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Zweite Ableitung und Wendepunkte

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Lerntext zum Thema Zweite Ableitung und Wendepunkte

Was ist die zweite Ableitung?

Die Bildung der ersten Ableitung einer Funktion ist bereits bekannt. Diese wird mit $f^\prime(x)$ bezeichnet, nach verschiedenen Regeln gebildet und ist ebenfalls eine Funktion.

Aus diesem Grund kann man von dieser Funktion auch wieder eine Ableitung bilden: Es wird also die Ableitung der ursprünglichen Funktion $f(x)$ abgeleitet. Diese sogenannte „2. Ableitung“ wäre korrekt ausgedrückt $(f^\prime)^\prime(x)$ – vereinfacht nennt man sie aber $f^{\prime\prime}(x)$ (man sagt „F-Zwei-Strich von $x$“). Da sich hier wieder eine Funktion ergibt, könnte man weitere Ableitungen bilden, die dann entsprechend mit $f^{\prime\prime\prime}(x)$ usw. bezeichnet werden.

Wie wird die zweite Ableitung gebildet?

Die zweite Ableitung wird wie die erste Ableitung abhängig von der vorliegenden Funktion anhand der Ableitungsregeln (u. a. Potenzregel, Faktorregel und Summenregel) bestimmt.

Berechnung der zweiten Ableitung – Beispiel

$f(x) = 3x^{4}+5x^{2}-2x+12 \newline f^\prime (x) = 12x^{3}+10x-2 \newline f^{\prime\prime} (x)= 36x^{2}+10$

Was bedeutet die zweite Ableitung?

Die erste Ableitung bezeichnet die Steigung der ursprünglichen Funktion. Bildet man nun die Ableitung der Ableitung, muss dies im Folgeschluss bedeuten, dass mit der zweiten Ableitung die Steigung der ersten Ableitung – also die Steigung der Steigung – bestimmt wird. Doch was heißt das konkret?

Die zweite Ableitung hilft, das Krümmungsverhalten der Funktion $f(x)$ zu untersuchen, denn sie gibt die Änderung der Steigung an. Mit der Berechnung von $f^{\prime\prime}(x)$ kann bestimmt werden, ob es sich um eine Rechtskrümmung oder eine Linkskrümmung handelt. Ebenfalls kann man mit der zweiten Ableitung – genau wie mit der ersten Ableitung – spezielle, charakteristische Punkte der Funktion bestimmen.

Wendepunkte

Um diese charakteristischen Punkte zu erklären, muss man kurz wiederholen, welche charakteristischen Stellen die erste Ableitung angeben kann. Zur Erinnerung: Setzt man die 1. Ableitung gleich null ($f^\prime (x)=0$), so bestimmt man die Stellen der Funktion $f(x)$, an denen die Steigung den Wert $0$ hat. Daraus ergeben sich dann die sogenannten Maxima und Minima (also die Extrempunkte) der Funktion.

Setzt man nun die zweite Ableitung gleich null ($f^{\prime\prime}(x)=0$), erhält man die Stelle, an denen die Steigung $f^\prime (x)$ ihre Extrempunkte hat – hier ist also die Steigung entweder maximal oder minimal. Diese Maxima und Minima der Steigung sind die sogenannten Wendepunkte der Funktion $f(x$), an denen sich die Krümmung der Funktion ändert. Entweder geht der Graph der Funktion an einem Wendepunkt von einer Linkskrümmung in eine Rechtskrümmung über oder andersherum.

Für das Krümmungsverhalten der Funktion gilt nun: $\newline f^{\prime\prime}(x)>0 \rightarrow f~ \text{ist linksgekrümmt} \newline f^{\prime\prime}(x)<0 \rightarrow f~ \text{ist rechtsgekrümmt} $

Wendepunkte – Graphische Bedeutung

Das folgende Beispiel soll diesen Zusammenhang graphisch erläutern. Es sei die Funktion

$f(x)=5x^{3}-3x^{2}-2x+3$

gegeben. Daraus ergeben sich folgende Ableitungen:

$f^\prime(x)=15x^{2}-6x-2$

$f^{\prime\prime}(x)=30x-6$

Wendepunkt

Es wird deutlich: Die Nullstellen der ersten Ableitung sind die Stellen, an denen die Funktion ihre Extrema hat. Die Nullstelle der zweiten Ableitung ist die Stelle, an dem die erste Ableitung ein Extremum und die ursprüngliche Funktion einen Wendepunkt hat.

