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Exponential- und Logarithmusfunktionen

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Exponential- und Logarithmusfunktionen

Exponential- und Logarithmusfunktionen sind Umkehrfunktionen voneinander. Daher werden sie im Unterricht meist zusammen oder kurz nacheinander besprochen. Sie werden verwendet, um z.B. Wachstum und Zerfall oder andere Sachverhalte aus den Naturwissenschaften darzustellen.

Exponentialfunktionen

Für alle $a$ aus den reellen Zahlen mit $a>0$, $a\ne1$ und alle $c$ aus den reellen Zahlen mit $c\ne0$ heißt eine Gleichung $f(x)=c\cdot a^{x}$ Exponentialfunktion. Wenn man als Grundmenge die reellen Zahlen festlegt, gilt:

  • Der Definitionsbereich sind die reellen Zahlen.
  • Der Wertebereich sind die positiven reellen Zahlen.

Ist $a>1$, so ist $f$ streng monoton wachsend. Wenn $a\lt1$, dann ist $f$ streng monoton fallend.

Den Schnittpunkt des Graphen einer Exponentialfunktion mit der $y$-Achse bestimmst du, wie immer, indem du für $x$ den Wert $0$ einsetzt. Es gilt $f(0) = c\cdot a^{0} = c$, da $a^{0} = 1$ ist. Der Schnittpunkt hat also die Koordinaten $(0;c)$.

Exponentialfunktionen besitzen keine Nullstelle, da immer $f(x)=y>0$ gilt. Der Graph bzw. die Funktionswerte nähern sich aber der $x$-Achse immer weiter an, daher ist die $x$-Achse eine Asymptote.

Im Zusammenhang mit Exponentialfunktionen wird oft die Zahl $e$ (Eulersche Zahl) eingeführt. Diese wird dann oft als Basis von Exponentialfunktionen verwendet. Die Funktion mit der Gleichung $f(x) = e^{x}$ heißt natürliche Exponentialfunktion.

Logarithmusfunktionen

Logarithmusfunktionen haben die Form $f(x)=\log_a({x})$ für alle $a$ aus den reellen Zahlen mit $a>0$ und $a\ne1$. Der Definitionsbereich ist auf alle positiven reellen Zahlen beschränkt. Der Wertebereich umfasst alle reellen Zahlen. Du kannst feststellen, dass das bei Exponentialfunktionen genau andersherum ist.

Ist $a>1$, so ist $f$ streng monoton wachsend. Wenn $0\lt a\lt1$, dann ist $f$ streng monoton fallend.

Die Graphen von Logarithmusfunktionen besitzen eine Nullstelle bei $x_0=1$. Sie schneiden jedoch niemals die $y$-Achse. Diese stellt für Logarithmusfunktionen eine Asymptote dar.

Wenn die Eulersche Zahl $e$ die Basis der Logarithmusfunktion ist, dann ist $f(x)=\log_e({x})=\ln (x)$ die natürliche Logarithmusfunktion.

Umkehrfunktionen

Die Graphen einer Exponentialfunktion und ihrer zugehörigen Umkehr-Logarithmusfunktion liegen symmetrisch zur Geraden mit der Gleichung $y=x$. Um Werte der Exponential- und Logarithmusfunktionen zu ermitteln, kann man Logarithmusgesetze verwenden.