Entropie – eine Einführung

Entropie – Definition

Das Konzept der Entropie ist nicht ganz einfach in Worte zu fassen. Meist wird Entropie mit der Unordnung eines Systems (bzw. in einem System) gleichgesetzt. Allerdings ist dabei oft nicht klar, was genau gemeint ist bzw. wann ein System denn unordentlich ist und wann nicht.
Um eine klare Definition der Entropie aufstellen zu können, wollen wir zunächst festhalten, dass es sich um eine Zustandsgröße handelt, mit der ein thermodynamisches System beschrieben werden kann. Weitere Zustandsgrößen sind beispielsweise die Anzahl der Teilchen in einem System und das Volumen, das diese einnehmen.

In einem abgeschlossenen thermodynamischen System streben die Teilchen also danach, einen Zustand einzunehmen, in dem die Entropie möglichst groß ist. Der Begriff der Unordnung ist in diesem Zusammenhang so zu verstehen, dass mit zunehmender Entropie auch die Anzahl der Möglichkeiten steigt, in der sich die Teilchen anordnen können.
Beispielsweise stellt eine Anordnung von Wassermolekülen in einem Wassertropfen einen Zustand größerer Entropie (also größerer Unordnung) dar, als eine Anordnung derselben Moleküle in einem Eiskristall. Denn es gibt viele Möglichkeiten, wie Wassermoleküle in einem flüssigen Tropfen angeordnet sein können, aber nur wenige Möglichkeiten, einen stabilen, geordneten Eiskristall zu bilden.
Da der Zustand größerer Unordnung thermodynamisch bevorzugt wird, schmelzen Eiskristalle von selbst zu einem Tropfen, sobald freie Energie in Form von Wärme im System vorhanden ist.

Betrachten wir nun das gesamte Universum als ein einziges, riesiges, abgeschlossenes System, kommen wir zu folgenden Schlüssen:

• Die Entropie im Universum wird mit der Zeit stetig zunehmen.
• Die im Universum verfügbare freie Energie wird nach und nach umgewandelt werden, um einen Zustand möglichst großer Unordnung herbeizuführen.
• Eine möglichst ungeordnete Anordnung der Teilchen im Universum könnte dann erreicht sein, wenn alle Teilchen völlig zufällig miteinander vermischt sind und alle mit gleicher Geschwindigkeit bzw. gleicher Energie durchs Universum treiben, ohne dabei in Wechselwirkung zu treten.

Ein solcher Zustand wird in der theoretischen Physik als Wärmetod des Universums bezeichnet. Gemeint ist, dass im Universum nichts mehr passiert, also keine Zustandsänderung mehr stattfinden kann, sobald die gesamte, im Universum vorhandene Energiemenge in Wärmeenergie der kleinsten existierenden Teilchen (bzw. Energieträger) umgewandelt wurde.
Denn nach den Gesetzen der Thermodynamik kann die Entropie nicht wieder abnehmen, es sei denn, es würde auf irgendeine Art und Weise von außen Energie ins System eingebracht. Ein außen gibt es aber in Bezug auf das Universum nicht – zumindest kennen wir so etwas nicht.

Betrachten wir nicht gleich das Universum als Ganzes, sondern einzelne Vorgänge in unserem Alltag, kann es hingegen sehr wohl vorkommen, dass die Entropie abnimmt, also Teilchen einen geordneteren Zustand einnehmen. Dies ist nämlich in offenen Systemen möglich. Bei einem offenen System kann sowohl Energie als auch Materie von außen zugeführt oder von diesem nach außen abgeführt werden.
So kann beispielsweise ein Wassertropfen in einem Kühlschrank zu einem geordneten Eiskristall gefrieren, wenn Energie aus dem offenen System Kühlschrank abgeführt wird. Die Wärmeenergie der Luft im Kühlschrank wird durch den Kühlmechanismus an andere Stoffe abgegeben. Deshalb ist beispielsweise die Rückseite eines Kühlschranks immer warm. Damit verbunden ist, dass die Entropie der Teilchen außerhalb des offenen Systems zunimmt, da diese die von dort abgeführte Energie aufnehmen.

