30 Tage kostenlos testen: Mehr Spaß am Lernen.
30 Tage kostenlos testen

Überzeugen Sie sich von der Qualität unserer Inhalte.

30 Tage kostenlos testen

Lineare Funktionen

Lineare Funktionen sind diejenigen Funktionen, die eine Gerade als Graphen haben.

Alle Klassen

Mathematik in der Sekundarstufe

  1. 1. Klasse
  2. 2. Klasse

Themenübersicht in Lineare Funktionen

Was sind lineare Funktionen?

Eine Funktion, deren Funktionsgleichung die Form $f(x)=y=m\cdot x+b$ hat, heißt lineare Funktion. Dabei sind nur $x$ und $y$ Variablen. $m$ und $b$ sind Parameter, die im Falle einer konkreten Funktion auch konkrete Zahlwerte annehmen. Diese Zahlen bestimmen den Verlauf der linearen Funktion eindeutig. Lineare Funktionen werden durch die Form $y=m\cdot x+b$ bestimmt, die Gleichungen nicht-linearer Funktionen können nicht in diese Form überführt werden. Der Graph einer linearen Funktion hat im Koordinatensystem den Verlauf einer Geraden. Hier siehst du den Graphen der linearen Funktion $f(x)=\frac{2}{3} x+2$:

Lineare_Funktion.jpg

Was sind proportionale Funktionen?

Ist der Parameter $b=0$, dann geht die Funktionsgleichung einer linearen Funktion über in die Form $y=m\cdot x$. Funktionen mit solchen Funktionsgleichungen sind ein Spezialfall der linearen Funktionen und heißen Proportionale Funktionen. Der Graph einer proportionalen Funktion hat im Koordinatensystem den Verlauf einer Geraden und geht durch den Ursprung des Koordinatensystems. Mit proportionalen Funktionen kannst du proportionale Zusammenhänge untersuchen. Proportionale Zusammenhänge kennst du bspw. aus Aufgaben zum Dreisatz. Ein Beispiel für einen proportionalen Zusammenhang ist ein Auto, das mit einer gleichbleibenden Geschwindigkeit fährt: Wenn es mit $50~\frac{km}{h}$ fährt, dann legt es in einer Stunde $50~km$ zurück und in vier Stunden $200~km$.

Proportionale_Funktion.jpg

Was bedeuten die Parameter $m$ und $b$?

Wenn du mit linearen Funktionen rechnest, musst du sehr häufig die beiden Parameter $m$ und $b$ bestimmen. Der Parameter $b$ bezeichnet den $y$-Abschnitt, also die Stelle, an der der Graph die $y$-Achse schneidet. Manchmal wird er auch mit $n$ bezeichnet.

Der Parameter $m$ taucht bei proportionalen und linearen Funktionen auf. Er bezeichnet den Anstieg oder die Steigung der Funktion. Die Steigung gibt an, um welchen Betrag sich der $y$-Wert der Funktion verändert, wenn man den $x$-Wert um $1$ erhöht. Ist die Steigung positiv, steigt der Graph der Funktion, ist sie negativ, fällt der Graph.

Merkhilfe

Wenn $m$ größer wird, wird die zugehörige Gerade steiler.

Merkhilfe_Maulwurf

Wenn du die Parameter $m$ und $b$ kennst, kannst du den Graphen der Funktion zeichnen oder ermitteln, ob ein Punkt auf dem Funktionsgraphen liegt oder nicht. Du kannst dann auch die Nullstelle ausrechnen, also den Schnittpunkt des Funktionsgraphen mit der $x$-Achse. Umgekehrt kannst du aus zwei gegebenen Punkten die Funktionsgleichung einer linearen Funktion bestimmen.