Der Wendepunkt, an dem $f^{\prime\prime}(x)=0$ ist, markiert den Übergang zwischen Links- und Rechtskrümmung.

Als Eselsbrücke kann man sich überlegen, in welche Richtung man mit einem Fahrrad lenken müsste, wenn man den Graphen von $-\infty$ nach $+\infty$ abfahren würde. Die Lenkrichtung ist dabei das Gleiche wie das Verhalten der Krümmung.

Ein Beispiel aus der Praxis – was bedeutet die zweite Ableitung im Sachzusammenhang?

Eine Anwendung der zweiten Ableitung lässt sich in der Physik, bzw. im Alltag einer jeden Person finden. Hierbei ist die Rede von der Darstellung des Wegs in Abhängigkeit von der Zeit oder als Frage formuliert:

Welchen Weg haben ein Auto / eine Person / ein Flugzeug zu einem bestimmten Zeitpunkt zurückgelegt?

Dabei bezeichnet $x$ die vergangene Zeit und $f(x)$ den zurückgelegten Weg.

$x$ $f(x)$
$\text{Zeit}$ $\text{Weg}$

Daraus lassen sich die Bedeutungen der Ableitung schlussfolgern:

$f^\prime (x)$ $f^{\prime\prime}(x)$
$\text{Wegänderung} \rightarrow \text{Geschwindigkeit}$ $\text{Geschwindigkeitsänderung} \rightarrow \text{Beschleunigung}$

Die erste Ableitung stellt also die Änderung des Weges dar, was im Sachzusammenhang die Geschwindigkeit beschreibt. Die Geschwindigkeitsänderung wiederum (also die zweite Ableitung) bezeichnet man als Beschleunigung.

Folgende Zusammenhänge kann man nun außerdem feststellen:

  • Wenn $f^{\prime\prime}(x)<0$ gilt, so herrscht eine „negative Beschleunigung“ vor – es wird also gebremst und die Geschwindigkeit nimmt ab: $f^\prime (x)$ fällt.
  • Wenn $f^{\prime\prime}(x)>0$ gilt, so herrscht eine „positive Beschleunigung“ vor – es wird also beschleunigt und die Geschwindigkeit nimmt zu: $f^\prime (x)$ steigt.
  • Wenn $f^{\prime\prime}(x)=0$ gilt, so findet keine Beschleunigung statt und die Geschwindigkeit bleibt konstant: $f^{\prime\prime}(x)$ hat ein Maximum, Minimum oder Sattelpunkt, denn wenn anschließend wieder beschleunigt wird, steigt die Geschwindigkeit über diesen Punkt hinaus; wird anschließend wieder gebremst, so fällt die Geschwindigkeit unter diesen Punkt ab.

Wie werden Wendepunkte konkret bestimmt?

Nachfolgend soll anhand von zwei Beispielen die konkrete Berechnung von Wendepunkten einer Funktion erläutert werden.

Berechnung von Wendepunkten

  1. Zweite und dritte Ableitung bilden
  2. Nullstellen der zweiten Ableitung bestimmen
  3. Nullstellen der zweiten Ableitung in die dritte Ableitung einsetzen
  4. $y$-Koordinate von Wendepunkten bestimmen

Berechnung von Wendepunkten – Beispiel 1

Beginnend soll das Beispiel von weiter oben aufgeführt werden. Zunächst bestimmt man die Ableitungen der Funktion – hier wird allerdings zusätzlich die dritte Ableitung benötigt:

$\begin{array}{lcl} f(x) & = & 5x^{3}-3x^{2}-2x+3 \\ f^\prime(x) & = & 15x^{2}-6x-2 \\ f^{\prime\prime}(x) & = & 30x-6 \\ f^{\prime\prime\prime}(x) & = & 30 \end{array}$

Nun geht man ähnlich wie bei der Berechnung der Extremstellen von $f(x)$ vor. Dazu wird die zweite Ableitung mit null gleichgesetzt ($f^{\prime\prime}(x)=0$). Außerdem muss gelten: Die dritte Ableitung darf nicht gleich null sein ($f^{\prime\prime\prime} (x) \neq 0$).

