Rekonstruktion ganzrationaler Funktionen – Übersicht Eigenschaften

Herzlich willkommen, wieder einmal. In diesem Video geht es um Rekonstruktionen ganz rationaler Funktionen. Dazu hab ich schon einmal ein Video gemacht, da hab ich 2 oder 3 Beispiele gerechnet. Und in diesem Video möchte ich mich ausschließlich darauf konzentrieren, die Eigenschaften als Gleichung auszudrücken. Und ich versuche eine Übersicht zu machen, über alle möglichen Eigenschaften, die da auftreten können. Links schreiben wir uns immer die gegebene Eigenschaft hin und rechts die Gleichung, die das ausdrückt. Fangen wir ganz einfach an. Die Eigenschaft soll sein, wir haben eine Funktion des 2. Grades, des 3. Grades, von Grad 4 usw. Dann die höchste vorkommende x Potenz, eben genau diesen Grad und als Koeffizienten ein a. Und die kleineren Potenzen haben dann jeweils die Koeffizienten b, c usw. Und die Ableitungen bestimmt man sich mit den Potenzregeln. Steht da zum Beispiel: Die Funktion ist symmetrisch zu zur y-Achse, dann heißt das, dass sie nur gerade Exponenten hat. Das heißt, wenn sie zum Beispiel vom Grad 4 ist, dann können wir gleich schreiben f(x)=ax hoch 4+bx²+c. Und wenn sie als Punkt symmetrisch gegeben ist, hat sie nur ungerade Exponenten. Vom Grad 5 zum Beispiel ax hoch5+bx³+cx. Jetzt kann es sein, dass ein Punkt gegeben ist, der auf dem Graphen der Funktion liegt. Wir nehmen mal den Punkt p3,2. Und es gibt jetzt viele Sprechweisen dafür, aus denen man das rauslesen muss. Zum Beispiel: Der Punkt p liegt auf dem Graph, der Graph hat im Punkt p ein Maximum, Minimum, Wendepunkt oder irgendetwas anderes. Der Graph berührt im Punkt p irgendetwas, oder hat im Punkt p eine bestimmte Steigung, oder eine bestimmte Tangente. Alle diese Formulierungen übersetzen sich jedenfalls zu f von 3=2. Und wenn der Graph durch den Ursprung geht, dann ist f von 0=0. Die Funktion hat an der Stelle 3 ein Maximum, Minimum oder Extremum, bedeutet, dass f'3=0 ist. Sie hat an der Stelle 3 die Steigung 4 bedeutet, f'3=4. Die Tangente an der Stelle 3 ist parallel zur Geraden y=-1/4x+5 heißt, die Gerade hat die Steigung -1/4, also muss auch die Tangente diese Steigung haben, wenn sie parallel ist. Und die Steigung drückt sich immer in der Ableitung aus. Also f'3=-1/4.  Dementsprechend bedeutet, die Funktion hat bei x=3 die Tangente y=5x, dass f'3=5 ist. Denn die Steigung ist ja 5. Bei x=3 ist die Tangente parallel zur x-Achse heißt, f'x=0. Denn die x-Achse hat ja die Steigung 0. Also alles, was mit Steigung zu tun hat, oder Tangenten, betrifft die erste Ableitung. Bei allen Ausdrücken, die wir gerade hatten, gilt noch, wenn dort anstatt an der Stelle 3 oder bei x=3 steht, im Punkt P 3,2, also wenn der ganze Punkt genannt ist, dann kommt natürlich überall die Gleichung vom Anfang, f von 3=2 auch noch hinzu. Dann wissen wir, der Punkt liegt darauf und wir erfahren etwas über die Steigung in dem Punkt. Der Graph berührt die x-Achse bei x=2, heißt f von 2=0 und f'2=0. Denn so eine Stelle kann nur so aussehen. Das ist der Punkt 2,0 und die Tangente hat dort die Steigung 0. Der Graph berührt bei x=2 die Gerade y=-x+3. Das sieht ungefähr so aus. Und weil der Berührpunkt sowohl auf unserer Funktion, als auch auf der Geraden liegt, können wir einfach unsere 2 in den Funktionsterm in der Geraden einsetzen und das Ergebnis ist dann die 2. Koordinate unseres Punktes. Also f von 2=1. Außerdem kennen wir ja noch die Steigung der Gerade, die ist -1. Also f'2=-1. Der Graph hat bei x=3 eine Wendestelle bedeutet, die 2. Ableitung an der Stelle 3 ist 0. Der Graph hat bei x=3 die Wendetangente y=-2x+1 heißt wieder, dass f'2 von 3=0, denn es handelt sich wieder um einen Wendepunkt. Und außerdem kennen wir noch die Tangente an der Stelle. Die hat die Steigung -2, also ist f'3=-2. Da der Wendepunkt selber auch wieder auf der Wendetangente liegt, können wir die 1. Koordinate, also 3, in die Tangentengleichung einsetzen und das Ergebnis ist die 2. Koordinate. Also f von 3=-5. Hat man die Information der Punkt p 3,2 ist ein Wendepunkt, dann ist f von 3=2 und f'2 von 3=0. Wenn es sogar ein Sattelpunkt ist, dann ist die 1. und 2. Ableitung =0 an der Stelle. Und jetzt machen wir noch was ganz spektakuläres. Der Graph der Funktion hat im Punkt p 2,-1 eine Wendetangente, die orthogonal zur Parabel p von x=x²-2x ist. Fangen wir mal mit den einfachen Sachen an. f von 2=-1. Und wir haben einen Wendepunkt an dieser Stelle 2, also f'2von 2=0. Orthogonal zur Parabel heißt, orthogonal zu deren Tangente in x=2. Denn es geht ja um die Stelle x=2. Und für die Steigung der Tangente x=2 müssen wir erst einmal die Ableitung ausrechnen und dann dort die Stelle 2 einsetzen. Da kommt 2 raus. Dann wissen wir also, die Parabel hat an der Stelle x=2 die Steigung 2. Orthogonal zur Steigung 2 ist die Steigung -1/2. Da gibt es eine Formel, die sagt: Orthogonal zur Steigung m ist die Steigung -1/m. Dann ist also die Steigung unserer Funktion an dieser Stelle 2=-1/2. Jetzt machen wir noch ein letztes Beispiel. Eine Funktion 4. Grades hat im Ursprung die Wendetangente die Gleichung y=x und ein Extremum bei 1,2. Grad 4 heißt, wir fangen bei ax ^ 4 an. Im Ursprung macht sie irgendetwas, also f von 0=0. Da hat sie eine Wendetangente, also einen Wendepunkt, f'2 von 0=0. Und diese Tangente hat die Steigung 1. Also ist f'0 0=1. Dann haben wir noch den Punkt 1,2, also f von 1=2 und das ist ein Extremum, also ist f''1=0. Das war es erst einmal. Falls Ihr noch Eigenschaften von Funktionen findet, die ich hier noch nicht genannt habe und die euch Probleme bereiten, dann schreibt mir. Vielleicht finden sich dann mehrere Eigenschaften  und das reicht dann für ein neues Video.