\circ) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{h}{r}$
$\cos(54^\circ) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{a}{2r}$
$\tan(54^\circ) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} = \frac{2h}{a}$
Mit diesen Formeln kannst du jeweils eine der Seitenlängen berechnen, wenn eine andere bekannt ist. Dazu wählst du die Formel aus, in der beide Seitenlängen vorkommen, und stellst sie nach der unbekannten Seite um. Das schauen wir uns nun in einem konkreten Beispiel an:
Seitenlängen eines regelmäßigen Fünfecks – Beispiel
Bei einem regelmäßigen Fünfeck mit Grundseite $a= 4,72~\text{m}$ berechnen wir die beiden anderen Längen. Wir können die Formel für den Cosinus oder für den Tangens verwenden, denn beide enthalten die Ankathete $\frac{a}{2}$. In der Cosinus-Formel kommen Ankathete und Hypotenuse vor. Daher verwenden wir die Cosinus-Formel, um die Hypotenuse zu berechnen:
$r= \frac{a}{2} : \cos(54^\circ) = \frac{4,72~\text m}{2\cos(54^\circ)}$
Beachte bei der Eingabe in den Taschenrechner, dass dieser auf den Modus DEG eingestellt werden muss, wenn der Winkel im Gradmaß ${}^\circ$ verwendet wird. Wir erhalten die Hypotenuse:
$r \approx 4,02~\text m$
Nun berechnen wir noch die Gegenkathete $h$. In der Tangens-Formel kommen die bekannte Ankathete und die unbekannte Gegenkathete vor. Daher stellen wir die Tangens-Formel nach der Gegenkathete $h$ um und erhalten:
$h = \tan(54^\circ) \cdot \frac{a}{2} = \frac{\tan(54^\circ) \cdot 4,72~\text m}{2} \approx 3,25~\text m$
In diesem Video zu Längen und Winkelgrößen im Fünfeck …
... erfährst du alles über die Zusammenhänge der verschiedenen Winkelgrößen beim regelmäßigen Fünfeck sowie ihre Zusammenhänge mit den Seitenlängen. Das benötigst du auch, um später den Flächeninhalt oder den Umfang eines Fünfecks zu berechnen.
Transkript Regelmäßiges Fünfeck – Seitenlängen und Winkelgrößen
Hallo! Suchst du nach einer Einführung in die Berechnungen rund um das Thema Fünfecke? Dann hilft dir dieses Video zu regelmäßigen Fünfecken mit ihren Winkelgrößen und Seitenlängen. Nach dem Video hast du alle Grundlagen, um später auch Umfang und Flächeninhalten eines solchen Fünfecks zu berechnen. Beginnen wir mit den Winkelgrößen im regelmäßigen Fünfeck. Jede volle Kreisumdrehung - auch die um den Mittelpunkt - ergibt bekanntlich 360 Grad! Wenn wir den Mittelpunkt mit den fünf Eckpunkten verbinden, teilen wir unser regelmäßiges Fünfeck in fünf kongruente Dreiecke! Aber nicht nur das! - Wir teilen auch die 360 Grad in fünf gleichgroße Winkel! Es sind die sogenannten Mittelpunktswinkel des Fünfecks. Sie betragen ein Fünftel von 360 Grad, also 72 Grad. Können wir diese Winkel auch so schnell bestimmen? Wir nennen sie Basiswinkel. Weil das Fünfeck regelmäßig ist, sind unsere fünf Dreiecke gleichschenklig! Das heißt, die beiden Basiswinkel sind gleichgroß! Wie groß genau? Wir erinnern uns: Innerhalb eines beliebigen Dreiecks ergeben alle Winkel zusammengenommen 180 Grad! In unserem Dreieck beträgt der Winkel 72 Grad und den Wert dieser beiden Winkel bezeichnen wir jeweils mit Alpha - schließlich sind sie gleichgroß. Alle drei zusammengenommen müssen 180 Grad ergeben! Die beiden Alphas fassen wir zusammen und erhalten durch Umstellen für Alpha 54 Grad. Was bedeutet das für den Winkel? Der muss doppelt so groß wie 54 Grad sein also 108 Grad betragen! Er heißt Innenwinkel des Fünfecks und beträgt in jedem regelmäßigen Fünfeck 108 Grad. Die Winkelgrößen haben wir geschafft! Weiter gehts mit den Seitenlängen: Nennen wir die Grundseite a und die Schenkel r. Lass uns das Fünfeck noch weiter zerlegen! Hier befindet sich eine Höhe, die senkrecht auf a steht. Wir nennen sie h. h teilt das Dreieck wiederum in zwei kongruente Dreiecke auf. Daher sind diese Seiten gleich - also "a halbe" lang. Die Längen a, h und r variieren immer mit der Größe des jeweiligen Fünfecks - deshalb beschäftigen wir uns