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Exponentialfunktion – Definition und Erklärung

Exponentialfunktionen zeigen exponentielles Wachstum, zum Beispiel das Verdoppeln einer Fläche in gleichen Schritten. Die Variable $x$ steht im Exponenten. Erfahre, wie man eine Exponentialfunktion darstellt und ihren Graphen zeichnet. Interessiert? Das und vieles mehr findest du im folgenden Text!

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Exponentialfunktion – Definition und Erklärung
lernst du in der Sekundarstufe 3. Klasse - 4. Klasse

Beschreibung zum Video Exponentialfunktion – Definition und Erklärung

Du kennst lineare Funktionen und quadratische Funktionen – aber weißt du auch, was eine Exponentialfunktion ist? Solche Funktionen sind unter anderem wichtig, um viele Wachstumsprozesse zu beschreiben.

In diesem Video werden wir die Exponentialfunktion und ihre Definition kennenlernen. Wir lernen, wie man eine Wertetabelle und den Graphen der Exponentialfunktion erstellt. Mit diesem Wissen haben wir alle Werkzeuge, um beliebige Exponentialfunktionen auszuwerten.

Grundlagen zum Thema Exponentialfunktion – Definition und Erklärung

Exponentialfunktion – Definition

Das Besondere bei Exponentialfunktionen ist, dass die unabhängige Größe, die Variable (meist $x$), im Exponenten einer Potenz steht. Ein typisches Beispiel ist die folgende Exponentialfunktion mit der Basis $2$:

$f(x)=2^x$

Eine Exponentialfunktion ist eine Funktion, bei der die Variable im Exponenten einer Potenz steht.

Die allgemeine Form $f_a(x)$ einer Exponentialfunktion lautet:

$f_a(x)=c \cdot a^x$

Dabei gilt:

  • $a^x$ ist eine Potenz.
  • $x$ ist die Variable der Funktion. Sie steht im Exponenten der Potenz.
  • $a \in \mathbb{R}$ ist die Basis der Potenz.
  • $c \in \mathbb{R}$ ist eine Konstante.

Bei dem Beispiel $f(x) = 2^x$ haben wir also die Variable $x$, die Basis $2$ und die Konstante $1$.

Exponentialfunktionen spielen vor allem bei Wachstumsprozessen eine große Rolle. Wenn ein Bestand in gleichen Perioden immer um einen bestimmten Faktor wächst, liegt exponentielles Wachstum vor.
Bei der Exponentialfunktion $f(x) = 2^x$ wäre das der Faktor $2$. Es gilt:

$f(1) = 2^1 = 2$

$f(2) = 2^2 = 2 \cdot 2$

$f(3) = 2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \qquad$ usw.

Bei einem solchen Wachstumsprozess ergibt sich der Anfangswert bei $x = 0$ aus der Konstante $c$, denn für jede Basis $a \in \mathbb{R}$ gilt:

$a^0 = 1 \qquad$ und damit $\qquad f_a(0)=c \cdot a^0 = c \cdot 1 = c$

Ist $c = 1$ (wie bei unserer Beispielfunktion), ist also auch $f(0) = 1$:

$f(0) = 2^0 = 1$

Man kann zum Beispiel das Wachstum von Rost auf einer Metallfläche mit einer solchen Exponentialfunktion beschreiben:
Anfänglich deckt der Rost eine Fläche von $1~\text{cm}^2$ ab. Jede Stunde verdoppelt sich diese Fläche.
Die gleichen Perioden, also die gleichbleibenden Zeitschritte, die wir betrachten, sind hier eine Stunde lang. Der Faktor des Wachstums beträgt $2$, denn die gewachsene Rostfläche verdoppelt sich nach jeder Stunde $x$.

Die Exponentialfunktion, die dieses Wachstum beschreibt, ist wieder unsere Beispielfunktion, wobei wir streng genommen jetzt mit Einheiten rechnen müssen:

$f(x~\text{Stunden}) = 1~{\text{cm}}^2 \cdot 2^{x~\text{Stunden}}$

Damit können wir nun die verrostete Fläche nach einer beliebigen Anzahl an Stunden berechnen. Bei der Berechnung der Werte ist es natürlich einfacher, die Einheiten erstmal wegzulassen und im Nachhinein wieder zu ergänzen.
Sehen wir uns den Verlauf des Wachstums in einem Diagramm an:

Graph einer Exponentialfunktion

Hier sehen wir, dass auch negative Werte für $x$ möglich sind. Wir können also auch sehen, wie das Wachstums des Rostes verlaufen sein muss, bevor eine Rostfläche von $1~\text{cm}^2$ an dem von uns gewählten Startpunkt $\left( 0~\text{Stunden} \right)$ erreicht wurde. Hierfür solltest du die Rechenregel für Potenzen mit negativem Exponenten kennen:

$a^{-x} = \dfrac{1}{a^x}$

Bei unserer Wachstumsfunktion gilt also beispielsweise für den Wert $x = -2$:

$f(-2) = 2^{-2} = \dfrac{1}{2^2} = \dfrac{1}{4} = 0{,}25$

Auch der $y$-Wert einer Exponentialfunktion kann negativ sein. Dafür müsste aber die Konstante $c$ vor der Potenz negativ sein – das ist in unserer Beispielfunktion nicht der Fall.

Exponentielles Wachstum und Zerfall

Neben dem Wachstum bzw. der Zunahme von Rost auf einer Metalloberfläche gibt es noch viele weitere Beispiele für exponentielles Wachstum. Auch der umgekehrte Vorgang, exponentieller Zerfall, ist möglich. Ein Zerfall wird üblicherweise durch eine Exponentialfunktion mit einem negativen Exponenten beschrieben.

Folgende Beispiele für Wachstums- und Zerfallsprozesse können mit Exponentialfunktionen beschrieben werden:

  • Wenn du Geld anlegst, erhältst du von der Bank Zinsen. Das angelegte Geld nimmt exponentiell zu, solange du kein Geld abhebst. Wie viel Geld dabei herauskommt, berechnest du mit der Zinsrechnung. Die Vermehrung von Ersparnissen auf dem Bankkonto ist also ein exponentieller Wachstumsprozess.
  • Ebenso ist die Vermehrung von Bakterien ein exponentieller Wachstumsprozess. In einer Bakterienkultur vermehren sich die Bakterien normalerweise durch Zellteilung. Das heißt, jedes Bakterium verdoppelt sich, wobei sich die neuen Bakterien wiederum verdoppeln und so weiter. Ein solches Wachstum lässt sich exponentiell beschreiben.
  • Der Milchschaum auf einem Latte Macchiato oder die Schaumkrone auf einem Bier stellen einen exponentiellen Zerfallsprozess dar – sie zerfallen exponentiell.
  • Auch der Zerfall von radioaktiven Nukliden bzw. Substanzen ist exponentiell. Dieser Zerfall kann mitunter sehr, sehr lange dauern.

