Abgeleitete Einheiten und Vorsätze

Abgeleitete Einheiten und Vorsätze Übung

• Nenne Eigenschaften des SI-Einheitensystems.

  Tipps

  Dem Problem, dass in verschiedenen Ländern verschiedene Einheiten verwendet wurden, sollte mit dem SI-Einheitensystem entgegengewirkt werden.

  Lösung

  Die Kommunikation von Wissenschaftlern hat im Laufe der Zeit immer weiter zugenommen. Hiervon profitierte der wissenschaftliche Fortschritt allgemein: Erkenntnisse, die schon woanders auf der Welt gewonnen waren, mussten so nicht aufwendig reproduziert, sondern konnten direkt für die eigene Forschung genutzt werden. Hierbei zeigten sich aber immer wieder Schwierigkeiten, weil die Wissenschaftler zum Teil sehr verschiedene Größen und Einheiten verwendeten. Um Ergebnisse vergleichen zu können, mussten diese so immer erst in die gleichen Einheiten umgerechnet werden. Um diesem Problem entgegenzuwirken, vereinbarten Wissenschaftler Einheitensysteme, die überregional verwendet werden sollten. Es gibt viele solcher Systeme, aber das SI-System (Système international d’unités) ist das in der Welt am weitesten verbreitete Einheitensystem. Es wurde 1954 in Paris eingeführt.

• Nenne die Bedeutung der Einheitenvorsätze.

  Tipps

  In der linken Spalte musst du den Namen, in der mittleren Spalte das Symbol und in der rechten Spalte den Wert eintragen.

  Lösung

  Die Verwendung von Vorsätzen erleichtert einem besonders bei sehr großen oder sehr kleinen Werten einiges an Schreibarbeit. Bei der Verwendung lauern allerdings auch Gefahren: Häufig werden Einheitenvorsätze beim Rechnen vergessen, was zu falschen Ergebnissen führt. Die Symbole stehen hier tatsächlich für Zahlenwerte.

  Im Video wird gesagt, dass die Liste noch in beide Richtungen weitergeht. Hier siehst du Erweiterung in beide Richtungen:

  $\begin{array}{c|c|c} Wert & Name & Symbol\\ \hline 10^{18} & exa & E\\ 10^{15} & peta & P\\ 10^{12} & tera & T\\ ... & ... & ...\\ 10^{-9} & nano & n\\ 10^{-12} & piko & p\\ 10^{-15} & femto & f\\ \end{array}$

• Bestimme die abgeleiteten Einheiten.

  Tipps

  Die Einheiten Newton (N) der Kraft und Joule (J) der Arbeit sind abgeleitete Einheiten, die sich aus Basiseinheiten zusammensetzen. Alle Einheiten werden hier mit den Basiseinheiten ausgedrückt.

  Die Formelzeichen sind: Geschwindigkeit v, Zeit t, Strecke s, Beschleunigung a, Kraft F, Masse m und Arbeit W.

  Lösung

  Die Einheiten der Kraft (N) und der Arbeit (J) sind auch Einheiten des SI-Einheitensystems. Sie stellen jedoch keine Basiseinheiten dar und lassen sich demnach von den Basiseinheiten ableiten:

  $1\ N = 1\frac{kg\cdot m}{s^2}$

  $1\ J = 1\frac{kg\cdot m^2}{s^2}$

  Es gibt viele weitere Beispiele für abgeleitete Einheiten:

  Die Einheit der Frequenz: 1 Hertz = 1 $Hz$ = 1 $\frac{1}{s}$

  Die Einheit der Ladung: 1 Coulomb = 1 $C$ = 1 $A\cdot s$

  Die Einheit der Spannung: 1 Volt = 1 $V$ = 1 $\frac{kg\cdot m^2}{s^3\cdot A}$

• Berechne die Übertragungsdauer für ein digitales Bild mittels modernen W-Lans.

  Tipps

  Du musst zunächst das Datenvolumen (= Datengröße in bit) des Bildes berechnen, um anschließend die Übertragungsdauer ermitteln zu können.

  Das Bild hat eine Datenvolumen von 4 838 400 bit = 4,8384 Mbit.

