Umkehrfunktionen
- Umkehrfunktion – was ist das überhaupt?
- Definition: Was ist eine Umkehrfunktion?
- Wann ist eine Funktion umkehrbar?
- Grafische Darstellung der Umkehrfunktion
- Wie kannst du eine Umkehrfunktion berechnen?
- Umkehrfunktionen bei verschiedenen Funktionstypen
- Lineare Funktionen
- Quadratische Funktionen
- Exponentielle Funktionen
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Grundlagen zum Thema Umkehrfunktionen
Umkehrfunktion – was ist das überhaupt?
Warst du schon einmal in einem anderen Land und brauchtest dort eine andere Währung? Wenn du eine Währung in eine andere wechselst, ist der Wechselkurs relevant. Diesen kannst du als Funktion darstellen.
Wenn $1$ Euro $0,8$ Pfund entspricht, dann kann dies durch die Funktion $f(x)=0,8x$ beschrieben werden. Der $x$-Wert beschreibt, wie viel Euro du wechselst und der $y$-Wert stellt dar, wie viel Pfund du dafür bekommst.
Kommst du aus dem Urlaub zurück und möchtest dein Geld wieder in Euro wechseln, brauchst du die Umkehrfunktion.
Ist der Wechselkurs gleich geblieben, entspricht $1$ Pfund $1,25$ Euro. Die Funktion lautet also $f^{-1}(x)=1,25x$. Diesmal beschreibt der $x$-Wert die zu wechselnden Pfund und der $y$-Wert, wieviel Euro du zurückbekommst.
Aber was ist eine Umkehrfunktion genau, und wie kannst du sie berechnen? Diese Fragen beantworten wir in diesem Lerntext.
Definition: Was ist eine Umkehrfunktion?
Eine Umkehrfunktion ist eine Funktion, die eine gegebene Funktion umkehrt. Formal ausgedrückt: Wenn eine Funktion $f(x)$ zu jedem $x$ genau ein $y$ zuordnet, dann ordnet die Umkehrfunktion $f^{-1}(x)$ jedem $y$ wieder genau das ursprüngliche $x$ zu.
Wenn $f(x)$ die Zuordnung „$x \mapsto y$“ beschreibt, dann beschreibt die Umkehrfunktion $f^{-1}(x)$ die Zuordnung „$y \mapsto x$“.
Wann ist eine Funktion umkehrbar?
Nicht jede Funktion besitzt eine Umkehrfunktion. Damit eine Funktion umkehrbar ist, muss sie eineindeutig sein. Das bedeutet:
- Jeder $x$-Wert hat genau einen $y$-Wert.
- Jeder $y$-Wert wird nur von genau einem $x$-Wert angenommen.
Die Funktion ist also „in beide Richtungen“ eindeutig. Eine einfache Möglichkeit, das grafisch zu überprüfen, ist der Horizontaltest: Wenn jede horizontale Linie den Funktionsgraphen höchstens einmal schneidet, dann ist die Funktion umkehrbar.
Beispiel
- $f(x)=2x+3$ ist linear und damit eineindeutig, also auch umkehrbar. Der Funktionsgraph ist eine Gerade. Jedem $y$-Wert liegt genau ein $x$-Wert zugrunde.
- $f(x)=x^2$ ist nicht umkehrbar, da z. B. $y=4$ zwei verschiedene Ursprünge
($x=-2$ und $x=2$) hat. Hier hat also ein $y$-Wert meist zwei $x$-Werte, die ihm zugrunde liegen.
Grafische Darstellung der Umkehrfunktion
Die Umkehrfunktion erhältst du grafisch durch eine Spiegelung an der Winkelhalbierenden $w$ mit $y = x$.
Merke: Die Umkehrfunktion ist immer die Spiegelung der Ursprungsfunktion an der Geraden $y=x$.
Wie kannst du eine Umkehrfunktion berechnen?
Um eine Umkehrfunktion zu bilden, gehst du folgendermaßen vor:
- Ersetze $f(x)$ durch $y$.
- Vertausche $x$ und $y$.
- Löse die Gleichung nach $y$ auf.
- Die neue Gleichung stellt dann die Umkehrfunktion $f^{-1}(x)$ dar.