Um solche Prozesse zu beschreiben, verwendet man Exponentialfunktionen. Wir haben in der obigen Abbildung gesehen, dass der Graph einer Exponentialfunktion einerseits sehr steil ansteigt, andererseits aber in einem gewissen Bereich ziemlich flach verläuft. Exponentielles Wachstum (bzw. Zerfall) muss also nicht immer schnell sein. Je nachdem, in welchem Bereich der Wachstums- bzw. Zerfallskurve man sich gerade befindet, kann es auch mal sehr langsam gehen.
Deswegen tut sich auf deinem Bankkonto erst mal nicht recht viel, wenn du nur einen geringen Betrag anlegst – erst nach vielen Jahren des Sparens nimmt das Wachstum dann langsam Fahrt auf. Wenn du also geduldig bleibst, kommt am Ende doch ganz schön was zusammen, selbst wenn du ganz klein anfängst.

Exponentialfunktion – Eigenschaften

Betrachten wir die Exponentialfunktion in ihrer allgemeinen Form:

$f_a(x)=c \cdot a^x$

Es gilt $a \in \mathbb{R}$ und $c \in \mathbb{R}$.

Wenn die Konstante $c$ gleich $1$ ist, vereinfacht sich die Exponentialfunktion zu:

$f_{c=1}(x)=a^x$

Ist hingegen $c$ gleich $0$, erhalten wir:

$f_{c=0}(x)=0 \cdot a^x = 0$

Dieser Fall ist also nicht als Exponentialfunktion zu betrachten, genauso wenig wie die Fälle für $a =0$ und $a = 1$, denn dann handelt es sich jeweils um eine konstante Funktion:

$f_{a=0}(x)=c \cdot 0^x = c \cdot 0 = 0$

$f_{a=1}(x)=c \cdot 1^x = c \cdot 1 = c$

Für alle anderen Werte $a \in \mathbb{R}$ und $c \in \mathbb{R}$ erhalten wir Exponentialfunktionen. Dabei sind einige Zusammenhänge zu beachten, die wir uns im Folgenden genauer ansehen.

Definitions- und Wertemenge

In eine Exponentialfunktion der allgemeinen Form $f_a(x)=c \cdot a^x$ können wir jede beliebige reelle Zahl für $x$ einsetzen und erhalten immer einen positiven Funktionswert, solange $c$ positiv ist. Es gilt also:

  • Die Definitionsmenge einer Exponentialfunktion der allgemeinen Form ist $D = \mathbb{R}$.
  • Die Wertemenge einer Exponentialfunktion der allgemeinen Form ist
    $W = \mathbb{R}^+$ für $c >0 \qquad$ bzw. $\qquad W = \mathbb{R}^-$ für $c < 0$.

Für die Werte $-\infty < x < \infty$ können also alle Funktionswerte der Mengen $\mathbb{R}^+$ oder $\mathbb{R}^-$ angenommen werden, jedoch nicht der Funktionswert $0$.

Monotonie

Hinsichtlich der Monotonie – also des Verlaufs der Steigung des Funktionsgraphen einer Exponentialfunktion – ist Folgendes zu beachten:

  • Ist $c > 0$ und $a > 1$, verläuft der Graph der Exponentialfunktion streng monoton steigend und liegt im 1. und 2. Quadranten des Koordinatensystems.
  • Ist $c > 0$, aber $0 < a < 1$, verläuft der Graph der Exponentialfunktion streng monoton fallend im 1. und 2. Quadranten des Koordinatensystems.
  • Ist $c < 0$ und $a > 1$, verläuft der Graph der Exponentialfunktion ebenfalls streng monoton fallend, liegt allerdings im 3. und 4. Quadranten – also im Bereich negativer $y$-Werte.
  • Ist $c < 0$, aber $0 < a < 1$, verläuft der Graph der Exponentialfunktion streng monoton steigend im 3. und 4. Quadranten.

Um einen Zerfall mit einer streng monoton fallenden Exponentialfunktion darzustellen, wird also nicht zwingend ein negativer Exponent benötigt – das geht nämlich auch mit einer Basis $a$, die zwischen $0$ und $1$ liegt (wenn $c > 0$ ist).
Ausgehend von unserer Beispielfunktion $f(x) = 2^x$ können wir die Basis $2$ durch den Wert $0{,}5$ ersetzen und erhalten:

$j(x) = {0{,}5}^x = {\left(\dfrac{1}{2}\right)}^x = \dfrac{1^x}{2^x} = \dfrac{1}{\,2^x} = 2^{-x}$

Die Funktion $j(x) = {0{,}5}^x$ entspricht also genau der Funktion $f(-x) = 2^{-x}$ mit negativem Exponenten. Dabei ist die Basis der Exponentialfunktion $j(x) = {0{,}5}^x$ genau der Kehrwert der Basis von $f(x) = 2^x$ bzw. $f(-x) = 2^{-x}$.

Grenzwerte

Mit den Betrachtungen der Monotonie können wir auch nachvollziehen, an welche Funktionswerte sich der Graph einer Exponentialfunktion hinsichtlich der Grenzen des Definitionsbereichs für $x \longrightarrow -\infty$ bzw. $x \longrightarrow \infty$ annähert.

  • Ist $c > 0$ und $a > 1$, liegen die Grenzwerte der Exponentialfunktion bei
    $f_a(x \longrightarrow -\infty) = 0 \qquad$ und $\qquad f_a(x \longrightarrow -\infty) = \infty$.
    Eine solche Exponentialfunktion nähert sich für immer kleinere $x$ der waagerechten Asymptote $y=0$ an (also der $x$-Achse) und wächst für immer größere $x$ ins (positiv) Unendliche. Das haben wir in der Abbildung unserer Beispielfunktion $f(x)$ auch schon gesehen.