  Lösung

  Zunächst muss das Datenvolumen (= Datengröße) des Bildes ermittelt werden. Hierfür ist die Übertragungsrate von 8 bit/s und die benötigte Dauer gegeben. Diese müssen multipliziert werden:

  $V_{Daten}=7\ d \cdot 8\ bit/s = (7 \cdot 24 \cdot 60 \cdot 60)\ s \cdot 8\ bit/s = 4838400\ bit$

  Um die Übertragungsdauer mittels W-Lan zu bestimmen, kann dieses Datenvolumen nun durch die angegebene Übertragungsrate geteilt werden:

  $t=\frac{4838400\ bit}{1\ Gbit/s}=\frac{4838400\ bit}{10^9\ bit/s}=0,0048384\ s \approx 5\ ms$

  Die Datenübertragung über ein modernes W-Lan-Netzwerk würde demnach eine Zeit von lediglich 5 ms in Anspruch nehmen.

• Nenne die Basisgrößen und die Einheiten des SI-Systems.

  Tipps

  Kilogramm (kg), die Einheit der Masse, hat als einzige Einheit des SI-Systems einen Vorsatz.

  Lösung

  Die SI-Einheit Kilogramm nimmt eine Sonderstellung ein, da sie die einzige Einheit des SI-Einheitensystems ist, die einen Vorsatz (kilo) hat. 1 Kilogramm entspricht demnach 1000 Gramm.

  Alle Basiseinheiten des SI-Systems sind (bis auf das Kilogramm) genau anhand von Naturkonstanten definiert:

  Ein Meter entspricht der Länge der Strecke, die Licht im Vakuum in der Zeit von 1/299792458 Sekunden durchläuft.

  Ein Kilogramm ist die Masse des in Paris aufbewahrten Kilogrammprototyps.

  Eine Sekunde ist das 9192631770-fache der Periodendauer der Strahlung, die beim Übergang zwischen den beiden Hyperfeinstrukturniveaus des Grundzustandes eines Cäsium-Atoms ausgesandt wird.

  Ein Ampere ist die Stärke eines konstanten elektrischen Stromes, der durch zwei parallel angeordnete Leiter von einem Meter Länge fließt und zwischen diesen eine Anziehungskraft von $2 · 10^{-7}$ Newton hervorrufen würde.

  Ein Kelvin ist der 273te Teil der thermodynamischen Temperatur des Tripelpunktes des Wassers.

  Ein Mol ist die Teilchenmenge, die in 12 Gramm Kohlenstoff enthalten ist.

  Ein Candela ist die Lichtstärke einer Strahlungsquelle, die Strahlung der Frequenz 540 · 1012 Hertz aussendet und deren Strahlstärke 1/683 Watt beträgt.

• Vergleiche die physikalische Leistung von Max mit der einer Windkraftanlage.

  Tipps

  Schaue dir die Einheiten nochmal ganz genau an.

  Die Leistung von Max ist in Watt (W) und die Leistung der Windkraftanlage in Megawatt (MW) angegeben.

  Lösung

  Max scheint in Annas Schilderung die Vorsätze vor den Einheiten überhört zu haben. Während Max auf seinem Fahrradtrainer eine nennenswerte Leistung von 400 Watt erreicht, schafft die Windkraftanlage bei gutem Wind eine Leistung von 2 Megawatt, was 2 000 000 Watt entspricht. Der Vorsatz "Mega" ersetzt hier den Faktor 1 000 000.

  Max hat sich hier in einen Vergleich begeben, den er nur verlieren kann. So entspricht die von ihm erzielte Leistung nur $\frac{400\ W}{2\cdot 10^6 W}\cdot 100=0,02\%$ der Leistung der Windkraftanlage. Man könnte demnach keineswegs einen Windpark durch ihn ersetzen. Im Gegenteil: es benötigte 5000 mal Max auf 5000 Fahrradtrainern, um die Leistung einer Windkraftanlage zu erzielen.

  Diese Gedanken können auch noch weitergeführt werden. So erreichen moderne Kohle- und Atomkraftwerke eine Leistung von bis zu 2 GW und ersetzen damit wiederum etwa 1000 Windkraftanlagen. Der größte Staudamm der Welt, der Drei-Schluchten-Damm in China, erreicht sogar eine Leistung von 18 GW. Man bräuchte 45 000 000 sehr sportliche Menschen wie Max auf Fahrradtrainern, um diese Leistung für einen kurzen Moment zu erzielen.