Ein weiteres gutes Beispiel für ein offenes System ist der menschliche Körper bzw. Lebewesen ganz generell. Wir nehmen Energie und Materie in Form von Nahrung auf, um die Ordnung der Atome und Moleküle in unserem Organismus aufrecht zu erhalten, also um zu verhindern, dass die Entropie in unserem System Körper zunimmt. Im Gegenzug geben wir zum Beispiel Energie in Form von Wärme an unsere Umgebung ab, wodurch sich die Entropie dieser Umgebung erhöht.
Es ist also sogesehen ein thermodynamisch völlig normaler und nachvollziehbarer Vorgang, dass die Unordnung in deinem Zimmer steigt, je länger du dich darin aufhältst.

Entropie als Zustandsgröße – Einheit

Die Entropie wird als Zustandsgröße mit dem Formelzeichen $S$ abgekürzt. Sie wird in der Einheit Joule pro Kelvin $\left( \text{J} \cdot \text{K}^{-1} \right)$ gemessen bzw. berechnet. Es handelt sich also um eine Energiemenge in Joule, die bezogen auf die absolute Temperatur in Kelvin eines Systems angegeben wird.
Von praktischer Bedeutung sind vor allem Änderungen der Entropie in einem System. Diese können als $\Delta S$ formuliert werden. So lässt sich eine vereinfachte Formel formulieren, die eine Entropieänderung $\Delta S$ mit einer Änderung der im System vorhandenen Wärmemenge bzw. einer Wärmeübertragung $\Delta Q$ in Verbindung setzt, bezogen auf die absolute Temperatur $T$ des Systems:

$\Delta S = \dfrac{\Delta Q}{T}$

$[\Delta S] = \dfrac{[\Delta Q]}{[T]} = 1\,\frac{\text{J}}{\text{K}} = 1~\text{J} \cdot \text{K}^{-1}$

Diese Formel macht auch noch einmal deutlich, dass eine negative Entropieänderung (also eine Verringerung der Entropie) möglich ist, wenn Wärmeenergie aus dem System abgeführt wird, also $\Delta Q < 0$ ist.

Entropie – Betrachtung und Konsequenzen

Wenn freie Energie in einem System vorhanden ist, wird diese stets so umgewandelt, dass die Entropie zunimmt. Denn spontan ablaufende Prozesse (wie das Schmelzen von Eis) laufen immer in Richtung größerer Unordnung ab.

Diese Betrachtung kann als zweiter Hauptsatz der Thermodynamik formuliert werden:

Ein abgeschlossenes System ist ein System, das mit seiner Umgebung weder Materie (bzw. Teilchen) noch Energie (bzw. Wärme) austauschen kann.

In der Chemie können Stoffe von einem Zustand $\text{A}$ in einen Zustand $\text{B}$ überführt werden. Jeder dieser Zustände hat sein eigenes Maß an Ordnung und damit eine bestimmte Entropie $S$.
Die Entropieänderung $\Delta S$ kann als Differenz der Entropie des Endzustandes $S_{\text{B}}$ und der Entropie des Ausgangszustandes $S_{\text{A}}$ berechnet werden:

$\Delta S = S_{\text{B}} - S_{\text{A}}$

In einem abgeschlossenen System kann eine Zustandsänderung von $\text{A}$ nach $\text{B}$ nur dann spontan stattfinden, wenn es sich bei Zustand $\text{B}$ um einen Zustand höherer Entropie (also größerer Unordnung als Zustand $\text{A}$) handelt, denn es muss der zweite Hauptsatz der Thermodynamik gelten und damit:

$\Delta S \geq 0$

Findet die Zustandsänderung hingegen in einem offenen System statt, muss diese Bedingung nicht zwingend erfüllt sein. Offene bzw. nicht-abgeschlossene Systeme können mit der Umgebung Energie (bzw. Wärme) oder Materie (bzw. Teilchen) austauschen oder auch beides.
Die Entropie $S$ kann in offenen Systemen auch abnehmen $\left( \Delta S < 0 \right)$, wenn – und das ist die notwendige Bedingung – die Entropie in der Umgebung um mindestens den gleichen Betrag zunimmt. Dies ist zum Beispiel dann möglich, wenn Wärmeenergie aus dem offenen System an die Umgebung abgeführt wird, die dort wiederum aufgenommen wird und zu einer Erhöhung der Entropie der Teilchen in der Umgebung führt.
Ein anschauliches Beispiel haben wir schon betrachtet: Es können sich spontan Eiskristalle in einem Kühlfach bilden, obwohl dies einer Verringerung der Unordnung und damit einer Entropieabnahme der Wassertröpfchen entspricht. Dies ist möglich, weil vom Kühlschrank in gleichem Maße Abwärme produziert wird, die zu einer Entropiezunahme außerhalb des Kühlfachs führt.