  • Ist $c > 0$, aber $0 < a < 1$, liegen die Grenzwerte der Exponentialfunktion bei
    $f_a(x \longrightarrow -\infty) = \infty \qquad$ und $\qquad f_a(x \longrightarrow -\infty) = 0$.
    Eine solche Exponentialfunktion kommt also für kleine $x$ aus dem (positiv) Unendlichen und nähert sich für immer größere $x$ der waagerechten Asymptote $y=0$ an (also der $x$-Achse). Der Verlauf stellt im Vergleich zum vorherigen Fall eine Spiegelung an der $y$-Achse dar.

  • Ist $c < 0$ und $a > 1$, liegen die Grenzwerte der Exponentialfunktion bei
    $f_a(x \longrightarrow -\infty) = 0 \qquad$ und $\qquad f_a(x \longrightarrow -\infty) = -\infty$.
    Eine solche Exponentialfunktion nähert sich für immer kleinere $x$ der waagerechten Asymptote $y=0$ an (also der $x$-Achse) und fällt für immer größere $x$ ins negativ Unendliche. Dieser Verlauf stellt im Vergleich zum ersten Fall eine Spiegelung an der $x$-Achse dar.

  • Ist $c < 0$, aber $0 < a < 1$, liegen die Grenzwerte der Exponentialfunktion bei
    $f_a(x \longrightarrow -\infty) = -\infty \qquad$ und $\qquad f_a(x \longrightarrow -\infty) = 0$.
    Eine solche Exponentialfunktion kommt also für kleine $x$ aus dem negativ Unendlichen und nähert sich für immer größere $x$ der waagerechten Asymptote $y=0$ an (also der $x$-Achse). Der Verlauf stellt im Vergleich zum vorherigen Fall eine Spiegelung an der $y$-Achse dar und im Vergleich zum ersten Fall eine Punktspiegelung am Koordinatenursprung.

Hinsichtlich der Definitions- und Wertemenge, der Monotonie und den Grenzwerten sind außerdem folgende Besonderheiten von Exponentialfunktionen zu beachten:

  • Eine Exponentialfunktion der allgemeinen Form $f_a(x)=c \cdot a^x$ hat keine Nullstelle.
  • In der allgemeinen Form ist die $x$-Achse immer eine waagerechte Asymptote, an die sich die Exponentialfunktion entweder für unendlich kleine oder unendlich große $x$-Werte annähert.
  • Eine Exponentialfunktion der allgemeinen Form schneidet die $y$-Achse immer im Punkt $\left( 0 \vert c \right)$. Ist $c=1$, liegt der Schnittpunkt entsprechend bei $\left( 0 \vert 1 \right)$.

Damit haben wir einen guten Überblick über die Eigenschaften von Exponentialfunktionen und deren Funktionsgraphen in Abhängigkeit der Parameter $c$ und $a$.

Natürliche Exponentialfunktion

Eine besondere (und ganz besonders wichtige) Exponentialfunktion ist die Exponentialfunktion mit der Basis $e\approx2,71828$, der Euler’schen Zahl:

$f_e(x) = e^x$

Diese Exponentialfunktion mit der Basis $e$, die wir hier $f_e(x)$ genannt haben, heißt auch natürliche Exponentialfunktion.
Manchmal wird der Begriff Exponentialfunktion auch als Synonym für speziell diese eine Exponentialfunktion bzw. für den Term $e^x$ verwendet. Oft spricht man auch einfach von der $e$-Funktion.

Man kann jede beliebige Exponentialfunktion mit der Basis $a$ in eine natürliche Exponentialfunktion mit der Basis $e$ umwandeln. Dazu wird der natürliche Logarithmus $\ln(x)$ benötigt. Dieser ist gleichbedeutend mit $\log_e(x)$, also dem Logarithmus von $x$ zur Basis $e$. Der natürliche Logarithmus stellt die Umkehrfunktion der natürlichen Exponentialfunktion dar.
Es gilt also: $e^{\ln(x)}=x$

Damit können wir rechnen:
$f_a(x)=c \cdot a^x= c \cdot e^{\ln(a^x)}$

Nun wenden wir eine Rechenregel an, die für alle Logarithmen (unabhängig von der Basis) gilt: $\log(p^{q})=q \cdot \log(p)$

So erhalten wir:
$f_a(x)=c \cdot e^{\ln(a^x)}= c \cdot e^{x \cdot \ln(a)}$

Letztendlich ist $\ln(a)$ nichts weiter als ein konstanter Faktor, mit dem die Variable $x$ im Exponenten der $e$-Funktion multipliziert wird.
Damit haben wir eine beliebige Exponentialfunktion $f_a(x)$ n eine natürliche Exponentialfunktion umgewandelt.

Exponentialfunktion – Parameter und Funktionsgraph

Etwas allgemeiner können wir eine natürliche Exponentialfunktion so formulieren:

$f_{ea}(x)=c \cdot e^{k \cdot x}$

Der konstante Faktor $\ln(a)$, den wir aus der allgemeinen Form der Exponentialfunktion eben herausgearbeitet haben, wird hier einfach $k$ genannt. Des Weiteren gilt:

  • $x$ ist die Variable. Sie steht im Exponenten der Potenz. Häufig wird für $x$ eine Zeit eingesetzt (und statt $x$ die Variable $t$ für time verwendet).
  • $e$ ist die Euler’sche Zahl und die Basis der Potenz.
  • $c$ und $k$ sind Parameter, also konstante Faktoren, für die beliebige reelle Zahlen gewählt werden können. In Bezug auf Wachstums- und Zerfallsprozesse unter Beachtung des Zerfallgesetzes ist $c$ der Anfangswert des Prozesses, der für $x=0~\left(\text{bzw.}~t=0 \right)$ angenommen wird und $k$ die sogenannte Wachstumskonstante, die sich vom Wachstumsfaktor $a$ ableitet $\left( k = \ln{a} \right)$.

Für die Eigenschaften einer natürlichen Exponentialfunktion gelten nun ganz ähnliche Zusammenhänge, wie wir sie auch schon bei der allgemeinen Form der Exponentialfunktion gesehen haben. Allerdings haben wir nun einen zusätzlichen Parameter, nämlich $k$.