Beispiel: Umkehrfunktion bestimmen für $f(x)=3x-5$
Schritt 1: Schreibe $y=3x-5$
Schritt 2: Vertausche $x$ und $y$: $x=3y-5$
Schritt 3: Löse nach $y$ auf:
$\begin{array}{lcl} x &=& 3y-5 \\[5pt] x+5 &=& 3y \\[5pt] \dfrac{x+5}{3} &=& y \\[5pt] y & = & \dfrac{1}{3}x+ 1\dfrac{2}{3} \end{array}$
Schritt 4: Umkehrfunktion:
$$f^{-1}(x)=\dfrac{1}{3}x+ 1\dfrac{2}{3}$$
Umkehrfunktionen bei verschiedenen Funktionstypen
Lineare Funktionen
Lineare Funktionen der Form $f(x)=mx+n$ sind immer umkehrbar. Die Umkehrfunktion ist ebenfalls linear.
Quadratische Funktionen
Quadratische Funktionen sind grundsätzlich nicht umkehrbar. Eine Umkehrung ist nur möglich, wenn du den Definitionsbereich einschränkst, z. B. nur $x\geq 0$ oder $x\leq 0$ betrachtest.
Exponentielle Funktionen
Exponentielle Funktionen $f(x)=a^x$ (mit $a>0$ und $a\neq1$) sind umkehrbar. Ihre Umkehrfunktion ist der Logarithmus: $f^{-1}(x)=\log_a(x)$.
Übungen zur Umkehrfunktion
Ausblick – das lernst du nach dem Thema Umkehrfunktion
Nach dem Thema Umkehrfunktionen kannst du dein Wissen vertiefen, indem du dich mit logarithmischen Funktionen oder auch mit den Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen beschäftigst. Besonders die Umkehrfunktionen von Sinus, Cosinus und Tangens haben in vielen mathematischen und physikalischen Anwendungen eine hohe Relevanz.
Zusammenfassung zum Thema Umkehrfunktion
- Eine Umkehrfunktion ordnet jedem $y$-Wert einer Funktion eindeutig den ursprünglichen $x$-Wert zu.
- Grafisch erhältst du die Umkehrfunktion durch Spiegelung an der Geraden $y=x$.
- Zum Berechnen vertauschst du $x$ und $y$ und löst nach $y$ auf.
- Eine Funktion ist genau dann umkehrbar, wenn sie eineindeutig ist.
Häufig gestellte Fragen zum Thema Umkehrfunktion
Transkript Umkehrfunktionen
Vor nicht allzu langer Zeit in einer gar nicht mal so weit entfernten Galaxis haben der furchtlose Hans Olus und seine heldenhafte Crew Hinweise für die Reise ins geheimnisvolle Umkehruniversum gefunden. Um ins Umkehruniversum zu kommen, müssen sie zu einer gegebenen Funktion deren Umkehrfunktion herausfinden. Sie können ihren Sprungantrieb nur aktivieren, wenn Funktion und Umkehrfunktion exakt zusammenpassen. Doch die Crewmitglieder wissen nicht, was eine Umkehrfunktion ist und wie man sie ermittelt. Wir erinnern uns: Bei einer Funktion f(x) wird jedem x-Wert genau ein y-Wert zugeordnet. Einfach gesagt dreht eine Umkehrfunktion die ursprüngliche Funktion um. Anders ausgedrückt: Bei einer Umkehrfunktion werden die x- und y-Werte der Ausgangsfunktion vertauscht. Bei Punkten ist so eine Umkehrung ganz simpel: Du vertauscht einfach die x- und y-Koordinaten. Ist beispielsweise der Punkt P (5|3), gegeben, hat die Umkehrung, P hoch -1, die Koordinaten (3|5). Ganz leicht, oder? Eine Umkehrfunktion zu ermitteln ist auch nur ein klein wenig komplizierter. Zuerst solltest du mit Hilfe einer senkrechten Geraden testen, ob ein Graph überhaupt eine Funktion darstellt. Stell dir eine Parallele zur y-Achse vor. Wenn diese Gerade den Graphen bei jedem x-Wert nur in genau einem Punkt schneidet, gehört der Graph zu einer Funktion. Wenn der Graph den Test nicht besteht, stellt er auch keine Funktion dar. Besteht der Graph dieser Gleichung hier den Test? Der Graph dieser linearen Gleichung besteht den Test: Es gibt immer nur einen einzigen Schnittpunkt mit der senkrechten Gerade. Daher ist sie eine lineare Funktion und wir