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Gradmaß und Bogenmaß – Umrechnung

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Die Autor*innen
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Team Digital
Gradmaß und Bogenmaß – Umrechnung
lernst du in der Sekundarstufe 3. Klasse - 4. Klasse

Grundlagen zum Thema Gradmaß und Bogenmaß – Umrechnung

Inhalt

Was ist das Bogenmaß?

In diesem Video werden verschiedene Begriffe für das Rechnen mit Kreisen verständlich erklärt. Dazu gehören das Gradmaß und das Bogenmaß für die Winkelgröße sowie die Länge eines Kreisbogens und der Winkel eines Kreisausschnitts. Du erfährst, wie diese verschiedenen Begriffe miteinander zusammenhängen und wie man die verschiedenen Maße ineinander umrechnet.

Bogenlänge Definition

Wir betrachten einen Kreisausschnitt. Die Bogenlänge des Kreisausschnittes ist die Länge des Kreisbogens an diesem Ausschnitt. Sie ist also derjenige Anteil des Umfangs des Kreises, der zu dem Ausschnitt gehört. Wir bezeichnen die Bogenlänge mit $b$. Die Bogenlänge $b$ hat denselben Anteil an dem Umfang $U$ wie der zugehörige Winkel $\alpha$ an dem Gesamtwinkel $360^\circ$. Es gilt also die Verhältnisgleichung:

$\frac{b}{U} = \frac{\alpha}{360^\circ}$

Bogenlänge – Formel
Die Bogenlänge $b$ eines Kreisausschnittes ist die Länge des Kreisbogens, der zu dem Kreisausschnitt gehört. Du erhältst eine Formel für die Bogenlänge $b$, indem du die Gleichung nach $b$ auflöst:

$b = \frac{\alpha \cdot U}{360^\circ}$

Bogenlänge – Beispiel

Bogenlänge eines Kreisausschnitts

Wir betrachten den im Bild gezeigten Kreisausschnitt und wollen die Bogenlänge $b$ ausrechnen. Dazu benötigen wir den Umfang $U$ des Kreises und den Winkel $\alpha$ des Kreisausschnittes. Bei dem Kreisausschnitt im Bild betragen der Winkel $\alpha = 130^\circ$ und der Umfang $U=21~\text{cm}$. Setzen wir diese Werte in die Formel für die Bogenlänge ein, so erhalten wir:

$b = \frac{130^\circ \cdot 21~\text{cm}}{360^\circ} \approx 7,58~\text{cm}$

Die Länge des Kreisbogens an dem Kreisausschnitt beträgt also $7,58~\text{cm}$.

Winkel eines Kreisausschnitts

Sind die Bogenlänge $b$ des Kreisausschnitts und der Umfang $U$ des Kreises gegeben, so kannst du den Winkel $\alpha$ des Kreisausschnitts berechnen. Dazu löst du die Verhältnisgleichung nach $\alpha$ auf und erhältst die Formel für den Winkel des Kreisausschnitts:

$\alpha = \frac{b \cdot 360^\circ}{U}$

Ist der Umfang eines Kreises $U=18~\text{cm}$ und die Bogenlänge eines Kreisausschnitts $b=12~\text{cm}$, so erhältst du den Winkel $\alpha$, indem du die Werte in die obige Formel einsetzt:

$\alpha = \frac{12~\text{cm} \cdot 360^\circ}{18~\text{cm}} = 240^\circ $

Bogenmaß Definition

Um das Bogenmaß zu erklären, betrachten wir einen Kreis vom Radius $r=1$. Man nennt jeden solchen Kreis einen Einheitskreis. Das Gradmaß und das Bogenmaß sind zwei verschiedene Maße für die Winkelgröße eines Kreisausschnittes. Im Gradmaß umfasst der Vollwinkel $360^\circ$. Die Winkelgröße jedes anderen Winkels kannst du bestimmen, indem du den Winkel mit dem Vollwinkel vergleichst. Ein Viertel des Vollwinkels z.B. ist der rechte Winkel mit der Winkelgröße $90^\circ = \frac{360^\circ}{4}$. Auf einem Taschenrechner erscheint das Gradmaß meistens mit der Abkürzung „Deg“. Das kommt von dem englischen Wort „degree“ für Gradmaß.