Neben solchen qualitativen Betrachtungen ist auch eine quantitative Berechnung der Entropie möglich. Der Physiker Ludwig Boltzmann war einer der Ersten, der sich im 19. Jahrhundert mit dem Konzept der Entropie befasste und die Entropie mit verschiedenen Anordnungen von Teilchen in einem abgeschlossenen System in Verbindung setzte. Verschiedene Anordnungen nannte er Mikrozustände. Wenn in einem System mehrere energetisch gleichwertige Mikrozustände möglich waren, fasste er diese zu einem sogenannten Makrozustand zusammen.

Ein Beispiel für einen Makrozustand wäre wieder der oben bereits angesprochene Wassertropfen. Es macht bei den vielen verschiedenen Anordnungsmöglichkeiten der Wassermoleküle im flüssigen Tropfen energetisch gesehen keinen Unterschied, welches Molekül an genau welchem Platz sitzt. Die vielen verschiedenen Möglichkeiten sind Mikrozustände, die allesamt zum Makrozustand Wassertropfen gehören.
Der Makrozustand Eiskristall schließt hingegen viel weniger Anordnungsmöglichkeiten ein, (also viel weniger Mikrozustände), denn ein Eiskristall hat ja eine ganz spezielle, regelmäßige Form. Die Wahrscheinlichkeit $w_{\text{Wasser}}$ ist dementsprechend viel größer als die Wahrscheinlichkeit $w_{\text{Eis}}$, da es viel mehr Möglichkeiten gibt. Also ist auch die Entropie $S_{\text{Wasser}}$ deutlich größer als die Entropie $S_{\text{Eis}}$.
So können wir einerseits mit Sicherheit sagen, dass sich in einem abgeschlossenen System niemals spontan Eiskristalle aus Wassertropfen bilden werden – während der umgekehrte Vorgang, das Schmelzen von Eis zu Wasser, sehr wohl stattfindet. Andererseits können wir konkret berechnen, welche Entropieänderung nötig ist bzw. wie viel Energie wir dem System entziehen müssen, um die gewünschte Bildung von Eiskristallen aus Wasser zu erreichen.

Diese Betrachtungsweise macht dich jetzt vielleicht stutzig. Energie entziehen klingt ja fast so, als würden wir Energie bekommen oder gewinnen, wenn wir Wasser zu Eis gefrieren. Aber hier liegt genau der springende Punkt: So eine Verringerung der Entropie können wir nur erreichen, wenn wir die Entropie an anderer Stelle (also außerhalb des Systems Wasser bzw. Eis) erhöhen – und um das zu erreichen, wird freie Energie benötigt, die in der Regel erst aufgebracht bzw. bereitgestellt werden muss. Denn – wie bereits erwähnt – Wasser gefriert nicht einfach so, also nicht spontan. Aber Eis schmilzt spontan (und nimmt dabei die Wärmeenergie der Umgebung auf).

Entropie in der Chemie

In der Chemie ist die Entropie nützlich, um vorherzusagen, in welche Richtung ein Prozess, beispielsweise eine chemische Reaktion, abläuft. Es gibt endotherme und exotherme chemische Reaktionen, also Reaktionen, die mit einer Energieaufnahme oder mit einer Energieabgabe verbunden sind. Dabei gilt der erste Hauptsatz der Thermodynamik:

Die Energiemenge in einem abgeschlossenen System ist konstant. Eine Zustandsänderung kann nur durch eine Energieumwandlung erreicht werden.

Eine chemische Reaktion ist immer auch eine Zustandsänderung. In einem abgeschlossenen System kann nur dann eine Reaktion spontan stattfinden, wenn die dafür notwendige Aktivierungsenergie durch eine Energieumwandlung bereitgestellt wird.

Dabei gilt nun auch der zweite Hauptsatz der Thermodynamik:
Die Entropie in einem abgeschlossenen System nimmt niemals ab. Eine Zustandsänderung und damit jede chemische Reaktion, die spontan abläuft, führt also zwangsläufig zu einer Erhöhung der Entropie.