erstmal mit ihren zusammenhängen. r ist die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck - also die Hypotenuse. Wenn wir vom 54-Grad-Winkel ausgehen, dann ist "a Halbe" die Ankathete und h die Gegenkathete! Weil wir hier ein rechtwinkliges Dreieck haben, kannst du die Sinus-, Cosinus- und Tangensformeln im rechtwinkligen Dreieck anwenden! Es gilt: Der "Sinus eines Winkels Alpha" ist gleich "die Länge der Gegenkathete durch die Länge der Hypotenuse". Bei uns ist der "Sinus von 54 Grad" also "h geteilt durch r". Der "Cosinus von Alpha" ist "Ankathete durch Hypotenuse". Daher muss der "Cosinus von 54 Grad", "a halbe", "geteilt durch r" sein, wobei wir die beiden Nenner zusammenfassen können. Der "Tangens von Alpha" ist das Gleiche wie "Gegenkathete durch Ankathete". Deshalb ist bei uns der "Tangens von 54 Grad" gleich "h geteilt durch 'a Halbe'", was das gleiche ist wie h mal den Kehrwert, also "2 durch a" oder auch "2h durch a". Alle Formeln stehen - lass uns ein Beispiel durchrechnen! Sagen wir, dir ist ein regelmäßiges Fünfeck mit der Grundseite "a gleich 4,72 Meter" gegeben. a taucht in der Sinusformel nicht auf, die hilft uns also in diesem Beispiel nicht. Aber die Cosinus- sowie die Tangensformel enthalten a. Mithilfe des Cosinus' können wir r bestimmen und mithilfe des Tangens' die Höhe h. Dafür setzen jeweils für a die 4,72 Meter ein. Schauen wir uns zuerst die Cosinusformel genauer an: Um nach r aufzulösen, müssen wir r aus dem Nenner holen - multiplizieren also auf beiden Seiten mit r. Jetzt entfernen wir noch den Faktor von r. Für die Eingabe in den Taschenrechner müssen wir für den Cosinus von 54 Grad den Degree-Modus verwenden und erhalten so circa 4,02 Meter. Um auch noch h zu bestimmen, multiplizieren wir auf beiden Seiten mit dem Nenner, teilen noch durch den Faktor, tauschen der Ästhetik wegen die Seiten und erhalten für h mithilfe des Taschenrechners ungefähr 3,25 Meter. Was haben wir also alles gelernt? Das regelmäßige Fünfeck lässt sich in 5 kongruente, gleichschenklige Dreiecke aufteilen! Dabei liegt hier einer der Mittelpunktswinkel von 72 Grad und in den beiden Schenkeln die Basiswinkel von 54 Grad. Die Innenwinkel des Fünfecks betragen entsprechend 108 Grad. Die gleichschenkligen Dreiecke unterteilen sich wiederum in je zwei kongruente rechtwinklige Dreiecke. Dir unbekannte Seitenlängen kannst du mithilfe der Sinus-, Cosinus- oder Tangensformel bestimmen. Jetzt weißt du Bescheid, viel Spaß.
Regelmäßiges Fünfeck – Seitenlängen und Winkelgrößen Übung
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Berechne die Innenwinkel eines regelmäßigen Fünfecks.
TippsJede volle Kreisumdrehung, auch die um den Mittelpunkt eines Fünfecks, beträgt $360^{\circ}$.
Die fünf kongruenten Dreiecke des Fünfecks sind gleichschenklig. Das bedeutet unter anderem, dass die beiden Basiswinkel $\alpha$ gleich groß sind. Außerdem musst du wissen, dass die Summe aller Winkel in einem Dreieck $180^{\circ}$ ergibt.
LösungDie Innenwinkel eines Fünfecks kannst du folgendermaßen berechnen:
Teile das Fünfeck vom Mittelpunkt aus in fünf kongruente gleichschenklige Dreiecke.
Der Mittelpunktswinkel jedes dieser Dreiecke beträgt ein Fünftel des Vollwinkels.
Der Mittelpunktswinkel beträgt also: $~\dfrac{360^{\circ}}{5}=72^{\circ}$.
- Jede volle Kreisumdrehung, auch die um den Mittelpunkt eines Fünfecks, beträgt $360^{\circ}$. Dieser Winkel wird gleichmäßig auf die Mittelpunktswinkel der Dreiecke verteilt.
Ausgehend von diesem Mittelpunktswinkel ergibt sich für die Basiswinkel folgende Rechnung:
$\begin{array}{lrl} &2 \alpha + 72^{\circ} &=180^{\circ} \\ \Leftrightarrow & \alpha &=54^{\circ} \\ \end{array}$
- Die fünf Dreiecke des Fünfecks sind gleichschenklig. Das bedeutet unter anderem, dass die beiden Basiswinkel $\alpha$ gleich groß sind. Außerdem musst du wissen, dass die Summe aller Winkel in einem Dreieck $180^{\circ}$ ergibt.