Gradmaß und Bogenmaß

Im Bogenmaß hat der Vollwinkel die Winkelgröße $2\pi$. Das entspricht genau dem Umfang des Einheitskreises. Der Umfang wiederum ist genau die Bogenlänge des Kreisausschnitts, der zu dem Vollwinkel gehört. Die Winkelgröße jedes anderen Winkels kannst du wieder durch den Vergleich des Winkels mit dem Vollwinkel bestimmen. Z.B. hat der rechte Winkel im Bogenmaß die Winkelgröße $\frac{\pi}{2} = \frac{2\pi}{4}$. Auf einem Taschenrechner erscheint das Bogenmaß mit der Abkürzung „Rad“. Das kommt von dem englischen Wort „radiant“ für Bogenmaß.

Gradmaß und Bogenmaß – Umrechnung

Du kannst die Winkelgrößen vom Gradmaß in das Bogenmaß umrechnen – und umgekehrt. Dazu verwendest du wieder die Verhältnisgleichung aus der Definition. Im Einheitskreis ist der Umfang $U=2\pi$. Eingesetzt in die Verhältnisgleichung erhalten wir:

$\frac{b}{2\pi} = \frac{\alpha}{360^\circ}$

Die Bogenlänge $b$ eines Kreisausschnitts im Einheitskreis ist genau dasselbe wie das Bogenmaß des zugehörigen Winkels. In dieser Formel steht also auf beiden Seiten der Anteil des Winkels am Vollwinkel – links im Bogenmaß, rechts im Gradmaß.

Gradmaß und Bogenmaß – Umrechnungsbeispiele

Wir betrachten einen Winkel mit der Winkelgröße $b=2$ im Bogenmaß. Um das zugehörige Gradmaß zu bestimmen, lösen wir die Gleichung nach $\alpha$ auf und setzen den Wert $b=2$ ein:

$\alpha = \frac{b \cdot 360^\circ}{2\pi} = \frac{2 \cdot 360^\circ}{2\pi} \approx 114,59^\circ$

Umgekehrt können wir eine Winkelgröße auch vom Gradmaß in das Bogenmaß umrechnen. Dazu lösen wir die Verhältnisgleichung der Winkelgrößen nach $b$ auf. Der Winkelgröße $\alpha = 45^\circ$ im Gradmaß entspricht z.B. folgende Winkelgröße $b$ im Bogenmaß:

$b = \frac{\alpha \cdot 2\pi}{360^\circ} = \frac{45^\circ \cdot 2\pi}{360^\circ} = \frac{\pi}{4} \approx 0,79$

Gradmaß und Bogenmaß – Zusammenfassung

In diesem Video wird das Bogenmaß für Winkelgrößen verständlich erklärt. Das Bogenmaß entspricht der Bogenlänge eines Kreisauschnitts beim Einheitskreis. Du erfährst, wie die Bogenlänge des Kreisausschnitts mit der Winkelgröße zusammenhängt. An Beispielen wird verständlich erklärt, wie du Winkelgrößen vom Bogenmaß in das Gradmaß oder vom Gradmaß in das Bogenmaß umrechnest.