$\begin{array}{rcl} 30x-6 & = & 0 \\ \\ 30x & =&6 \\ \\ x& =& \frac{6}{30}=\frac{1}{5}=0{,}2 \end{array}$

Überprüfung mit der dritten Ableitung:

$f^{\prime\prime\prime}(0{,}2)=30>0 \rightarrow \text{Wendepunkt}$

Zu Bestimmung der $y$-Koordinate des Wendepunkts wird der berechnete $x$-Wert in die Funktion $f(x)$ eingesetzt:

$f\left(\frac{1}{5}\right)=\frac{63}{25}=2{,}52$

Somit ergibt sich der Wendepunkt der Funktion: $\text{W}\left(\dfrac{1}{5}\vert\dfrac{63}{25}\right)$ bzw. $\text{W}(0{,}2\vert 2{,}52)$

Berechnung von Wendepunkten – Beispiel 2

Gegeben sei die Funktion: $f(x)=x^{3}+6x^{2}+4x-12$.

Bestimmung der Ableitungen:

$\begin{array}{rcl} f(x) & = &x^{4}-6x^{2}+4x-12 \\ f^\prime (x) & = & 4x^{3}-12x+4 \\ f^{\prime\prime}(x) & = & 12x^{2}-12 \\ f^{\prime\prime\prime} (x) & = & 24x \end{array}$

Nullsetzen der zweiten Ableitung zur Berechnung der Wendestellen:

$\begin{array}{rcl} 12x^{2}-12 & = & 0 \\ 12x^{2} & = & 12 \\ x^{2} & = & 1 \\ x_{1{,}2} & = & \pm \sqrt{1} \rightarrow x_1=1{,} ~ x_2={-}1 \end{array}$

Überprüfen der Stellen mit der dritten Ableitung: $\newline f^{\prime\prime\prime} (x_1 )=24 \cdot 1>0 \rightarrow \text{Wendepunkt} \newline f^{\prime\prime\prime} (x_2 )=24 \cdot (-1)<0 \rightarrow \text{Wendepunkt}$

Bestimmung der y-Koordinaten durch Einsetzen in $f(x)$: $\newline f(1)=-13 \rightarrow W_1 (1\vert -13) \newline f(-1)= -21 \rightarrow W_2 (-1\vert -21)$

Die Funktion $f(x)=x^{3}+6x^{2}+4x-12$ hat also zwei Wendepunkte.

Zweite Ableitung und Wendepunkte – Zusammenfassung

  • An der zweiten Ableitung einer Funktion $f^{\prime\prime}(x)$ lässt sich das Krümmungsverhalten des Funktionsgraphen ablesen.
  • Für das Krümmungsverhalten von Funktionsgraphen gilt: $\newline f^{\prime\prime}(x)>0 \rightarrow f~ \text{ist linksgekrümmt} \newline f^{\prime\prime}(x)<0 \rightarrow f~ \text{ist rechtsgekrümmt}$
  • Wendepunkte sind die Punkte einer Funktion, an denen die Steigung maximal bzw. minimal ist.
  • Potenzielle Wendestellen können berechnet werden, indem die zweite Ableitung gleich null gesetzt wird (Notwendige Bedingung für einen Wendepunkt: $f^{\prime\prime}(x)=0$). Außerdem muss die dritte Ableitung ungleich null sein (Hinreichende Bedingung für einen Wendepunkt: $f^{\prime\prime}(x)=0$ und $f^{\prime\prime\prime} (x) \neq 0$).

Zweite Ableitung und Wendepunkte Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Lerntext Zweite Ableitung und Wendepunkte kannst du es wiederholen und üben.
  • Bestimme die zweite Ableitung.

    Tipps

    Bestimme zunächst die erste Ableitung. Den erhaltenen Term leitest du nochmal ab.

    Lösung

    $f(x)=10x^5-13x^3+4x+2$

    $f^{\prime}(x)=50x^4-39x^2+4$

    $f^{\prime\prime}(x)=200x^3-78x$

  • Bennene die Eigenschaften der Ableitungen.

    Tipps

    Die Steigung der Steigung ist die Änderung der Steigung.

    Lösung

    Die erste Ableitung gibt die Steigung der ursprünglichen Funktion an.

    Die Ableitung der Ableitung, also die zweite Ableitung, gibt die Steigung der Steigung bzw. die Krümmung der Funktion an.

    Für das Krümmungsverhalten der Funktion gilt:

    $f^{\prime\prime}(x)>0 \rightarrow f$ ist linksgekrümmt

    $f^{\prime\prime}(x)<0 \rightarrow f$ ist rechtsgekrümmt

  • Beschreibe das Vorgehen zur Bestimmung von Wendepunkten.