Wenn eine chemische Reaktion eine Verringerung der Entropie erfordert, wird sie niemals spontan ablaufen. Das ist im Prinzip bei allen chemischen Reaktionen der Fall, bei denen die verfügbare Wärmeenergie der Umgebung nicht ausreicht, um sie in Gang zu setzen bzw. um die erforderliche Aktivierungsenergie aufzubringen. Eine solche Reaktion würde der Umgebung also mehr Energie entziehen, als diese zur Verfügung stellen kann. Deshalb muss in einem solchen Fall Energie zugeführt werden.

Dazu ein Beispiel:
Eisen rostet. Das heißt, es reagiert in normaler Umgebungsluft spontan mit Sauerstoff zu Eisenoxid. Laut dem zweiten Hauptsatz der Thermodynamik bedeutet das, dass sich die Entropie der Eisen- und Sauerstoffatome im chemisch gebundenen Zustand erhöht. Umgekehrt ist es nun verständlich, dass sich die beiden Elemente nicht wieder spontan voneinander trennen, sobald sie einmal verbunden sind. Denn dazu müsste sich die Entropie wieder verringern. Der Zustand, in dem die beiden Elemente fein säuberlich getrennt voneinander als Reinstoffe vorliegen, stellt einen Zustand höherer Ordnung dar, als die chemische Verbindung der beiden Elemente.
Wir können aber trotzdem wieder reines Eisen aus Eisenoxid gewinnen, wenn wir dem System genug freie Energie zur Verfügung stellen. Das funktioniert beispielsweise in einem Hochofen. Hier wird einerseits Wärmeenergie bereitgestellt, andererseits das Reduktionsmittel Kohlenstoff. Die Entropie der Eisenteilchen nimmt ab – wir erhalten reines Eisen – wenn gleichzeitig die Entropie der Kohlenstoffteilchen zunimmt – es entsteht das Gas Kohlenstoffdioxid $\left( \ce{CO2} \right)$.

Dies ist zwar eine sehr vereinfachte Darstellung, sie macht aber deutlich, wie sich mit der Entropie auch die Thermodynamik und Reaktionskinetik chemischer Reaktionen erklären lassen. So wird letztendlich auch verständlich, warum in der Natur die meisten Metalle (wie Eisen) nur in Form von Oxiden vorkommen und warum es so schwer ist, Kohlenstoffdioxid aus der Atmosphäre wieder loszuwerden oder in etwas anderes umzuwandeln.

Entropieänderung

Kommen wir nun noch einmal zurück zur konkreten Berechnung der Entropieänderung $\Delta S$ über den Wärmeumsatz bzw. die Wärmeübertragung $\Delta Q$ und die absolute Temperatur $T$:

$\Delta S = \dfrac{\Delta Q}{T}$

Bei einer exothermen chemischen Reaktion wird Energie freigesetzt, das bedeutet die umgesetzte Wärmemenge ist größer als Null, es gilt also: $\Delta Q > 0$
Es findet eine Zunahme der Entropie statt. Ein besonders anschauliches Beispiel hierfür ist die explosive chemische Reaktion von Sprengstoff. Es wird viel Energie freigesetzt, die für große Zerstörungen sorgt. Man könnte auch sagen, mit der Vergrößerung der Entropie wird eine Zunahme der Unordnung herbeigeführt und es gilt: $\Delta S > 0$

Bei einer endothermen chemischen Reaktion wird Energie aufgenommen bzw. der Umgebung entzogen, es gilt also: $\Delta Q < 0$
Dies führt zu einer Abnahme der Entropie. Hierfür ist das Backen von Muffins ein gutes Beispiel. Damit aus einem unförmigen, durchmischten Klecks Teig ein leckerer Muffin mit einer ganz bestimmten Form und Zusammensetzung wird, muss die Unordnung der Teilchen des Teiges verringert, also die Entropie verkleinert, werden und es gilt: $\Delta S < 0$
Damit das funktioniert, muss die umgesetzte Wärmemenge kleiner als Null sein $\left(\Delta Q < 0 \right)$. Über die Umgebung des Teiges (im Backofen) muss Wärmeenergie zugeführt werden, die dann vom Teig aufgenommen wird. Die freie Energie im heißen Backofen wird kleiner, weil am Ende ein Teil davon im Teig steckt. Aus dieser Perspektive ist der Wärmeumsatz negativ.
Wäre der Backofen ein geschlossenes System, könnten wir ihn nicht (durch Zufuhr elektrischer Energie von außen) aufheizen. Dann wäre, gemäß dem zweiten Hauptsatz der Thermodynamik keine Verringerung der Entropie und damit kein Backen möglich. Klar, auch so ein Muffin backt sich nicht von alleine.