Transkript Gradmaß und Bogenmaß – Umrechnung

Warum drehen wir uns, wenn wir uns einmal im Kreis drehen, eigentlich genau um dreihundertsechzig Grad? Warum nicht um einhundert Grad? Oder eintausend? Das hat tatsächlich historische Gründe! Die Einteilung des Kreises in dreihundertsechzig Einheiten geht höchstwahrscheinlich auf die babylonische Kultur zurück, die sich vor circa fünftausend Jahren entwickelte. Da das Zahlensystem der Babylonier aus insgesamt sechzig Ziffern bestand, lag es nahe, auch den Kreis in ein Vielfaches von sechzig einzuteilen. Übrigens kann – aus dem gleichen Grund – auch die Einteilung der Stunde in sechzig Minuten auf die babylonische Kultur zurückgeführt werden. Sowohl die Einteilung von Stunden, Minuten und Sekunden, als auch die Einteilung des Kreises in dreihundertsechzig Grad, haben wir also vermutlich den alten Babyloniern zu verdanken. Was du sonst noch über Gradmaß, Bogenmaß und die Umrechnung zwischen diesen beiden Maßen wissen solltest, erfährst du in diesem Video. Gradmaß – manchmal auch Winkelmaß genannt – und Bogenmaß sind zwei verschiedene Maße, die das Gleiche messen. Wir nutzen sie, um die Größe von Winkel zu beschreiben. Schauen wir uns das zunächst im Gradmaß an. Hier sehen wir einen fünfundvierzig-Grad-Winkel. Die Gradzahl wird mit einem kleinen Kringel, dem Grad-Zeichen, gekennzeichnet. Das hat aber nichts mit der Temperatur zu tun. Es geht um Winkel, nicht verwechseln! Hier nochmal ein kleiner Winkel-Crash-Kurs: Bei fünfundvierzig Grad handelt es sich um einen spitzen Winkel. Einen rechter Winkel, sprich einen neunzig-Grad-Winkel, kennen wir auch schon. Ein gestreckter Winkel hat einhundertachtzig Grad, und der Vollwinkel schließlich dreihundertsechzig Grad. Warum der Vollwinkel genau dreihundertsechzig Grad groß ist, wissen wir ja jetzt auch. Doch wir können eine Winkelgröße nicht nur im Gradmaß angeben. Das Bogenmaß ist ein alternatives Maß, in dem Winkel gemessen werden können. Das kannst du dir in etwa so vorstellen, wie den Unterschied zwischen den Einheiten Kilometer und Meile. Die Entfernung zwischen New York City beträgt für uns Europäer circa dreihundertdreißig Kilometer. Die US-Amerikaner geben für die gleiche Strecke hingegen circa zweihundertundvier Meilen an. Auch hier wird die gleiche Größe, nämlich die Länge einer Strecke, mit unterschiedlichen Maßeinheiten gemessen. Doch worin genau besteht der Unterschied zwischen Grad- und Bogenmaß? Für das Bogenmaß werfen einen Blick auf den Einheitskreis. Also auf einen Kreis mit dem Radius eins. Die Formel für den Umfang eines Kreises lautet „zwei mal der Kreiszahl Pi mal dem Radius r“. Da r in unserem Fall gleich eins ist, ist der Umfang also gleich zwei Pi. In anderen Worten: Wenn wir diesen Kreis einmal entlanglaufen, ist die Länge der zurückgelegten Strecke genau zwei Pi. Um das Bogenmaß zu erhalten, müssen wir noch durch die Länge des Radius teilen. Im Einheitskreis teilen wir durch eins, dadurch ändert sich nichts. Zwei Pi entspricht somit der Größe des Vollwinkels im Bogenmaß. Da sich, wenn wir Umfang durch Radius teilen, die Länge des Radius immer wegkürzt, gilt das nicht nur für den Einheitskreis sondern allgemein. Wir beschreiben im Bogenmaß also die Größe des Winkels mit dem Verhältnis von Bogenlänge zu Radius. Bei diesem Winkel ergibt sich zum Beispiel die Bogenlänge Eins, die hier genau dem Radius entspricht. Das Verhältnis - sprich die Größe des Winkels im Bogenmaß – ist also auch gleich eins. Im Bogenmaß ist der Vollwinkel also gleich zwei Pi. Im Gradmaß waren das dreihundertsechzig Grad. Die Hälfte, also einhundertachtzig Grad im Gradmaß, entsprechen somit genau einmal Pi im Bogenmaß. Und nochmal die Hälfte, sprich neunzig Grad, sind „Pi Halbe“ im Bogenmaß. Aufgepasst! Winkel im Gradmaß werden mit dem Gradzeichen gekennzeichnet, da sie in der Einheit Grad gemessen werden. Winkel im Bogenmaß, die in der Einheit Radiant gemessen werden, aber nicht. Es handelt sich um zwei verschiedene Einheiten. Die Einheit Radiant lässt man meistens einfach weg. Aus der mittleren Zeile unserer Tabelle können wir uns eine einfache Formel herleiten, mit der wir zwischen den beiden Maßen umrechnen können. Für die Umwandlung von Grad- ins Bogenmaß lautet diese: „b gleich Alpha mal Pi durch Einhundertachtzig Grad.“ b steht hier für die Winkelgröße im Bogenmaß, Alpha für die Winkelgröße im Gradmaß. Andersherum hilft uns die umgestellte Formel „Alpha gleich b mal einhundertachtzig Grad durch Pi.“ Ein Beispiel: Wir wollen fünfundvierzig Grad ins Bogenmaß umrechnen. Wir setzen den Wert in unsere Formel für Alpha ein und müssen nur noch kürzen. Fünfundvierzig Grad im Gradmaß entsprechen also „Pi Viertel“ im Bogenmaß. Ob wir einen Winkel im Grad- oder Bogenmaß angeben, ist grundsätzlich egal. Wir können zwei Winkelgrößen allerdings nur direkt vergleichen, wenn sie im gleichen Winkelmaß angegeben sind. Darauf müssen wir insbesondere auch achten, wenn wir mit dem Taschenrechner arbeiten. Bei den meisten Taschenrechnern wird hier zwischen den Einstellungen „D-E-G“ – das ist Englisch für degree, also Grad beziehungsweise Gradmaß – und „R-A-D“ unterschieden. Das steht für radian, also Radiant, der Einheit im Bogenmaß. Alles klar, jetzt haben wir den Dreh raus. Zeit für eine Zusammenfassung. Winkelgrößen können wir im Grad- oder Bogenmaß angeben. Hier siehst du die wichtigsten Kennwerte im Vergleich. Diese beiden Formeln helfen uns außerdem, wenn wir von dem einen Maß in das andere umrechnen wollen. Auf dem Taschenrechner ist das Gradmaß meist durch D-E-G und das Bogenmaß durch R-A-D gekennzeichnet. Den hatten die Babylonier nicht zur Hand, wenn sie mit Winkeln am Kreis rechneten. Umso beeindruckender, wozu die Menschen vor so langer Zeit schon fähig waren!

