Buckminsterfulleren und andere Kohlenstoffmodifikationen

Hallo liebe Fußballinteressierte und vielleicht auch Freundinnen und Freunde der Mathematik, Physik und Chemie. Herzlich willkommen zum sechsten Video zur Fußballweltmeisterschaft.   Das heutige Thema lautet: der Ball.   Was gibt es über Männer und inzwischen auch Frauen liebstes Spielzeug zu sagen? Der Ball muss eine Masse von 410 bis 450 g besitzen. Vorgeschrieben ist ein Umfang von 68 bis 70 cm. Und der Überdruck im Ball muss im Bereich zwischen 0,6 und 1,1 bar liegen. Leider ist der kleine, schöne Ball, den ich hier immer präsentiere, schon veraltet. Dabei ist er ein so schönes Modell für einige feine Dinge aus der Geometrie und auch den Naturwissenschaften. Woraus nun besteht dieser geometrische Körper? Nun ja, es ist relativ einfach auszuzählen, dass er von 12 regelmäßigen Fünfecken begrenzt wird. Die Anzahl der Sechsecke ist etwas schwerer zu bestimmen, aber auch das schaffen wir. Auf der Oberseite wird ein Fünfeck von 5 Sechsecken umgeben, also 5. Auf der Unterseite des Körpers finden wir die gleiche Anordnung, also noch einmal 5. 5 + 5. Zwischen diesen beiden Anordnungen befindet sich eine Zickzackfigur, von im Ganzen 10 Sechsecken, also noch einmal +10. 5 + 5 + 10 ergibt 20 Sechsecke. Unser Körper hat somit 12 + 20, also 32 Flächen. Außerdem besitzt unser Körper 60 Ecken. Das ist einfach zu bestimmen, denn wir können einfach die Zahl der Fünfecke,12, mit ihrer Eckenzahl, also 5, multiplizieren. Das macht 60. Die Bestimmung der Kantenzahl ist etwas komplizierter, aber auch das schaffen wir. Zunächst einmal die Kanten, die sich aus den Fünfecken ergeben. Wir haben 12 Fünfecke zu je 5 Seiten. Das sind hier die Kanten, 12 × 5. Dazu addieren wir die Kanten, die zwischen den benachbarten Fünfecken ausgeübt werden. Das sind wieder 12 × 5. Da sie paarweise auftauchen, müssen wir durch 2 teilen, also verfügt unser Körper über 90 Kanten. Es ergibt sich somit: 90 + 2 = 60 + 32. Unser Körper erfüllt den Eulerschen Polyedersatz, nämlich Zahl der Kanten + 2 = Zahl der Ecken + Zahl der Fläche. k + 2 = e + f. Oh, und nun ist hier ein Foto aufgetaucht. Es handelt sich um die Abbildung einer chemischen Verbindung. Was ist das? Diese Verbindung nennt man Buckminsterfulleren. Sie wurde benannt nach dem US-amerikanischen Architekten Richard Buckminsterfuller. Entdeckt wurde diese Substanz von den beiden Nobelpreisträgern Smalley und Kroto im Jahre 1985. Es handelt sich dabei um die dritte Kohlenstoffmodifikation, neben den bereits bekannten Kohlenstoffmodifikationen Grafit und Diamant. Während Grafit und Diamant über eine riesige, praktisch unbegrenzte Anzahl von Kohlenstoffatomen verfügen, aus denen sie bestehen, besteht Buckminsterfulleren nur aus ganzen 60 Kohlenstoffatomen. Während Grafit und Diamant über eine riesige, praktisch unbegrenzte Anzahl von Kohlenstoffatomen verfügen, aus denen sie bestehen, besteht Buckminsterfulleren nur aus ganzen 60 Kohlenstoffatomen. Und diese sind ebenso aufgebaut wie unser Fußball, also viele, viele kleine Moleküle, die kleine, kleine Fußbälle darstellen, in deren Ecken sich Kohlenstoffatome befinden. Grafit ist ein Riesenmolekül und Diamant ist ein Riesenmolekül. Das Buckminsterfulleren-Molekül ist dem Grafit aber ähnlicher. Das hängt damit zusammen, dass beide Teilchen über delokalisierte Pi-Elektronen verfügen. Könnt ihr euch noch erinnern, wo man delokalisierte Pi-Elektronen getroffen hat? Richtig! Bei den aromatischen Verbindungen und sozusagen beim Urvater der Aromaten, dem Benzol. Und ihr wisst auch sicher und könnt euch erinnern, dass man Benzol durch zwei unterschiedliche mesomere Grenzstrukturen darstellen kann. Zum Vergleich möchte ich kurz die Anzahl der mesomeren Grenzstrukturen im Triphenylen-Molekül zusammenzählen. Beim Triphenylen-Molekül sind 3 Sechsringe noch zusätzlich an ein Benzolmolekül in symmetrischerweise angebracht. Den Mittelring lassen wir zunächst unberührt und verschieben die Doppelbindung in den Randringen jeweils hin und her. Da wir in den Randringen jeweils 2 mesomere Grenzstrukturen haben, ergibt sich als Kombination aus allen 2 × 2 × 2. So, das wäre die eine Möglichkeit. Die letzte der mesomeren Grenzstrukturen erhalten wir, indem wir die Doppelbindungen in den zentralen Ring verlagern. Dann gibt es nur noch eine Möglichkeit der Anordnung in den Seitenringen, also im ganzen: 2 × 2 × 2 + 1 = 9. Die Anzahl der mesomeren Grenzstrukturen für das Buckminsterfulleren ist nicht so einfach zu bestimmen. Trotzdem ist es einer Arbeitsgruppe in den 80er Jahren des 20. Jahrhunderts gelungen. Sie ermittelten einen Wert von 12500. Es fehlt noch eine 0, die kommt aber noch dazu. Die Ermittlung der mesomeren Grenzstrukturen in Systemen mit delokalisierten Elektronen ist deshalb von so großer Bedeutung, weil man daraus einen relativen Wert für die Energie pro Elektron dieser Moleküle berechnen kann, sozusagen ein Maß für deren Stabilität. Die Energie pro Elektron ist proportional zu ln K/n, wobei K die Zahl der mesomeren Grenzstrukturen ist und n ist die Zahl der Pi-Elektronen des Systems. In unserem Fall ist diese Zahl gleich der Anzahl der Kohlenstoffatome. Lasst uns also ln K/n berechnen und somit ein Maß für die Energie pro Elektron unser dreier Systeme erhalten. Bei Benzol haben wir 2 mesomere Grenzstrukturen und 6 delokalisierte Elektronen. Also ln 2/6 ergibt etwa 0,116. Bei Triphenylen müssen wir rechnen: ln 9/18. Das ergibt etwa 0,122. Buckminsterfulleren hat 12500 mesomere Grenzstrukturen und besitzt 60 delokalisierte Elektronen. Also rechnen wir: ln 12500/60. Wir erhalten als Maß für die Energie einen Wert von 0,157. Das ist erheblich und übersteigt den Wert von Benzol doch beachtlich. Daraus folgt, dass es sich bei Buckminsterfullerenen um eine typische aromatische Verbindung handelt, genauso wie bei Benzol, Triphenylen oder Grafit. Und womit sind wir gestartet? Bei der Fußballweltmeisterschaft und dem Spielgerät, dem Ball. Naja, ein bisschen Abwechslung muss sein.   Ich wünsche euch alles Gute und noch viel Spaß bei der WM. Tschüss!