$\beta=2 \alpha= 2 \cdot 54^{\circ} =108^{\circ} $.
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Bestimme die Formeln zur Berechnung der Seitenlängen eines regelmäßigen Fünfecks.
TippsDie hier angewandten Gleichungen sind:
- $\sin(\alpha)=\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$
- $\cos(\alpha)=\dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$
Du kannst die Seitenlängen bestimmen, indem du die richtige Formel auswählst (das ist die Formel, in der die gesuchte und die gegebene Länge vorkommen) und du diese Formel anschließend nach deiner gesuchten Länge umstellst, die gegebenen Werte einsetzt und berechnest.
LösungSo kannst du die Seitenlängen berechnen:
Zuerst teilt sie eines der fünf kongruenten gleichschenkligen Dreiecke des Fünfecks noch einmal in der Mitte. Dabei erhält sie zwei kongruente rechtwinklige Dreiecke mit den Seitenlängen $r$, $h$ und $\frac{a}{2}$. Einer der Winkel des Dreiecks entspricht dem Basiswinkel des gleichschenkligen Dreiecks und beträgt somit $54^{\circ}$.
- In der Mathematik ist es oft hilfreich, komplexe Figuren in bekannte, kleinere Figuren aufzuteilen. Da Dreiecke die Vielecke mit der geringsten Anzahl an Ecken sind und da ihre Eigenschaften sehr gut bekannt sind, sind sie dafür besonders beliebt.
- Ist ein Winkel und eine Seite eines rechtwinkligen Dreiecks gegeben, kannst du die anderen Seiten und Winkel berechnen. Dazu musst du wissen, wie man die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks bezeichnet.
$\sin(54^{\circ})=\dfrac{h}{r}$
$\cos(54^{\circ})=\dfrac{a}{2r}$
$\tan(54^{\circ})=\dfrac{2h}{a}$
- Die hier angewandten Gleichungen sind:
$\qquad\cos(\alpha)=\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypothenuse}}$
Ist also eine Seitenlänge mit $a=4,72$ Längeneinheiten gegeben, kann Larissa alle anderen Längen ausrechnen. Sie beginnt mit der Länge $r$. Um diese zu berechnen, verwendet sie die Formel mit dem Cosinus und erhält:
$r=\dfrac{a}{2 \cos(54^{\circ})}= \dfrac{4,72}{2 \cos(54^{\circ})}\approx 4,02$
Um mit der bekannten Seite $a$ die Seite $h$ zu berechnen, benötigt sie die Formel mit dem Tangens. Damit erhält sie:
$h=\dfrac{a \tan(54^{\circ}) }{2}= \dfrac{4,72~\text{m} \tan(54^{\circ})}{2 }\approx 3,25$
- Du kannst die Seitenlängen bestimmen, indem du die richtige Formel auswählst (das ist die Formel, in der die gesuchte und die gegebene Länge vorkommen) und du diese Formel anschließend nach deiner gesuchten Länge umstellst, die gegebenen Werte einsetzt und berechnest.
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Ermittle die Winkel der Fünfecke.
TippsDie Winkel eines Fünfecks kannst du dir logisch herleiten.
Überlege dir, wovon die Winkel eines Fünfecks abhängig sind.
LösungDie Winkel eines Fünfecks sind in jedem Fünfeck gleich.
- Der Mittelpunktswinkel beträgt immer: $72^{\circ}$.
- Der Basiswinkel beträgt: $54^{\circ}$.
- Der Innenwinkel: $108^{\circ}$.
-
Ermittle die fehlenden Seitenlängen.
TippsDiese Formeln sind zur Berechnung der Seitenlängen hilfreich:
$\sin(\alpha)=\dfrac{h}{r}$
$\cos(\alpha)=\dfrac{a}{2r}$
$\tan(\alpha)=\dfrac{2h}{a}$
Wähle die korrekte Formel aus, setze die gegebenen Werte ein und stelle nach dem gesuchten Wert um.
LösungDiese Formeln sind zur Berechnung der Seitenlängen hilfreich:
$\sin(54^{\circ})=\dfrac{h}{r}$
$\cos(54^{\circ})=\dfrac{a}{2r}$
$\tan(54^{\circ})=\dfrac{2h}{a}$
Für die erste Länge verwendest du die Cosinus-Formel, stellst sie um, setzt ein und rechnest aus:
- $r=\dfrac{a}{2 \cos(54^{\circ})}= \dfrac{5~\text{m}}{2 \cos(54^{\circ})}=4,25~\text{m}$
- Ein Fünfeck hat die Seitenlänge $r=3~\text{m}$. Damit ist $h=2,43~\text{m}$.