Gradmaß und Bogenmaß – Umrechnung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Gradmaß und Bogenmaß – Umrechnung kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe die Bedeutung des Grad- und des Bogenmaß.

    Tipps

    Grad heißt im Englischen degree.

    $b = \dfrac{\alpha \cdot \pi}{180^\circ}$

    $\alpha = \dfrac{b \cdot 180^\circ}{\pi}$

    Lösung

    Um einen Winkel anzugeben, können wir das Gradmaß oder das Bogenmaß verwenden.

    Wir überprüfen die Aussagen:

    • Grad- und Bogenmaß sind unterschiedliche Einheiten für einen Winkel. Diese Aussage ist richtig.
    • Jeder Winkel kann im Gradmaß und im Bogenmaß angegeben werden. Diese Aussage ist richtig.
    • Das Gradmaß wird in der Einheit $^\circ$ angegeben. Diese Aussage ist richtig.
    • Das Bogenmaß wird in $\text{cm}$ angegeben. Diese Aussage ist falsch. Das Bogenmaß ist keine Länge, sondern eine rationale Zahl.
    • Am Taschenrechner müssen wir beim Rechnen mit dem Gradmaß die Einstellung rad wählen. Diese Aussage ist falsch. Beim Rechnen mit dem Gradmaß wählen wir die Einstellung deg und beim Rechnen mit dem Bogenmaß die Einstellung rad.
  • Gib die Herleitung zur Bestimmung des Vollwinkels im Bogenmaß wieder.