Die obenstehende Formel bringt außerdem noch ein weiteres Detail mit sich: Da die Entropieänderung indirekt proportional zur absoluten Temperatur $T$ des Systems ist, wird eine Entropieänderung $\Delta S$ umso größer ausfallen, je kleiner die Temperatur zu Beginn der Änderung ist.
Das ist klar, denn mit der Temperatur steigt auch die kinetische Energie der Teilchen im System. Wenn eine hohe Temperatur herrscht und sich die Teilchen ohnehin schon mit hoher Geschwindigkeit bewegen und ständig zusammenstoßen, macht sich eine weitere Vergrößerung der Unordnung kaum bemerkbar und eine Verringerung der Unordnung wird durch die schnelle Teilchenbewegung sofort wieder rückgängig gemacht.
Bei einer vergleichsweise niedrigen Temperatur fallen hingegen sowohl eine Zunahme als auch eine Abnahme der Unordnung stark ins Gewicht. Denn langsame Teilchen, die bei niedriger Temperatur kaum miteinander wechselwirken, reagieren stark auf eine Änderung ihrer Anordnung bzw. behalten diese lange bei.

Entropie in Lebewesen

Wir haben bereits angesprochen, dass Lebewesen wie der menschliche Organismus offene (also nicht-abgeschlossene) Systeme darstellen. Sie tauschen mit ihrer Umgebung Materie (Teilchen) und Energie (Wärme) aus. Ein lebender Körper ist ein hoch geordnetes System und damit von relativ geringer Entropie. Lebewesen sind zur Lebenserhaltung ständig darum bemüht, diese Ordnung im Organismus zu erhalten. Das geht nur, indem der lebende Organismus die Entropie in der Umwelt entsprechend erhöht, indem er zum Beispiel Wärme abgibt.

Entropie – Beispiele

Wir haben die Entropie als Größe kennengelernt, mit der die Richtung von Prozessen vorhergesagt werden kann. In diesem Zusammenhang haben wir auch schon einige Beispiele chemischer Reaktionen betrachtet. Um das Wesen der Entropie noch besser zu verstehen, gehen wir jetzt noch auf einige weitere, beispielhafte Prozesse ein.

Entropie eines Blumentopfes

Stelle dir einen Blumentopf auf einer Fensterbank vor. Aus irgendeinem Anlass – vielleicht steckt ja die Katze dahinter – fällt der Blumentopf plötzlich herunter. Wie zu erwarten, zerbricht er in 1 000 Stücke.
Jetzt überlegen wir, was bei diesem Vorgang energetisch betrachtet passiert ist:
Der Blumentopf hat auf der Fensterbank eine potenzielle Energie. Beim Herabstürzen wird die potenzielle Energie in kinetische Energie umgewandelt. Beim Zerbrechen des Topfes wird die kinetische Energie in Verformungsenergie und letztendlich in Wärmeenergie (die auch als thermische Energie bekannt ist) umgewandelt.
Du kennst sicher den Energieerhaltungssatz, auch bekannt als erster Hauptsatz der Thermodynamik:
In einem abgeschlossenen System bleibt die Gesamtenergie stets konstant. Energie wird weder erzeugt noch vernichtet, Energie kann nur umgewandelt werden.
Und nun denke dir das Folgende: Da ja keine Energie verloren ging, könnte doch die vorhandene Wärmeenergie dafür benutzt werden, dass die Teile des Topfes sich wieder zusammensetzen und der Topf hochfliegt.
Glaubst du, dass das passieren kann, der Prozess also umkehrbar ist? Hast du schon einmal beobachtet, dass sich ein zerbrochener Blumentopf spontan zusammensetzt und nach oben fliegt? Nein, natürlich nicht. Das geht nicht. Der Grund dafür liegt in der Entropie.