Betrachten wir zunächst die folgende Funktion:

$f_1(x)= 1 \cdot e^{1 \cdot x} = e^x$

Hier ist also $c=1$ und $k=1$. Der Funktionsgraph dieser Funktion sieht so aus:

Graph der natürlichen Exponentialfunktion

Sieht ganz ähnlich aus wie der Graph unserer ersten Beispielfunktion $f(x)=2^x$, nicht wahr?
Das ist kein Wunder, schließlich ist der Unterschied zwischen der Basis $e\approx2,71828$ von $f_1(x) = e^x$ und der Basis $a=2$ von $f(x)=2^x$ nicht allzu groß.

Da auch hier die Konstante $c=1$ ist, schneidet auch dieser Funktionsgraph die $y$-Achse bei $y=1$. Außerdem gilt $f_1(1) = e\approx2,71828$ und es gibt keine Nullstelle.

Da die Basis $e$ größer als $1$ ist und hier die Parameter $c$ und $k$ beide positiv sind, gelten außerdem folgende Punkte:

  • Die natürliche Exponentialfunktion ist für alle reellen Werte von $x$ definiert $\left( D = \mathbb{R} \right)$ und nimmt ausschließlich positive Funktionswerte an $\left( W = \mathbb{R}^+ \right)$.
  • Der Funktionsgraph ist streng monoton steigend und liegt im 1. und 2. Quadranten des Koordinatensystems.
  • Für $x \longrightarrow -\infty$ nähert sich der Funktionsgraph der $x$-Achse an. Diese stellt also eine waagerechte Asymptote dar und es gilt der Grenzwert $f_1(x \longrightarrow -\infty) = 0$ für immer kleiner werdende $x$.
    Für $x \longrightarrow \infty$ wächst der Funktionsgraph ins (positiv) Unendliche, nähert sich also dem Grenzwert $f_1(x \longrightarrow \infty) = \infty$ für immer größere $x$ an.

Diese Punkte gelten für alle Parameter $c>0$ und $k>0$. Je größer $c$ und $k$ sind, desto steiler steigt die Kurve der Exponentialfunktion. Dabei wirkt sich ein größerer oder kleiner Wert des Parameters $k$ deutlich stärker aus als eine entsprechende Veränderung des Parameters $c$.

Schauen wir uns aber noch einige andere Möglichkeiten an:

  • Bei $f_{-1}(x)=e^{-x}$ mit $c=1$ und $k=-1$ wird der Graph an der $y$-Achse gespiegelt, er verläuft also streng monoton fallend. Die übrigen Eigenschaften bleiben erhalten. Durch den negativen Wert von $k$ haben wir nun einen negativen Exponenten. Das haben wir in Zusammenhang mit dem exponentiellen Zerfall weiter oben schon besprochen.
  • Bei $j_1(x)=-e^{x}$ mit $c=-1$ und $k=1$ wird der Graph an der $x$-Achse gespiegelt. Er verläuft dann streng monoton fallend und liegt komplett unterhalb der $x$-Achse, also im 3. und 4. Quadranten des Koordinatensystems. Auch diesen Fall haben wir weiter oben schon besprochen. Andere positive Werte für $k$ ändern an diesem Zusammenhang nichts.
  • Bei $j_{-1}(x)=-e^{-x}$ mit $c=-1$ und $k=-1$ ist der Graph im Vergleich zu $f_1(x)$ sowohl an der $x$-Achse als auch an der $y$-Achse gespiegelt. Es handelt sich damit um eine Punktspiegelung am Koordinatenursprung. Der Graph ist streng monoton steigend, liegt im 3. und 4. Quadranten komplett unterhalb der $x$-Achse und schneidet die $y$-Achse bei $c=-1$.

Ein negativer Wert des Parameters $k$ wirkt sich also ganz ähnlich aus wie ein Wert zwischen $0$ und $1$ der allgemeinen Basis $a$. Dieser Zusammenhang ergibt sich aus einer Rechenregel für den Logarithmus, die wir beim Umrechnen von allgemeinen Exponentialfunktionen in natürliche Exponentialfunktionen anwenden können. Wie bereits gesehen, gilt: $k = \ln(a)$

Ist $k$ negativ, gilt entsprechend: $-k = -\ln(a)$
Außerdem gilt: $\ln(1)=0$
Damit lässt sich umschreiben: $-k = -\ln(a) = \ln(1) - \ln(a)$

Jetzt wenden wir die entscheidende Rechenregel an: $\ln(1) - \ln(a) = \ln\left(\frac{1}{a} \right)$
Es gilt also letztendlich: $-k = \ln\left(\frac{1}{a} \right)$

Gehen wir von dem ursprünglichen Fall aus, dass $k>0$ und $a>1$ ist, haben wir somit einen direkten Zusammenhang zwischen einem entsprechend negativen $k$ (also $-k$) und einem Bruch $\frac{1}{a}$ hergeleitet, der den Kehrwert der allgemeinen Basis $a$ darstellt und folglich kleiner als $1$ ist.

Exponentialfunktion – Formel

Die Exponentialfunktion in ihrer allgemeinen Form können wir als Formel für einen Wachstumsprozess ansehen:

Formel für exponentielles Wachstum:

$A_a(x) = A_0 \cdot a^x \quad$ für $\quad A_0 > 0 \quad$ und $\quad a > 1$

$A_0$: Anfangswert zum Startpunkt $x=0$
$a$: Wachstumsfaktor

Auch einen Zerfallsprozess können wir mit geeigneten Werten für $a$ abbilden:

Formel für exponentiellen Zerfall:

$A_a(x) = A_0 \cdot {\left( \dfrac{1}{a} \right)}^x \quad$ für $\quad A_0 > 0 \quad$ und $\quad a >1$
bzw.
$A_a(x) = A_0 \cdot a^x \quad$ für $\quad A_0 > 0 \quad$ und $\quad 0 < a < 1$

$A_0$: Anfangswert zum Startpunkt $x=0$
$a$: Wachstumsfaktor

Gleiches können wir mit natürlichen Exponentialfunktionen und geeigneten Parametern schreiben:

Formel für exponentielles Wachstum:

$A_e(x) = A_0 \cdot e^{k \cdot x} \quad$ für $\quad A_0 > 0 \quad$ und $\quad k > 0$

Formel für exponentiellen Zerfall:

$A_e(x) = A_0 \cdot e^{-k \cdot x} \quad$ für $\quad A_0 > 0 \quad$ und $\quad k > 0$
bzw.
$A_e(x) = A_0 \cdot e^{k \cdot x} \quad$ für $\quad A_0 > 0 \quad$ und $\quad k < 0$

$A_0$: Anfangswert zum Startpunkt $x=0$
$k$: Wachstumskonstante

Exponentialfunktion ableiten

Beim Ableiten einer Exponentialfunktion in der allgemeinen Form gilt folgende Ableitungsregel:

$f_a(x) = c \cdot a^x$

$f^\prime_a(x) = c \cdot a^x \cdot \ln(a)$

Der Faktor $\ln(a)$ ergibt sich durch das Nachdifferenzieren der Basis $a$ der Potenz $a^x$. Für unsere Beispielfunktion $f(x) = 2^x$ sähe die erste Ableitung $f^\prime(x)$ demnach folgendermaßen aus:

$f(x) = 2^x$

$f^\prime(x) = 2^x \cdot \ln(2)$

Bei der natürlichen Exponentialfunktion $f_e(x) = e^x$ wird die Ableitung dann ganz einfach, wenn wir berücksichtigen, dass $\ln(e) = 1$ gilt:

$f_e(x) = e^x$

$f^\prime_e(x) = e^x \cdot \ln(e) = e^x \cdot 1 = e^x$

Die Ableitung der $e$-Funktion ist also einfach wieder $e^x$.

Exponentialfunktion der Form $f(x) = a^x$

Wenn es keinen Faktor $c$ vor der Potenz gibt, können wir eine Exponentialfunktion einfach Ableiten, indem wir die Basis nachdifferenzieren.

Beispiel:
$f(x) = 2^x$
$f^\prime(x) = 2^x \cdot \ln(2)$

Exponentialfunktion der Form $f(x) = c \cdot a^x$

Wenn es einen Faktor $c$ gibt, wird dieser beim Ableiten einfach mitgenommen und die Basis der Potenz nachdifferenziert.

Beispiel:
$h(x) = -\dfrac{1}{2} \cdot 2^x$
$h^\prime(x) = -\dfrac{1}{2} \cdot 2^x \cdot \ln(2) = -\dfrac{\ln(2)}{2} \cdot 2^x$

Exponentialfunktion der Form $f(x) = c \cdot a^{g(x)}$

Bei komplexeren Exponentialfunktionen, bei denen nicht nur die Variable $x$, sondern eine Funktion von $x$ im Exponenten steht, ist das Nachdifferenzieren etwas komplizierter. Zusätzlich zur Basis der Potenz muss auch die gesamte Funktion $g(x)$ im Exponenten nachdifferenziert werden:

$f_a(x) = c \cdot a^{g(x)}$

$f^\prime_a(x) = c \cdot a^{g(x)} \cdot \ln(a) \cdot g^\prime(x)$

Beispiel:
$l(x) = -\dfrac{1}{2} \cdot 2^{2x^2}$
$l^\prime(x) = -\dfrac{1}{2} \cdot 2^{2x^2} \cdot \ln(2) \cdot \left( 2x^2 \right)^\prime = -\dfrac{\ln(2)}{2} \cdot 2^x \cdot 2 \cdot 2x = -2x \cdot \ln(2) \cdot 2^x$

Exponentialfunktion – Beispiel

Kommen wir wieder zu unserem Beispiel vom Anfang: dem Wachstum des Rostflecks auf der Metalloberfläche. Dieses Wachstum haben wir mit einer Exponentialfunktion dargestellt:

$f(x~\text{Stunden}) = 1~\text{cm}^2 \cdot 2^{x~\text{Stunden}}$

Um zu verstehen, was hier genau passiert, können wir mit dieser Funktion genauso umgehen, wie mit anderen bekannten Funktionen: Wir setzen ein paar Werte ein und erstellen eine Wertetabelle. Hierfür lassen wir erstmal die Einheiten weg und berechnen zu bestimmten Werten für $x$ die Funktionswerte:

  • $f(0)=2^0=1$
  • $f(1)=2^1=2$
  • $f(2)=2^2=4$
  • $f(3)=2^3=8$

Nun können wir auch einige Werte in negative $x$-Richtung berechnen:

  • $f(-1)=2^{-1}=\dfrac{1}{2^1}=\dfrac{1}{2}=0{,}5$
  • $f(-2)=2^{-2}=\dfrac{1}{2^2}=\dfrac{1}{4}=0{,}25$
  • $f(-3)=2^{-3}=\dfrac{1}{2^3}=\dfrac{1}{8}=0{,}125$

Diese Wertepaare $\left( x \vert f(x) \right)$ können wir in ein Koordinatensystem übertragen. So erhalten wir den Graphen der Funktion, der weiter oben schon in einer Abbildung dargestellt war.
Aus den verschiedenen Bereichen des Graphen können wir einige Informationen ableiten:

  • Das Wachstum, also die Zunahme des Rostes, fing sehr langsam an. Es dauerte viele Stunden, bis der Rostfleck von einer verschwindend kleinen Größe (bei $-10$ Stunden) zu einer Größe von $1~\text{cm}^2$, also in etwa der Fläche eines Fingernagels, angewachsen ist.
  • Ab der Größe $1~\text{cm}^2$, die uns zum Zeitpunkt $x=0$ erstmals aufgefallen ist und damit für uns den Startpunkt des Wachstums darstellt, verlief das Wachstum des Rostes deutlich schneller, was an der zunehmenden Steigung der Kurve zu erkennen ist.
  • Bereits $3$ Stunden nach unserem Startpunkt wird der Rostfleck bereits auf $8~\text{cm}^2$, also das Achtfache der Größe zum Zeitpunkt $x=0$, angewachsen sein.

Der Rost wird nun ziemlich schnell ins positiv Unendliche steigen. Allerdings kann in der Realität natürlich nicht unendlich viel Rost entstehen, sondern nur so viel, wie Metall vorhanden ist. Und natürlich hat das Rosten auch nicht schon im negativ Unendlichen angefangen (also nicht beim Anbeginn aller Zeiten), sondern frühestens als das Metall verarbeitet und verbaut wurde.
Das zeigt, dass mathematische Formeln für Wachstumsprozesse immer nur Näherungen sind, mit denen in der Realität ablaufende Prozesse näherungsweise beschrieben werden können.