können" f(x)" statt "y" schreiben. Ob die Umkehrung ebenfalls eine Funktion ist, prüfen wir zudem mit einer waagerechten Gerade. Wird diese lineare Funktion den Test bestehen? Sieht gut aus! Wir wissen nun, dass diese Funktion eine Umkehrfunktion hat. Aber wie finden wir sie? Wir können das rechnerisch mit ein paar einfachen Schritten lösen. Hans Olus und sie Crew müssen die Umkehrfunktion von f(x) = 3x - 6 finden. Zuerst ersetzen wir f(x) durch y. Dann tauschen wir in der Funktion jedes x durch ein y und jedes y durch ein x aus. Und jetzt? Du hast es vielleicht schon vermutet: Wir müssen einfach wieder nach y umstellen. Meine Damen und Herren, dürfen wir vorstellen, unsere erste Umkehrfunktion! Es gibt übrigens einen spannenden Zusammenhang zwischen Funktion und Umkehrfunktion: y=x ist immer die Spiegelachse, die die Graphen aufeinander abbildet. Umkehrfunktionen schreibt man auf diese Weise. Man liest sie so: f hoch -1 von x. Wenn wir in die Ausgangsfunktion für x die Werte 0, 1, 2, 3, 4 und so weiter einsetzen erhalten wir folgende y-Werte. Setzen wir diese Werte in die Umkehrfunktion für x ein, sollten die ursprünglichen x-Werte herauskommen. Probieren wir es aus! Die y-Werte unserer Ausgangsfunktion sind -6, minus 3, 0, 3 und 6. Wir setzen sie für x in die Umkehrfunktion ein und erhalten 0, 1, 2, 3 und 4! Wie du siehst, sind die x- und y- Werte der ursprünglichen und der Umkehrfunktion "umgekehrt". Um die Umkehrfunktion f hoch minus 1 einer Funktion f(x) nach erfolgreicher Prüfung durch vertikale und horizontale Geraden zu finden, ersetzt du also erst f(x) durch y. Dann änderst du alle "x" in "y" und anders herum. Nun kannst du die Gleichung nach y umstellen. Am Ende ersetzt du "y" durch die Notation für die Umkehrfunktion, f hoch minus 1 von x. Mit diesen Erkenntnissen kann Hans Olus endlich den Sprungantrieb programmieren und das Schiff ins Umkehruniversum fliegen. Oh nein, was ist passiert? Offenbar werden im Umkehruniversum nicht nur Funktionen umgekehrt.
Umkehrfunktionen Übung
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Gib wieder, wie man eine Umkehrfunktion aus einer gegebenen Funktion bestimmt.
TippsUm eine Umkehrfunktion berechnen zu können, müssen wir zuerst sicher sein, dass unsere Zuordnung auch überhaupt eine Funktion ist. Dazu gehen wir senkrecht von links nach rechts den Graphen entlang und überprüfen, ob jedem $ x$-Wert genau ein $ y$-Wert zugeordnet ist. Bspw. ist eine Zuordnung keine Funktion, wenn ein $ x$-Wert existiert, der zwei $ y$-Werte besitzt. Auf dem Bild siehst du so einen Graphen dargestellt.
Wenn wir wissen, dass die Zuordnung eine Funktion ist, dann können wir diese auch mit $f(x)$ benennen.
LösungUm die Umkehrfunktion einer Zuordnung herauszufinden, müssen folgende Schritte durchgeführt werden:
- Zuerst überprüfen wir, ob die gegebene Zuordnung
eine Funktion ist, indem wir den Senkrechten-Test am zugehörigen Graphen durchführen.
- Wenn der Graph eine Funktion darstellt, ersetzen wir in unserer Funktion $f(x)=3 \cdot x-6 $ nun $f(x)$ durch $y$ und erhalten wieder $ y=3 \cdot x-6 $ .
- Wir tauschen nun in unserer Funktionsgleichung jedes $x$ durch ein $ y $ und jedes $ y $ durch ein $ x $ aus und erhalten $ x=3 \cdot y-6 $.
- Nun stellen wir die Funktionsgleichung nach $y$ um, indem wir zunächst auf beiden Seiten $6$ addieren und anschließend durch $3$ dividieren. Wir erhalten $y=\frac{1}{3} \cdot x+2 $.