    Tipps

    Drei Aussagen sind richtig.

    Lösung

    Um die Wendepunkte zu bestimmen, geht man in drei Schritten vor.

    Zunächst muss man die erste Ableitung gleich null setzen. Die Lösungen dieser Gleichung sind die potenziellen Wendestellen.

    An den Wendestellen darf die dritte Ableitung nicht gleich null sein. Also setzt man die potenziellen Wendestellen in die dritte Ableitung ein und prüft, ob das Ergebnis ungleich null ist.

    Liegt ein Wendepunkt vor, muss noch die $y$-Koordinate bestimmt werden. Dazu setzt man die Wendestellen in die ursprüngliche Funktion ein.

  • Bestimme den Wendepunkt.

    Tipps

    $f''(x) = 6x - 12$

    Eine potenzielle Wendestelle liegt bei $x=2$.

    Lösung
    • Bilde zunächst die ersten drei Ableitungen:
    $f(x) = x^3 - 6x^2 + 12x - 5$

    $f'(x) = 3x^2 - 12x + 12$

    $f''(x) = 6x - 12$

    $f'''(x) = 6$

    • Setze dann die zweite Ableitung gleich Null und bestimme die Lösung:
    $f''(x) = 0 \implies 6x - 12=0 \implies x=2$

    • Setze die potenzielle Wendestelle in die dritte Ableitung ein:
    $f'''(2) = 6 \implies $ $f'''(2)\neq 0$

    Es liegt eine Wendestelle bei $x=2$ vor.

    • Bestimme die $y$-Koordinate durch Einsetzen in die ursprüngliche Funktion.
    $f(2) = 2^3 - 6\cdot 2^2 + 12\cdot 2 - 5=3$

    • Der Wendepunkt hat die Koordinaten $(2\vert 3)$.
  • Gib die Eigenschaft einer Funktion am Wendepunkt an.

    Tipps

    Wenn du dir vorstellst, mit dem Fahrrad von $-\infty$ bis $+\infty$ auf dem Graphen zu fahren, ist der Wendepunkt der Punkt, an dem du den Lenker wendest, also über die Mitte von einer Seite auf die andere wechselst.

    Lösung

    Der Wendepunkt ist der Punkt, an dem dem der Graph der Funktion von einer Linkskrümmung in eine Rechtskrümmung übergeht oder andersherum.

  • Bestimme das Krümmungsverhalten.

    Tipps

    Bilde die zweite Ableitung und prüfe, ob diese eine Nullstelle besitzt oder ob sie durchgängig das gleiche Vorzeichen hat.

    Wenn die zweite Ableitung null ist, liegt keine Krümmung vor.

    Lösung

    • $f(x)=x^2+3x-2$
    Die zweite Ableitung ist $f''(x)=2$, also ist die zweite Ableitung überall positiv und der Graph überall linksgekrümmt.

    Du kannst dir auch vorstellen, dass es sich um eine nach oben geöffnete Parabel handelt und wenn du diese mit dem Fahrrad abfährst, würdest du die ganze Zeit nach links lenken.

    • $f(x)=-3x^4$
    Die zweite Ableitung ist $f''(x)=-24x^2$, also ist die zweite Ableitung überall negativ und der Graph überall rechtsgekrümmt.

    Der Graph ist ähnlich wie eine Parabel geformt und nach unten geöffnet. Wenn du diesen Graphen mit dem Rad abfährst, musst du die ganze Zeit nach rechts lenken.

    • $f(x)=0,5x+7$
    Die zweite Ableitung ist $f''(x)=0$, also ist die Ableitung weder positiv noch negativ und der Graph hat keine Krümmung. Es handlet sich um eine Gerade. Würdest du diese mit dem Fahrrad abfahren, müsstest du gar nicht lenken.

    • $f(x)=x^3$
    Die zweite Ableitung ist $f''(x)=6x$, also ist die Ableitung mal positiv und mal negativ – je nachdem, welche Zahl man für $x$ einsetzt. Also ändert sich das Krümmungsverhalten. Der Wendepunkt liegt hier bei $(0\vert 0)$.

    Der Graph hat einen S-förmigen Verlauf und wollte man entlang des Graphen fahren, müsste man in verschiedene Richtungen lenken.

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Die Autor*innen
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sofatutor Team
Zweite Ableitung und Wendepunkte
lernst du in der Sekundarstufe 5. Klasse - 6. Klasse - 7. Klasse