Exponentialfunktion – Wertetabelle

Hier haben wir die zuvor berechneten Werte unserer Beispielfunktion noch einmal in Form einer Wertetabelle aufgeschrieben.

$x$ $2^x$ $f(x)$
$-3$ $2^{-3}=\dfrac{1}{2^3}$ $\dfrac{1}{8}=0{,}125$
$-2$ $2^{-2}=\dfrac{1}{2^2}$ $\dfrac{1}{4}=0{,}25$
$-1$ $2^{-1}=\dfrac{1}{2^1}$ $\dfrac{1}{2}=0{,}5$
$0$ $2^{0}$ $1$
$1$ $2^{1}$ $2$
$1$ $2^{2}$ $4$
$1$ $2^{3}$ $8$

Zusammenfassung der Exponentialfunktion

  • Eine Exponentialfunktion ist eine Funktion, bei der die Variable $\left( x\right)$ im Exponenten einer Potenz steht.
  • Die allgemeine Form einer Exponentialfunktion lautet: $f_a(x)=c \cdot a^x$
  • Der Graph einer Exponentialfunktion verläuft in der Regel streng monoton steigend oder streng monoton fallend über alle $x \in \mathbb{R}$.
  • Exponentialfunktionen werden genutzt, um exponentielles Wachstum oder Zerfall darzustellen. Solche Prozesse spielen in der Natur und in vielen technischen Anwendungen eine große Rolle.
  • Die natürliche Exponentialfunktion ist die Exponentialfunktion mit der Basis $e$, der Euler’schen Zahl. Jede Exponentialfunktion lässt sich in eine natürliche Exponentialfunktion mit der Basis $e$ umwandeln.
  • Damit lässt sich auch exponentielles Wachstum allgemein als natürliche Exponentialfunktion darstellen: $A_e(x) = A_0 \cdot e^{k \cdot x}$
    $A_e(x)$ ist die Wachstumsfunktion.
    $A_0$ ist der Anfangswert zum Startpunkt $x=0$.
    $k$ ist die Wachstumskonstante, die aus dem Wachstumsfaktor $a$ der allgemeinen Form berechnet werden kann $\left( k = \ln{a} \right)$.

Exponentialfunktion – Aufgaben

Mit den folgenden Beispielaufgaben kannst du den Umgang mit Exponentialfunktionen selbstständig üben. Versuche es zuerst selbst und sieh dir dann die Lösungen an!

Gegeben sei eine Exponentialfunktion $m(x)=3 \cdot 2^x$. Gib den Definitions- und Wertebereich der Funktion an und bestimme den Schnittpunkt mit der $y$-Achse. Benenne außerdem die Grenzwerte und das Monotonieverhalten der Funktion. Wenn du bereits ableiten kannst, kannst du auch den Funktionsterm der ersten Ableitung $m^\prime(x)$ angeben.
Gegeben sei eine Exponentialfunktion $n(x)=3 \cdot {\left(\frac{1}{2} \right)}^x$. Gib den Definitions- und Wertebereich der Funktion an und bestimme den Schnittpunkt mit der $y$-Achse. Benenne außerdem die Grenzwerte und das Monotonieverhalten der Funktion. Wenn du bereits ableiten kannst, kannst du auch den Funktionsterm der ersten Ableitung $n^\prime(x)$ angeben.
Wandle die beiden Funktionen $m(x)$ und $n(x)$ in natürliche Exponentialfunktionen um.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Exponentialfunktion

Was ist eine Exponentialfunktion?
Was ist die Exponentialfunktion?
Wie werden Exponentialfunktionen grafisch dargestellt?
Was ist der Unterschied zwischen der Exponentialfunktion und der Logarithmusfunktion?
Welche Anwendungen hat die Exponentialfunktion in der Technologie?
Wo wird die Exponentialfunktion in der Biologie eingesetzt?
Welche Rolle spielt die Exponentialfunktion in der Physik?
Wie kann man Exponentialfunktionen ableiten?

Transkript Exponentialfunktion – Definition und Erklärung

Achtung! Sicherheitsalarm! Die Integrität des Schiffes ist gefährdet! Weltraumrost zerstört die Außenhülle! Tatsächlich! Die Roststelle ist schon einen Quadratzentimeter groß! Der Rost muss schnell entfernt werden, denn er verbreitet sich exponentiell. Jede Stunde verdoppelt sich seine Fläche. Eine solche Entwicklung lässt sich besonders gut mit einer Exponentialfunktion beschreiben. In diesem Video beschäftigen wir uns mit der Definition von Exponentialfunktionen und einer Erklärung, wie diese aussehen. Zunächst zur Definition: Eine Exponentialfunktion ist eine Funktion, bei der die Variable im Exponenten steht. Dadurch wirken diese Funktionen auf den ersten Blick vielleicht etwas weniger greifbar als die bisher bekannten Funktionen. Du gehst aber genauso vor, wie bisher. Du beginnst mit einer Wertetabelle. Am Anfang, also zum Zeitpunkt Null, bedeckt der Rost 1 Quadratzentimeter. Nach einer Stunde bedeckt der Rost die doppelte Fläche, also '1 Quadratzentimeter mal 2'. Das sind 2 Quadratzentimeter. Nach einer weiteren Stunde, also nach 2 Stunden, hat sich die Fläche erneut verdoppelt. Es sind nun '2 mal 2 Quadratzentimeter' also 4 Quadratzentimeter. Nach der dritten Stunde sind wir bei '2 mal 2 mal 2 Quadratzentimetern', und somit bei '8 Quadratzentimetern'. Diese Produkte können wir auch als Potenzen schreiben. Die 2 ist dann einfach '2 hoch 1'. Jetzt sehen wir, dass in den Exponenten genau die Anzahl vergangener Stunden auftaucht. Nehmen wir die Anzahl der Stunden als Variable erhalten wir für eine sich stündlich verdoppelnde Größe eine Exponentialfunktion. Diesen Zusammenhang können wir natürlich auch in einem Koordinatensystem veranschaulichen: Für 'x gleich 1' erhalten wir 'f von x gleich 2'. Für 'x gleich 2' 'f von x gleich 4' für 'x gleich 3' 'f von x gleich 8'. So können wir auch den Startwert deuten: Bei 'x gleich Null' war die Fläche einen Quadratzentimeter groß. '2 hoch Null' ist also 1. Wir können sogar in die Vergangenheit schauen. Eine Stunde VOR dem Startzeitpunkt, also bei 'x gleich minus 1', war die Fläche halb so groß wie der Startwert. Das sind '0,5 Quadratzentimeter' oder '2 hoch minus 1'. Zwei Stunden vor dem Startzeitpunkt, also bei 'x gleich minus 2', war die Fläche folglich halb so groß wie die Hälfte des Startwerts. Das sind '0,25 Quadratzentimeter' oder '2 hoch minus 2'. Verbinden wir die Punkte im Koordinatensystem, erhalten wir den Graphen der Funktion. Fassen wir das noch einmal zusammen: Eine Exponentialfunktion ist eine Funktion, bei der die Variable im Exponenten steht. Sie beschreibt funktionale Zusammenhänge, bei denen sich eine Größe in festen Abständen jeweils um den gleichen Faktor verändert. Zu jedem x-Wert ergibt sich also eine andere Potenz zur Basis. Ist die Basis 2, dann beschreibt die Funktion eine Größe, die sich mit jedem Schritt verdoppelt. Der Wert 'x gleich Null' entspricht dann dem Startwert. Besitzt eine Exponentialfunktion keinen Vorfaktor, ist dieser Wert immer 1, denn jede Zahl 'hoch Null' ist 1. Der Graph einer Exponentialfunktion sieht dann ungefähr so aus. Der dreiachsgelagerte, KI-gesteuerte Antispatialkorrosionsdekompressor ist aufgebaut, justiert, ausbalanciert und eingestellt. Nimm das, Weltraumrost! Na also!