    Tipps

    Ein Winkel im Bogenmaß wird meist mit $b$ abgekürzt, ein Winkel im Gradmaß mit $\alpha$.

    Das Bogenmaß entspricht der Länge des zu einem Winkel gehörenden Kreisbogens am Einheitskreis.

    Lösung

    Um die Größe des Vollwinkels $360^\circ$ im Bogenmaß herzuleiten, verwenden wir den Einheitskreis:

    Ein Einheitskreis ist ein Kreis mit dem Radius $r=1$.

    Der Umfang eines Kreises kann mit der Formel $U=2\pi r$ bestimmt werden.

    Im Einheitskreis ist der Umfang somit $U=2 \pi \cdot 1 = 2 \pi$. Dies entspricht der Größe des Vollwinkels im Bogenmaß. Wir schreiben: $b=2\pi$

    Allgemein teilen wir zur Bestimmung des Bogenmaßes den Umfang durch den Radius.
    Da $\frac{U}{r} = \frac{2 \pi r}{r} = 2 \pi$ gilt, gilt dies auch allgemein.

    Für den Vollwinkel gilt also:
    Gradmaß: $\alpha = 360^\circ$ $\quad$ Bogenmaß: $b=2\pi$

  • Bestimme für jeden Winkel die Angabe im Grad- und im Bogenmaß.

    Tipps

    Du kannst entweder die Winkel im Gradmaß ins Bogenmaß umwandeln oder umgekehrt.

    Um einen Winkel vom Gradmaß $\alpha$ ins Bogenmaß $b$ umzuwandeln, verwenden wir folgende Formel:

    $b = \frac{\alpha \cdot \pi}{180^\circ}$

    Der Winkel $360^\circ$ entspricht im Bogenmaß $2\pi$.

    Lösung

    Um einen Winkel vom Gradmaß $\alpha$ ins Bogenmaß $b$ umzuwandeln, verwenden wir folgende Formel:

    $b = \frac{\alpha \cdot \pi}{180^\circ}$

    Wir können somit die gegebenen Winkel umwandeln:

    • Winkel $\alpha=20^\circ$: $b = \frac{20^\circ \cdot \pi}{180^\circ} = \frac{\pi}{9}$

    • Winkel $\alpha=60^\circ$: $b = \frac{60^\circ \cdot \pi}{180^\circ} = \frac{\pi}{3}$

    • Winkel $\alpha=160^\circ$: $b = \frac{160^\circ \cdot \pi}{180^\circ} = \frac{8}{9} \pi$

    • Winkel $\alpha=67,5^\circ$: $b = \frac{67,5^\circ \cdot \pi}{180^\circ} = \frac{3}{8} \pi$

    • Winkel $\alpha=36^\circ$: $b = \frac{36^\circ \cdot \pi}{180^\circ} = \frac{\pi}{5}$
  • Ermittle die fehlenden Winkelangaben.

    Tipps

    Um einen Winkel vom Bogenmaß $b$ ins Gradmaß $\alpha$ umzuwandeln, verwenden wir folgende Formel:

    $\alpha = \dfrac{b \cdot 180^\circ}{\pi}$

    $b = \dfrac{\alpha \cdot \pi}{180^\circ}$

    Lösung

    Winkel können wir im Gradmaß oder im Bogenmaß angeben.

    Um einen Winkel vom Gradmaß $\alpha$ ins Bogenmaß $b$ umzuwandeln, verwenden wir folgende Formel:

    $b = \dfrac{\alpha \cdot \pi}{180^\circ}$

    Wir können somit die gegebenen Winkel umwandeln:
    $b = \frac{270^\circ \cdot \pi}{180^\circ} = \frac{3}{2} \pi = 1,5 \pi$
    $b = \frac{108^\circ \cdot \pi}{180^\circ} = \frac{3}{5} \pi = 0,6 \pi$

    Um einen Winkel vom Bogenmaß $b$ ins Gradmaß $\alpha$ umzuwandeln, verwenden wir folgende Formel:

    $\alpha = \dfrac{b \cdot 180^\circ}{\pi}$

    Wir können somit die gegebenen Winkel umwandeln:
    $\alpha = \frac{0,75 \pi \cdot 180^\circ}{\pi} = 135^\circ$
    $\alpha = \frac{5 \pi \cdot 180^\circ}{\pi} = 900^\circ$

  • Vervollständige die Tabelle zu den wichtigsten Winkeln im Grad- und Bogenmaß.