Entropie beim Vermischen

Stelle dir einen Kasten mit einer Trennwand vor, die den Kasten in zwei gleich große Bereiche teilt. In dem einen Bereich sind blaue Gasmoleküle und in dem anderen rote. Entfernen wir nun die Trennwand, dann werden wir beobachten, dass die blauen und die roten Gasmoleküle sich miteinander vermischen. Irgendwann werden sie sich gänzlich miteinander vermischt haben.

Nach dem Energieerhaltungssatz wäre es denkbar, dass sich die vermischten Gasmoleküle wieder entmischen, sodass sich in dem einen Bereich wieder nur blaue Gasmoleküle und in dem anderen nur rote befinden. Denn die noch vorhandene Energie könnte dafür verwendet werden, unsere miteinander vermischten Gasmoleküle wieder zu entmischen. Aber: Die Entmischung wird nicht stattfinden! Und der Grund dafür liegt auch hier in der Entropie.

Entropie beim Schmelzen von Eis

Stelle dir vor, du gibst ein paar Eiswürfel in warmes Wasser. Nach einiger Zeit sind die Eiswürfel verschwunden, dafür ist das Wasser nun kalt geworden. Es gilt auch hier, dass keine Energie verloren gegangen ist. Es wurde nur Energie vom warmen Wasser auf die Eiswürfel übertragen, die daraufhin geschmolzen sind.
Nun wäre es doch denkbar, dass sich im kalten Wasser an einer Stelle wieder Eiswürfel bilden und an anderer Stelle wieder warmes Wasser. Betrachtet man nur die Energiebilanz, spricht doch eigentlich nichts dagegen.
So etwas gibt es aber nicht – und das liegt wieder an der Entropie!

Alle drei Beispiele haben eine Gemeinsamkeit: Es sind Prozesse, die nur in eine Richtung spontan ablaufen, nicht aber in die andere Richtung. Und damit sind wir dem Wesen der Entropie schon sehr nahe:
Die Entropie beeinflusst die Richtung, in welche ein Vorgang spontan abläuft.

Entropie – Erklärung der Beispiele

Erinnern wir uns zunächst an das erste Beispiel:
Der noch intakte Blumentopf auf der Fensterbank befindet sich in einem geordneten Zustand. Im Vergleich dazu befindet sich der in viele Teile zerbrochene Blumentopf in einem ungeordneten Zustand. Wenn wir die beiden Zustände des Blumentopfes zeichnen möchten, haben wir im geordneten Zustand eigentlich nur eine Möglichkeit – der Topf sieht so aus, wie er eben aussieht. Wenn der Topf nun aber zerbricht, gibt es dafür unzählige Möglichkeiten, wie die Bruchstücke beschaffen sein könnten oder auf dem Boden verteilt liegen. Es gibt also viel mehr Möglichkeiten, den in viele Teile zerbrochenen Topf zu zeichnen.
Mathematisch gesehen bedeutet Ordnung und Unordnung also Folgendes:
Je mehr Möglichkeiten es für einen Zustand gibt, desto wahrscheinlicher ist er auch. Er besitzt dann ein hohes Maß an Unordnung. Man sagt auch, er besitzt eine hohe Entropie.

In gleicher Weise stellen wir im zweiten Beispiel fest, dass die Mischung der blauen und roten Gasmoleküle viele Möglichkeiten der Anordnung hat, während es deutlich weniger Möglichkeiten gibt, die beiden Sorten von Gasmolekülen fein säuberlich getrennt voneinander anzuordnen. Damit ist der gemischte Zustand wahrscheinlicher und besitzt eine höhere Entropie.

Im dritten Beispiel stellen die festen Eiswürfel einen geordneten Zustand dar, in dem die Wassermoleküle im Eis auf festen Plätzen angeordnet sind. Der flüssige Zustand bietet im Vergleich dazu viel mehr Möglichkeiten der Anordnung für die Wassermoleküle. Der flüssige Zustand ist somit der wahrscheinlichere und hat eine höhere Entropie.

Wir beobachten bei allen Beispielen, dass Prozesse stets von einem geordneten Zustand hin zu einem ungeordneten Zustand ablaufen. Solche Prozesse, die spontan ablaufen, haben damit eine bevorzugte Richtung: in Richtung einer größer werdenden Entropie.