2 Kommentare
2 Kommentare
  1. sehr gut

    Von Lucas, vor mehr als 2 Jahren
  2. sehr verständliches und anschauliches Video

    Von Rosina Alischer, vor etwa 3 Jahren

Exponentialfunktion – Definition und Erklärung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Exponentialfunktion – Definition und Erklärung kannst du es wiederholen und üben.
  • Bestimme die Funktionswerte.

    Tipps

    Bei der Funktion $f(x)=2^x$ verdoppelt sich der Funktionswert, wenn der $x$-Wert um $1$ zunimmt.

    Den Funktionswert $f(0) =2^0$ findest du, indem du den Funktionswert $f(1) =2^1$ durch $2$ dividierst.

    Ist $g(x) =3^x$, so ist $g(1)=3^1=3$ und $g(-2) = 3^{-2}=\frac{1}{9}$.

    Lösung

    Bei einer Exponentialfunktion steht die Variable im Exponenten. Dadurch vervielfacht sich der Funktionswert bei regelmäßiger Zunahme der $x$-Werte immer um denselben Faktor. Der Faktor für die Vervielfachung der Funktionswerte bei Zunahme von $+1$ der $x$-Werte entspricht dem Funktionswert $f(1)$.

    Bei der Funktion $f(x) = 2^x$ verdoppelt sich also der Funktionswert, wenn der $x$-Wert um $1$ wächst und halbiert sich der Funktionswert, wenn sich der Abstand um $1$ verringert.

    So erhältst du folgende Wertetabelle:

    $ \begin{array}{|r|l|l|} \hline \\ x & f(x) & 2^x \\ \hline \\ -2 & 0,25 & 2^{-2} \\ \hline \\ -1 & 0,5 & 2^{-1} \\ \hline \\ 0 & 1 & 2^0 \\ \hline \\ 1 & 2 & 2^1 \\ \hline \\ 2 & 4 & 2^2 \\ \hline \\ 3 & 8 & 2^3 \\ \hline \end{array} $

  • Vervollständige die Sätze.

    Tipps

    $f(x) = x^2$ ist keine Exponentialfunktion, aber $f(x) = 3^x$ ist eine Exponentialfunktion.

    Ist $f(x) = 3^x$, so ist $f(4) = 3^4= 3 \cdot 3^3 = 3 \cdot f(3) = 3 \cdot 3 \cdot f(2)\ldots$

    In dem Term $a^b$ ist $a$ die Basis und $b$ der Exponent.

    Der Term $a^b$ ist eine Potenz.

    Im Term $c\cdot d$ sind $c$ und $d$ Faktoren.

    Lösung

    Bei einer Exponentialfunktion steht die Variable im Exponenten. Dadurch ändert sich der Funktionswert bei einem Zuwachs des $x$-Wertes um $1$ jeweils um denselben Faktor. Umgekehrt ist jede Funktion mit dieser Eigenschaft eine Exponentialfunktion. Die verschiedenen Funktionswerte einer Exponentialfunktion sind jeweils verschiedene Potenzen derselben Basis.

    Der Graph einer Exponentialfunktion ist aufgrund des (beim Exponenten $x$) stets zunehmenden bzw. (beim Exponenten $-x$) stets abnehmenden Zuwachses gekrümmt, und zwar immer nur in eine Richtung.

    Mit diesen Überlegungen kommst du auf folgende Sätze:

    • Die Variable einer Exponentialfunktion ... steht im Exponenten.
    • Der Graph einer Exponentialfunktion ... ist gekrümmt.
    • Eine Funktion, bei der sich die Funktionswerte von jedem ganzzahligen $x$-Wert zum nächsten verdoppeln, ... ist eine Exponentialfunktion.
    • Jeder einzelne Funktionswert einer Exponentialfunktion ... ist jeweils eine andere Potenz zu derselben Basis.
  • Bestimme die Funktionswerte.

    Tipps

    Die Funktion $f(x) = 2^x$ nimmt nur positive Werte an.

    Setze den gegebenen Wert für $x$ in die Funktion ein und rechne den Funktionswert aus.

    Für $f(x) = 5^x$ und $x=-1$ ist $f(-1) = 5^{-1} = \frac{1}{5} = 0,\!2$.