- Wir erhalten unsere Umkehrfunktion, indem wir $y$ durch $f^{-1}(x)$ austauschen:
Hinweis: Der Graph der Umkehrfunktion ist eine Spiegelung an der Geraden $ y = x $ der Ausgangsfunktion. Eine Besonderheit an einer Umkehrfunktion ist, dass, wenn wir die $ y$-Werte in die Umkehrfunktion einsetzen, die $ x$-Werte erhalten.
-
Benenne die richtigen Aussagen über die Ermittlung einer Umkehrfunktion.
TippsDer Senkrechten-Test prüft „von links nach rechts“, ob jeder $ x$-Wert höchstens einen $y$-Wert besitzt. Falls ja, stellt die Zuordnung eine Funktion dar. Der Waagerechten-Test prüft hingegen von oben nach unten, also andersherum, ob jeder $y$-Wert höchstens einen $x$-Wert besitzt. Falls ja, besitzt die Funktion eine Umkehrfunktion.
Bei Punkten werden einfach die $x$- und $y$-Koordinaten vertauscht.
LösungDurch den Senkrechten-Test wird überprüft, ob die Zuordnung auch eine Funktion darstellt. Hierbei ist darauf zu achten, dass es zu jedem $x$-Wert genau einen $y$-Wert gibt.
Der Waagerechten-Test überprüft auf die gleiche Art und Weise, nur von „oben nach unten“, ob die Funktion eine Umkehrfunktion besitzt.
Die Spiegelung einer Funktion $f(x)$ an der Gerade $ y=x $ ist der Graph der zugehörigen Umkehrfunktion $f^{-1}(x)$.
Um die Umkehrung eines Punktes zu erhalten, wird die $x-$ und $y$-Koordinate einfach vertauscht.
Diese Aufgaben sind richtig:
- Der Senkrechten-Test prüft, ob eine Zuordnung überhaupt eine Funktion ist.
- Die Spiegelung einer Funktion an der Gerade $ y=x $ ist der Graph der Umkehrfunktion.
- Die Umkehrung des Punktes $P(5|3)$ ist $P(3|5)$, da bei Punkten einfach die $x$- und $y$-Koordinaten vertauscht werden.
- Der Senkrechten-Test prüft, ob eine Umkehrfunktion einer Funktion vorhanden ist.
- Der Punkt $P(5|3)$ hat keine Umkehrung.
-
Ordne den Graphen die richtige Zuordnung zu.
TippsUm zu überprüfen, ob es sich überhaupt um eine Funktion handelt, führe den Senkrechten-Test durch, indem du von links nach rechts überprüfst, ob es zu jedem $x$-Wert auch nur einen $y$-Wert gibt.
Um zu überprüfen, ob die Funktion eine Umkehrfunktion besitzt, führe den Waagerechten-Test durch, indem du von oben nach unten überprüfst, ob es zu jedem $y$-Wert auch nur einen $x$-Wert gibt.
Lösung- Keine Funktion: Hierbei wird der Senkrechten-Test durchgeführt. Wir gehen den Graphen von links nach rechts entlang. Hat ein $x$-Wert mehr als einen $y$-Wert, so ist der Graph keine Funktion.
- Funktion ohne Umkehrfunktion: Hierbei wird der Waagerechten-Test angewendet. Wir gehen nun den Graphen von oben nach unten und überprüfen, ob es zu jedem $y$-Wert mehr als einen $x$-Wert gibt. Ist dies der Fall, so handelt es sich um eine Funktion ohne Umkehrfunktion.
- Funktion mit Umkehrfunktion: Wenn es für jeden $x$-Wert nur einen $y$-Wert gibt und dies auch andersherum, so handelt es sich um eine Funktion mit Umkehrfunktion. Das wird jeweils mit dem Senkrechten- und Waagerechten-Test durchgeführt.
-
Ermittle die Umkehrfunktionen zu den gegebenen Funktionen.
TippsErsetze $f(x)$ durch $y$ und vertausche alle $x$ durch ein $y$ und andersherum.
Nun lösen wir die Gleichung nach $y$ auf und kennzeichnen die Umkehrfunktion mit $ f^{-1}(x) $.
LösungFolgender Lösungsweg sollte jeweils angewendet werden:
- Wir ersetzen als Erstes $f(x)$ durch $y$.
