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Monotoniebereiche von Funktionen bestimmen

Entdecke das Monotoniekriterium für differenzierbare Funktionen! Finde heraus, wann eine Funktion monoton steigt oder fällt und übe mit Beispielen. Interessiert? Dies und vieles mehr findest du im folgenden Video!

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sofatutor Team
Monotoniebereiche von Funktionen bestimmen
lernst du in der Sekundarstufe 5. Klasse - 6. Klasse - 7. Klasse

Monotoniebereiche von Funktionen bestimmen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Lerntext Monotoniebereiche von Funktionen bestimmen kannst du es wiederholen und üben.
  • Benenne den Zusammenhang zwischen Monotonie und erster Ableitung.

    Tipps

    Wenn ein Steigungsverhalten monoton, aber nicht streng monoton ist, dann ist ein waagerechter Verlauf ($f^\prime (x)=0$) enthalten.

    Lösung

    Die richtige Zuordnung lautet:

    streng monoton steigend: $f^\prime (x)\gt 0$

    monoton steigend: $f^\prime (x)\geq 0$

    streng monoton fallend:$f^\prime (x)\lt 0$

    monoton fallend: $f^\prime (x)\leq 0$

  • Bestimme die erste Ableitung.

    Tipps

    Vier Rechnungen enthalten Fehler.

    Lösung

    Folgende Ableitungen wurden falsch gebildet:

    • $f(x)=\frac{1}{6}x^6-\frac{1}{25}x^5$
    $f^{\prime}(x)= x^5-\color{red}{5} \color{black} ~x^4$

    richtig: $f^{\prime}(x)=x^5-\frac{1}{5}x^4$

    • $f(x)=-3x^5+5x^3+15x$
    $f^{\prime}(x)=\color{red}{+}\color{black}15x^4+15x^2+15$

    richtig: $f^{\prime}(x)=-15x^4+15x^2+15$

    • $f(x)=x^{-3}$
    $f^{\prime}(x)=-3x^{-\color{red}{2}}$

    richtig: $f^{\prime}(x)=-3x^{-4}$

    • $f(x)=3x^3-9x-9$
    $f^{\prime}(x)=9x^2-9\color{red}{-1}$

    richtig: $f^{\prime}(x)=9x^2-9$

  • Bestimme die Nullstellen und Teilintervalle der Funktionen.

    Tipps

    Bestimme die Nullstellen der ersten Ableitung, um die Grenzen der Teilintervalle herauszufinden.

    Lösung

    • $f(x)=x^2+2x-8$
    $f^{\prime}(x)=2x+2$

    Nullstellen: $f^{\prime}(x)=0 \implies 2x+2=0 \implies \underline{\underline{x=-1}}$

    Teilintervalle: $]-\infty,-1[ \quad \text{ und }\quad ]-1,\infty[$

    • $f(x)=x^2+1$
    $f^{\prime}(x)=2x$

    Nullstellen: $f^{\prime}(x)=0 \implies 2x=0 \implies \underline{\underline{x=0}}$

    Teilintervalle: $]-\infty,0[ \quad \text{ und }\quad ]0,\infty[$

    • $f(x)=x^2-2x$
    $f^{\prime}(x)=2x-2$

    Nullstellen: $f^{\prime}(x)=0 \implies 2x-2=0 \implies \underline{\underline{x=1}}$

    Teilintervalle: $]-\infty,1[\quad \text{ und }\quad ]1,\infty[$

    • $f(x)=x^3-3x^2$
    $f^{\prime}(x)=3x^2-6x$

    Nullstellen: $f^{\prime}(x)=0 \implies 3x^2-6x=0 \implies x(3x-6)=0 \implies \underline{\underline{x_1=0}} \text{ und } \underline{\underline{x_2=2}}$

    Teilintervalle: $]-\infty,0[ \quad \text{ und }\quad ]0,2[ \quad \text{und} \quad ]2,\infty[$

  • Bestimme die Monotoniebereiche der Funktion.

    Tipps

    Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall in die erste Ableitung und prüfe das Vorzeichen, um das Monotonieverhalten in diesem Intervall angeben zu können.

    Lösung

    Schritt 1 Ableitung der Funktion

    $f^{\prime}(x)=3x^2-12x$

    Schritt 2 Nullstellen der Ableitung

    $f^{\prime}(x)=0 \implies 3x^2-12x=0 \vert :3$

    $x^2-4x=0$

    $\implies x_1=0 \text{ und } x_2=4$

    Schritt 3 Aufteilung in Teilintervalle

    $]-\infty, 0[ \quad \text{ und } \quad ]0,4[ \quad \text{ und } \quad ]4, \infty[$

    Schritt 4 Bestimmung der Monotoniebereiche (hierfür beliebige Punkte aus den jeweiligen Intervallen in die Funktionsgleichung der ersten Ableitung einsetzen)

    • $f$ ist im Intervall $]-\infty, 0[ $ streng monoton steigend
    • $f$ ist im Intervall $]0,4[$ streng monoton fallend
    • $f$ ist im Intervall $]4, \infty[ $ streng monoton steigend
  • Beschreibe das Vorgehen zur Bestimmung des Monotonieverhaltens.

    Tipps

    Um das Monotonieverhalten einer Funktion zu bestimmen, muss man untersuchen, in welchen Bereichen die erste Ableitung positiv, negativ oder null ist.

    Lösung

    Das Vorgehen lässt sich in vier Schritte unterteilen:

    1. Bestimme die erste Ableitung von $f$.
    2. Berechne die Nullstellen der ersten Ableitung.
    3. Teile den Definitionsbereich der Funktion in Teilintervalle entsprechend der Nullstellen ein.
    4. Bestimme mit Hilfe der ersten Ableitung die Monotonie in jedem Intervall.
  • Bestimme das Monotonieverhalten der Funktion.

    Tipps

    Ist $f^{\prime}(x)<0$ für $x \in ]a,b[$, dann ist der Graph in $]a,b[$ streng monoton fallend.

    Lösung

    Die Ableitung lautet $f^{\prime}(x)=6x^2-24x+24$ und hat eine Nullstelle bei $x=2$.

    Wir untersuchen die Teilintervalle $]-\infty, 2[ \quad $ und $\quad ]2, \infty[$.

    Um die Monotonie im ersten Intervall zu prüfen, berechnen wir $f^{\prime}(1)=$, also gilt für $x \in ]-\infty, 2[: f^{\prime}(x) >0$ und die Funktion ist in diesem Intervall streng monoton steigend.

    Um die Monotonie im zweiten Intervall zu prüfen, berechnen wir $f^{\prime}(5)=54$, also gilt für $x \in ] 2, \infty[: f^{\prime}(x) ${>}$0$ und die Funktion ist in diesem Intervall streng monoton steigend.

    Hinweis: Da die Funktion in beiden Teilintervallen streng monoton steigend ist und bei $x=2$ die Steigung null ist, kann man auch sagen: Die Funktion ist im gesamten Definitionsbereich monoton steigend (aber nicht streng monoton steigend).