    Lösung

    Die Funktionswerte einer Exponentialfunktion sind verschiedene Potenzen einer festgelegten Basis. Du kannst die Funktionswerte ausrechnen, indem du den vorgegebenen Wert der Variablen in den Funktionsterm einsetzt. Dann rechnest du den konkreten Wert der entsprechenden Potenz aus:

    • Für die Funktion $f(x) = 3^x$ und die Stelle $x=1$ findest du den Funktionswert $f(1) = 3^1 = 3$.
    • Bei der Exponentialfunktion $f(x) = 2^x$ und der Stelle $x=2$ ist $f(2)=2^2 = 4$.
    • Für $f(x) = 0,5^x$ und den $x$-Wert $x=-1$ findest du den Funktionswert $f(-1) = (0,\!5)^{-1} = \dfrac{1}{\frac{1}{2}} = 2$.
    • Für die Funktion $f(x) = 10^x$ erhältst du an der Stelle $x=-2$ den Funktionswert $f(-2) = 10^{-2} = \dfrac{1}{10^2} = \dfrac{1}{100} = 0,\!01$.
    • Die Funktion $f(x) = 2^x$ hat an der Stelle $x=4$ den Funktionswert $f(4) = 2^4 =16$.
    • Bei $f(x) = 10^x$ findest du zu $x=3$ den Funktionswert $f(3) = 10^3 = 1\,000$.
  • Analysiere die Werte.

    Tipps

    Bei einer Exponentialfunktion ist jeder Funktionswert eine Potenz derselben Basis.

    Bei einer Funktion der Form $f(x) = a^x$ ist $a = f(1)$.

    Lösung

    Die Funktionswerte einer Exponentialfunktion sind jeweils Potenzen einer festgelegten Basis. Du kannst von dem Funktionswert eindeutig auf die Basis zurückschließen, wenn du weißt, zu welchem $x$-Wert der Funktionswert gehört. Für jede Exponentialfunktion $f(x) = a^x$ ist der Funktionswert $f(1)$ die Basis $a$, denn $f(1) = a^1 = a$. Der Funktionswert an der Stelle $x=2$ ist das Quadrat der Basis, denn $f(2) = a^2$.

    Ist z. B. $f(1) = 0,\!5$, so handelt es sich um die Funktion $f(x) = 0,\!5^x$. Ist dagegen $f(-1) = 10$, so ist $f(-1) = a^{-1} = \frac{1}{a} = 10$, also ist $a=\frac{1}{10} = 0,\!1$.

    So erhältst du folgende Zuordnungen, indem du die Zahlenwerte für $x$ einsetzt:

    $f(x) = 0,\!5^x$:

    • $f(1) = 0,\!5^1= 0,\!5$
    • $f(-1) = 0,\!5^{-1}=2$
    • $f(2) = 0,\!5^2=0,\!25$

    $f(x) = 3^x$:

    • $f(2) = 3^2= 9$
    • $f(3) = 3^3= 27$
    • $f(-1) = 3^{-1}= \frac{1}{3}$

    $f(x) = 10^x$:

    • $f(-1)= 10^{-1}= 0,\!1$
    • $f(3) = 10^3= 1\,000$
    • $f(-3)= 10^{-3} = 0,\!001$

    $f(x) = 0,\!1^x$:

    • $f(2)= 0,\!1^2 = 0,\!01$
    • $f(-1)= 0,\!1^{-1} = 10$
    • $f(-2) = 0,\!1^{-2}= 100$

  • Beschrifte die Funktion.

    Tipps

    Die rechte Seite der Funktionsgleichung ist der Funktionsterm.

    In dem Term $b^a$ ist $a$ der Exponent und $b$ die Basis.

    Die Unbestimmte einer Funktion heißt Variable.

    Lösung

    Eine Funktion beschreibt man meistens durch eine Funktionsgleichung, die angibt, wie der Funktionswert aus der Variablen berechnet wird. Die rechte Seite der Funktionsgleichung ist der Funktionsterm. Die Exponentialfunktion mit der Basis $2$ wird durch folgende Funktionsgleichung beschrieben:

    $f(x) = 2^x$

    Das $x$ in $f(x)$ ist die Variable der Funktion. In dem Funktionsterm $2^x$ heißt $2$ die Basis und $x$ der Exponent. Bei einer Exponentialfunktion steht die Variable also im Exponenten.

  • Erschließe die Funktionsgraphen.

    Tipps

    Bestimme einen oder mehrere Funktionswerte, um die Graphen zuzuordnen. Der Funktionswert bei $x=0$ ist hierbei oft eine gute Wahl.

    Die Funktion $f(x) = 2^x$ erfüllt $f(0) = 2^0 = 1$.

    Lösung

    Der Graph einer Funktion besteht aus allen Punkten der Form $P(x|f(x))$. Du kannst die Graphen zuordnen, indem du Funktionswerte berechnest und im Koordinatensystem abträgst.

    Der Graph einer Exponentialfunktion der Form $f(x) = a^x$ hat zwei besonders leicht zu erkennende Punkte, die zu den Stellen $x=0$ und $x=1$ gehören. Für $x=0$ ist nämlich stets $f(0) = a^0 = 1$ und an der Stelle $x=1$ ergibt sich $f(1) = a^1 = a$. Daher gehört der Punkt $P(0|1)$ zu jeder Exponentialfunktion $f(x) = a^x$ für jedes beliebige $a \neq 0$. Der Punkt $P(1|a)$ gehört zum Graphen der Exponentialfunktion für genau einen festen Wert $a$.

    Bei der Funktion $f(x) = 2 \cdot 2^x$ ist aber Vorsicht geboten: Es handelt sich nicht um eine reine Exponentialfunktion, sondern jeder Wert des Exponentialterms wird noch mit $2$ multipliziert. Daher ist bei dieser Funktion $f(0) = 2 \cdot 2^0 = 2 \cdot 1 = 2$. Der Punkt $P(0|1)$ gehört also nicht zum Funktionsgraphen der Funktion $f(x) = 2 \cdot 2^x$. Stattdessen gehört der Punkt $P(0|2)$ zum Graphen dieser Funktion.

    Eine Wertetabelle hilft dir, die Funktionsgraphen zu identifizieren. Für die Funktion $f(x) = 2^{-x}$ findest du folgende exemplarische Wertepaare:

    $ \begin{array}{|r|l|l|} \hline x & 2^x & f(x) \\ \hline -2 & 2^{-(-2)} & 4 \\ \hline -1 & 2^{-(-1)} & 2 \\ \hline 0 & 2^0 & 1 \\ \hline 1 & 2^{-1} & 0,\!5 \\ \hline 2 & 2^{-2} & 0,\!25 \\ \hline \vdots & \vdots & \vdots \\ \hline \end{array} $

    Im Bild siehst du nur die korrekt markierten Exponentialfunktionen.