Entropie – Formel

Wir haben bereits mehrere Formeln zur konkreten Berechnung der Entropie $S$ bzw. der Entropieänderung $\Delta S$ kennengelernt:

• $k_\text{B}$: Boltzmann-Konstante, $k_\text{B} = 1{,}38 \cdot 10^{-23}\,\frac{\text{J}}{\text{K}}$
• $\ln{w}$: natürlicher Logarithmus der Wahrscheinlichkeit eines Makrozustandes, ergibt sich aus der Anzahl aller möglichen, energetisch gleichwertigen Mikrozustände
• $\Delta Q$: umgesetzte Wärmemenge in $\text{J}$
• $T$: absolute Temperatur in $\text{K}$
• $S_{\text{A}}$: Entropie des Ausgangszustands $\text{A}$
• $S_{\text{B}}$: Entropie des Endzustandes $\text{B}$

Dazu gibt es noch eine weitere Gleichung, mit der wir uns noch befassen müssen:

Die Gibbs-Helmholtz-Gleichung beschreibt die Änderung der freien Enthalpie $\Delta G$, die bei chemischen Reaktionen auch freie Reaktionsenthalpie genannt wird. Die Änderung derselben ist abhängig von der Änderung der Enthalpie $\Delta H$ und dem Produkt aus absoluter Temperatur $T$ und Entropieänderung $\Delta S$, die wir schon kennen.
Die Änderung der Enthalpie $\Delta H$ ist bei einer exothermen chemischen Reaktion kleiner als Null, das heißt, es wird Energie freigesetzt, die dann nach außen abgeführt werden kann.
Bei einer endothermen Reaktion ist $\Delta H$ größer als Null, das heißt, es muss Energie aufgenommen werden, die zuerst von außen zugeführt werden muss.
Wir haben weiter oben schon betrachtet, wie aus der Entropieänderung $\Delta S$ abgeleitet werden kann, ob eine chemische Reaktion spontan abläuft oder nicht. Mit der Gibbs-Helmholtz-Gleichung können wir diesen Zusammenhang nun auch quantitativ formulieren. Eine Reaktion läuft dann spontan ab, wenn die freie Reaktionsenthalpie $\Delta G$ insgesamt kleiner als Null ist. Das nennt man exergon oder exergonisch. Ist $\Delta G$ hingegen größer als Null, kann die Reaktion nicht spontan ablaufen. Das nennt man endergon oder endergonisch. Dies ist auch noch einmal in folgender Tabelle zusammengefasst:

Betrachten wir ein abgeschlossenes System, muss gelten:

$\Delta S \geq 0$

Betrachten wir ein offenes System, muss eine mögliche Entropieabnahme im System durch eine Entropiezunahme der Umgebung ausgeglichen werden. In diesem Fall gilt:

$\Delta S_\text{Gesamt} = \Delta S_\text{System} + \Delta S_\text{Umgebung}$

Unter dieser Bedingung gilt dann auch hier in jedem Fall:

$\Delta S_\text{Gesamt} \geq 0$

Entropie berechnen

An einem einfachen Beispiel für eine Entropieänderung wollen wir nun konkrete Werte berechnen. Nehmen wir an, eine Menge von $10\,\text{g}$ Eis schmilzt in einem Glas Limonade. Die Limonade soll auf eine Temperatur von $0\,^\circ\text{C}$, also $273\,\text{K}$ abgekühlt sein. Es muss also nur noch die spezifische Schmelzwärme zugeführt werden, die im Fall von Wasser bzw. Eis rund $335\,\frac{\text{kJ}}{\text{kg}}$ beträgt. Insgesamt muss damit eine Wärmemenge von $\Delta Q = 335\,\frac{10^3\,\text{J}}{10^3\,\text{g}} \cdot 10\,\text{g} = 3350\,\text{J}$ zugeführt werden, damit das Eis schmilzt. Um zu berechnen, welcher Entropieänderung das entspricht, setzen wir in unsere Formel ein:

$\Delta S = \dfrac{\Delta Q}{T} = \dfrac{3350\,\text{J}}{273\,\text{K}} = 12{,}27\,\frac{\text{J}}{\text{K}}$