- Im nächsten Schritt vertauschen wir alle $x$ durch ein $y$ und andersherum.
- Nun lösen wir die Gleichung nach $y$ auf, indem wir Äquivalenzumformungen anwenden.
- Zum Schluss kennzeichnen wir die Umkehrfunktion noch mit $ f^{-1}(x)$.
$\begin{array}{rcl} f(x)&=&2 \cdot x-4 & |& f(x) ~\text{wird durch}~ y~ \text{ersetzt} \\ y &=&2 \cdot x-4 &|& \text{Tauschen von}~ x ~\text{und}~ y\\ x &=& 2 \cdot y-4 &|& +4 \\ x+4 &=& 2 \cdot y &|& :2 \\ \frac{1}{2} \cdot x + 2 &=& y &|& \text{Kennzeichnen mit}~ f^{-1}(x)\\ f^{-1}(x) &=& \frac{1}{2} \cdot x+2 &~& \\ \end{array}$
Folgende Zuordnungen sind korrekt:
- $ f(x)=2 \cdot x-4 $ mit der Umkehrfunktion $ f^{-1}(x)=\frac{1}{2} \cdot x+2 $.
- $ f(x)=3 \cdot x+4 $ mit der Umkehrfunktion $ f^{-1}(x) =\frac{1}{3} \cdot x- \frac{4}{3} $
- $ f(x)=x-6 $ mit der Umkehrfunktion $ f^{-1}(x)=x+6 $.
- $ f(x)=x+4 $ mit der Umkehrfunktion $ f^{-1}(x)=x-4 $.
-
Gib die Anweisungen in der richtigen Reihenfolge wieder.
TippsDer Senkrechten-Test überprüft, ob eine Zuordnung eine Funktion ist.
Mit den Äquivalenzumformungen lösen wir die Gleichung nach $y$ auf.
Umkehrfunktionen werden immer mit $f^{-1}(x)$ gekennzeichnet.
LösungDie Sätze kannst du wie folgt vervollständigen:
„Wir wissen, dass $ f(x)=x+5 $ eine Funktion ist. Dies haben wir durch den Senkrechten-Test herausgefunden. Die zugehörige Umkehrfunktion $f^{-1}(x)$ finden wir wie folgt heraus: Wir schreiben wieder $ y=x+5 $ und vertauschen alle $x$ durch ein $y$ und andersherum und erhalten $ x=y+5 $. Die Gleichung lösen wir durch Äquivalenzumformungen nach $y$ auf, indem wir auf beiden Seiten $5$ subtrahieren. Nun erhalten wir $ y=x-5 $. Zum Schluss kennzeichnen wir die Umkehrfunktion noch mit $f^{-1}(x)$. Unsere Umkehrfunktion lautet also $f^{-1}(x)=x-5$. Bei jedem einzelnen Wertepaar unserer ursprünglichen Funktion $f(x)$ sind nun die $x$- und $y$-Komponenten vertauscht.“
- Das Besondere an dieser Umkehrfunktion ist nun, dass jeder $x$-Wert in einer Wertetabelle der $y$-Wert der Umkehrfunktion ist. Genauso ist jeder $y$-Wert in einer Wertetabelle der $x$-Wert in der Umkehrfunktion. Der Graph der Umkehrfunktion ist eine Spiegelung an der Geraden $y=x$.
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Ordne den Funktionsgraphen die richtige Umkehrfunktion zu.
TippsAls Spiegelachse kannst du die Diagonale des Koordinatensystems $ y=x $ benutzen.
Lösung- Zeichne die Diagonale des Koordinatensystems $y = x$.
- Nun spiegele die Punkte deines Graphen an dieser Diagonalen.
- Du erhältst den Graphen der Umkehrfunktion.
- $f(x)=2 \cdot x+1$ mit der Umkehrfunktion $f^{-1}(x)=\frac{1}{2} \cdot x- \frac{1}{2}$
- $ f(x)=x+2$ mit der Umkehrfunktion $f^{-1}(x)=x-2$
- $f(x)=2 \cdot x -1$ mit der Umkehrfunktion $ f^{-1}(x)=0,5 \cdot x+0,5$
- $f(x)=x-0,5$ mit der Umkehrfunktion $ f^{-1}(x)=x+0,5$
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