- Ein Fünfeck hat die Seitenlänge $h=2~\text{m}$. Damit ist $a=5,94~\text{m}$.
- Ein Fünfeck hat die Seitenlänge $\frac{a}{2}=3~\text{m}$. Damit ist $r=5,10~\text{m}$.
-
Bestimme die korrekten Aussagen zu Fünfecken.
TippsFünfecke können unterschiedlich groß sein. Allerdings verändert sich ihre Form nicht.
Mit $\cos(54^{\circ})=\dfrac{a}{2r}$ kannst du, wenn eine Länge gegeben ist, die fehlende Länge berechnen.
LösungDiese Aussagen sind falsch:
„Bei einem regelmäßigen Fünfeck sind die Seitenlängen immer gleich lang, egal wie groß die Winkel sind.“
- Regelmäßige Fünfecke können unterschiedlich groß sein. Allerdings verändert sich ihre Form nicht. Also sind die einzelnen Winkel immer gleich groß, während die Seitenlängen variabel sind.
- Hier haben sich gleich zwei Fehler eingeschlichen. Korrekt hieße es: Jedes regelmäßige Fünfeck hat einen Innenwinkel von $108^{\circ}$. Also ist einerseits der angegebene Winkel falsch, andererseits muss das Fünfeck zusätzlich regelmäßig sein, um diese Aussage machen zu können. Sonst wissen wir über die Innenwinkel nur, dass ihre Summe $540^{\circ}$ ist (das gilt auch für das regelmäßige Fünfeck: $5\cdot108^\circ=540^\circ$).
„Die Seitenlängen $a$ eines regelmäßigen Fünfecks kannst du berechnen, wenn du die Strecke vom Mittelpunkt des Fünfecks bis zu einer Ecke $r$ gegeben hast.“
- Mit $\cos(54^{\circ})=\dfrac{a}{2r}$ kannst du, wenn eine Länge gegeben ist, die fehlende Länge berechnen. Der Winkel, der hier benötigt wird, ist der Basiswinkel der Dreiecke. Dieser beträgt hier $54^{\circ}$.
„Die Seitenlängen von Fünfecken kannst du mithilfe von Sinus, Cosinus und Tangens bestimmen.“
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Erarbeite die Bestimmung des Flächeninhalts von gleichmäßigen Fünfecken.
TippsDie Formel für den Flächeninhalt von Dreiecken lautet $A=\frac{1}{2} \cdot g \cdot h$. Hier bezeichnet $g$ die Grundseite und $h$ die Höhe (diese liegt senkrecht auf $g$ und endet im gegenüberliegenden Eckpunkt) des Dreiecks.
LösungSo kannst du den Lückentext vervollständigen:
Zunächst teilt sie das regelmäßige Fünfeck in fünf kongruente gleichschenklige Dreiecke. Eines davon teilt sie in der Mitte, sodass zwei kongruente rechtwinklige Dreiecke entstehen.
(...) Sie benötigt die Formel für deren Flächeninhalt. Hier lautete diese:
$A=\frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot h$
- Die Formel für den Flächeninhalt von Dreiecken lautet $A=\frac{1}{2} \cdot g \cdot h$. Hier bezeichnet $g$ die Grundseite und $h$ die Höhe (diese liegt senkrecht auf $g$ und endet im gegenüberliegenden Eckpunkt) des Dreiecks. Setzt du die Längenbezeichnungen des Fünfecks ein, erhältst du obige Formel.
Die Höhe $h$ muss sie zuerst berechnen. Dazu benötigt sie die Tangens-Formel. Damit erhält sie:
$h=\frac{a}{2} \cdot \tan(54^{\circ})$
- Wie gewohnt wählst du die richtige Formel aus und formst sie nach der gesuchten Länge um. Damit erhältst du einen Ausdruck für $h$.
$A=\frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \tan(54^{\circ})$
Vereinfacht ergibt das:
$A=\frac{1}{8} \cdot a^2 \cdot \tan(54^{\circ})$
- Den eben bestimmten Ausdruck für $h$ kannst du in die Formel des Flächeninhalts einsetzen. Damit ist die Formel nur noch von der Seitenlänge $a$ abhängig.
$A=\frac{10}{8} \cdot a^2 \cdot \tan(54^{\circ})$
- Zuvor haben wir das Fünfeck in zehn Teile geteilt. Jetzt, da wir den Flächeninhalt eines dieser Teile kennen, können wir die Formel mit $10$ multiplizieren, um den Gesamtflächeninhalt zu erhalten.
$A=43,01~\text{cm}^2$
- Diese Zahl erhältst du durch Einsetzen in unsere Formel.
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