Beim Schmelzen von Eis handelt es sich um ein Entropieerhöhung, von der wir wissen, dass sie unter Normalbedingungen spontan stattfindet.
Aber warum ist das so, obwohl doch Energie zugeführt werden muss? Wir können den Prozess auch so betrachten:
Die Wärmemenge $\Delta Q = 3350\,\text{J}$, die wir zum Schmelzen des Eises aufbringen müssen, entspricht der Enthalpie $\Delta H$ in der Gibbs-Helmholtz-Gleichung:

$\Delta G = \Delta H - T \cdot \Delta S$

Die Entropieänderung $\Delta S$ ist ebenfalls positiv, die haben wir eben berechnet. Setzen wir nun eine Temperatur von $273\,\text{K}$ in die Gleichung ein, erhalten wir:

$\Delta G = 3350\,\text{J} - 273\,\text{K} \cdot 12{,}27\,\frac{\text{J}}{\text{K}} \approx 0$

Bei $273\,\text{K}$ (also $0\,^\circ\text{C}$) wird also noch nichts passieren. Und bei niedrigeren Temperaturen erst recht nicht, denn dann wäre $\Delta G < 0$. Aber in der Umgebung des Limonadenglases ist es ja deutlich wärmer als $0\,^\circ\text{C}$. Es findet also eine Wärmeeintrag von außen statt und die Temperatur im Limonadenglas steigt. Sobald die Temperatur der Limonade $0\,^\circ\text{C}$ übersteigt, wird $\Delta G > 0$ sein. Dann ist der Prozess exergon und das Schmelzen des Eises läuft spontan ab.

Entropie – Prozesse

Es gibt Prozesse, bei denen sich die Entropie des Systems effektiv nicht ändert, das heißt es gilt:

$\Delta S_\text{Gesamt} = 0$

Solche Prozesse sind reversibel in dem Sinne, dass sie sowohl in die Hin- als auch in die Rückrichtung spontan ablaufen können, da sie in keinem der beiden Fälle gegen den zweiten Hauptsatz der Thermodynamik verstoßen.

Reversible Prozesse

Ein reversibler Prozess ist ein Prozess, bei dem sich die Gesamtentropie des Systems effektiv nicht ändert. Es gilt:

$\Delta S_\text{Gesamt} = 0$

Ein Beispiel wäre ein idealer Basketball, den man auf dem Boden auftippen lässt. Der Ball fällt nach unten, verformt sich kurz elastisch und springt dann wieder nach oben in die Hand der dribbelnden Person. Am Ende des Vorgangs ist keinerlei Veränderung des ursprünglichen Systems feststellbar. Ball und Umgebung sind wieder im selben Zustand wie vor der Aktion.
Dies gilt allerdings nur, wenn die Reibungsverluste zwischen Hand, Ball und Boden vernachlässigt werden. Denn bei Reibung entsteht Wärme, die nach außen abgegeben wird.

In der Realität ist es sehr schwierig, wirklich vollständig reversible Prozesse zu finden.
Schon unser Verständnis von Zeit ist eng mit der Irreversibilität der Prozesse in der Natur verbunden. Das wollen wir gleich näher beleuchten.

Irreversible Prozesse

Generell sind alle Prozesse in der Realität irreversibel. Das heißt, es findet eine Veränderung im System statt, die nicht mehr rückgängig gemacht werden kann. Wir haben bereits gelernt, dass – wenn wir das gesamte Universum als abgeschlossenes System betrachten – gilt, dass die Entropie niemals abnimmt:

$\Delta S_\text{Gesamt} \geq 0$

Bei irreversiblen Prozessen nimmt die Entropie zu, also gilt $\Delta S > 0$. Wenn die Entropie an einer Stelle im Universum einmal abnimmt, muss sie im Gegenzug an anderer Stelle zunehmen, um die Entropieabnahme mindestens auszugleichen. Dies geschieht durch einen Austausch von Energie oder Materie zwischen verschiedenen offenen Systemen (innerhalb des abgeschlossenen Systems Universum).
Die Tatsache, dass die Gesamtentropie im Universum niemals abnimmt, sondern stetig zunimmt, ist auch mit unserem Verständnis der Zeit vereinbar: Zeit vergeht niemals rückwärts, alle Prozesse und Zustandsänderung finden sogesehen immer in eine Richtung statt – in Richtung zunehmender Zeit.
Die Gesamtentropie im Universum kann also auch als Maß für die Zeit verstanden werden – oder umgekehrt der Lauf der Zeit als Verlauf der Entropie.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Entropie