    Tipps

    Eine Angabe im Gradmaß trägt immer die Einheit $^\circ$.

    Der Winkel $\alpha=45^\circ$ beträgt im Bogenmaß $b=\frac{\pi}{4}$.

    Lösung

    Wir können einen Winkel immer im Gradmaß oder im Bogenmaß angeben.

    Der Vollwinkel:
    Da im Einheitskreis der Umfang $2 \pi$ beträgt, entspricht der Vollwinkel $360^\circ$ im Bogenmaß $2 \pi$.

    Der gestreckte Winkel:
    Da $180^\circ$ die Hälfte des Vollwinkels ist, beträgt das zugehörige Bogenmaß $\pi$.

    Der rechte Winkel:
    Halbieren wir den gestreckten Winkel noch einmal, so erhalten wir im Gradmaß den $90^\circ$-Winkel, welcher im Bogenmaß $\frac{\pi}{2}$ entspricht.

  • Stelle die Winkelangaben der Größe nach geordnet dar.

    Tipps

    Wandle zunächst alle Winkel ins Gradmaß oder alle Winkel ins Bogenmaß um.

    Achtung: Jede Angabe ohne das Gradzeichen, ist ein Winkel im Bogenmaß, so zum Beispiel auch $b=45$. Jede Angabe mit Gradzeichen ist hingegen ein Winkel im Gradmaß, so zum Beispiel auch $\alpha = \pi^\circ$.

    $b = \dfrac{\alpha \cdot \pi}{180^\circ}$

    $\alpha = \dfrac{b \cdot 180^\circ}{\pi}$

    Lösung

    Winkel können wir im Gradmaß oder im Bogenmaß angeben. Um die Winkel sortieren zu können, wandeln wir sie alle ins Gradmaß um.

    Hinweis: Wir könnten auch alle Winkel ins Bogenmaß umwandeln.

    Um einen Winkel vom Bogenmaß $b$ ins Gradmaß $\alpha$ umzuwandeln, verwenden wir folgende Formel:

    $\alpha = \dfrac{b \cdot 180^\circ}{\pi}$

    Wir können somit die im Bogenmaß gegebenen Winkel umwandeln:
    $\alpha = \frac{\frac{5}{36} \pi \cdot 180^\circ}{\pi} = 25^\circ$
    $\alpha = \frac{\frac{11}{45} \pi \cdot 180^\circ}{\pi} = 44^\circ$
    $\alpha = \frac{\frac{\pi}{5} \cdot 180^\circ}{\pi} = 36^\circ$
    $\alpha = \frac{45 \cdot 180^\circ}{\pi} \approx 2578,3^\circ$

    Hinweis: Jede Angabe ohne das Gradzeichen, ist ein Winkel im Bogenmaß, so zum Beispiel auch $b=45$. Jede Angabe mit Gradzeichen ist hingegen ein Winkel im Gradmaß, so zum Beispiel auch $\alpha = \pi^\circ$. Hierfür gilt: $\alpha = \pi^\circ \approx 3,14^\circ$.

    Wir können nun die Winkel der Größe nach sortieren:

    $3,14^\circ < 15^\circ < 18^\circ < 25^\circ < 36^\circ < 40^\circ < 44^\circ < 2578,3^\circ$

    bzw.

    $\pi^\circ < 15^\circ < 18^\circ < \frac{5}{36} \pi < \frac{\pi}{5} < 40^\circ < \frac{11}{45} \pi < 45$

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