Schallgeschwindigkeit in unterschiedlichen Medien

Schallgeschwindigkeit – Definition

Schallgeschwindigkeit – Einflussfaktoren

Wie groß die Schallgeschwindigkeit in einer konkreten Situation ist, hängt von verschiedenen Faktoren ab.

Schallgeschwindigkeit – Temperatur

Einer dieser Faktoren ist die Temperatur: Wird ein Medium, zum Beispiel Luft, erwärmt, bewegen sich die einzelnen Luftteilchen schneller. Sie können dann die Schallschwingung schneller an andere Teilchen weitergeben, und die Schallgeschwindigkeit wird größer. Der allgemeine Zusammenhang zwischen Schallgeschwindigkeit und Temperatur für Luft lautet also:

Im Temperaturbereich zwischen $-20~^\circ\text{C}<\vartheta<40~^\circ\text{C}$ lässt sich die Schallgeschwindigkeit in Luft mit folgender Formel in guter Näherung berechnen:

$c_\text{Luft}=\left(331,5+0,6\frac{\vartheta}{^\circ\text{C}}\right)\frac{\text{m}}{\text{s}}$

Schallgeschwindigkeit – Elastizität

Eine weitere Einflussgröße bei Festkörpern ist die Elastizität des Mediums. Schall breitet sich in Festkörpern nämlich etwas anders aus, als beispielsweise in Luft, weil die Teilchen sich nicht völlig frei bewegen können. Das können wir leicht verstehen, wenn wir uns die Wechselwirkung der Teilchen wie im folgenden Bild vorstellen.

Die Teilchen werden hier durch Kugeln repräsentiert, die durch Schraubenfedern verbunden sind. Eine Schallwelle wäre in diesem Modell eine Auslenkung der Kugeln, die zu einer Streckung und Stauchung der Federn führt. Zu Beginn wirkt eine Kraft auf die äußerste Kugel (4), und staucht so die Feder zwischen den Kugeln (3) und (4). Die gestauchte Feder will sich aber wieder auf ihre ursprüngliche Länge ausdehnen, und beschleunigt dabei Kugel (4) nach rechts und Kugel (3) nach links, die wiederum die Feder zwischen (2) und (3) staucht. So wandert die Schallwelle von rechts nach links.
Je höher die Elastizität der Schraubenfedern, umso größer ist auch die Schallgeschwindigkeit. Deshalb ist auch in Materialien mit höherer Elastizität die Schallgeschwindigkeit größer. Allgemein ist die Schallgeschwindigkeit in Festkörpern und Flüssigkeiten größer als in Gasen. Das liegt daran, dass dort die Teilchen stärker gekoppelt sind, also die Wechselwirkung größer ist.

Schallgeschwindigkeit – Teilchenmasse

Insbesondere in Gasen hängt die Schallgeschwindigkeit auch von der Masse der Teilchen ab. Je leichter die Teilchen sind, desto weniger Energie wird benötigt, um sie in Bewegung zu versetzen. So kann sich die Schallwelle schneller ausbreiten. Ein sehr bekanntes Beispiel ist der Vergleich zwischen Luft und Helium. Luft besteht hauptsächlich aus Stickstoff und Sauerstoff, die beide etwa die 3,5-fache Masse von Helium haben. Deswegen ist die Schallgeschwindigkeit bei $20 \text{°C}$ in Helium etwa dreimal schneller als in Luft. Die höhere Geschwindigkeit führt auch zu der sehr hohen und piepsigen Stimme, die man durch das Einatmen von Helium bekommt.

Schallgeschwindigkeit bestimmen

Eine einfache experimentelle Bestimmung der Schallgeschwindigkeit funktioniert über eine Laufzeitbestimmung, also die Bestimmung der Zeit $t_\text{Lauf}$, die ein Schallsignal für das Zurücklegen einer bestimmten Strecke $s$ benötigt. Sie ergibt sich dann mit der Formel:

$c_\text{Schall}=\frac{s}{t_\text{Lauf}}$

Die Idee, das Mündungsfeuer als Startsignal zu nehmen, funktioniert deshalb so gut, weil die Geschwindigkeit des Lichts um so viel größer ist als die des Schalls, dass sie bei Entfernungen auf der Erde vernachlässigt werden kann.

Schallgeschwindigkeit in Gasen und Flüssigkeiten

In Flüssigkeiten und Gasen breitet sich der Schall ausschließlich als Longitudinalwelle ausbreitet, d. h. Schwingungsrichtung und Ausbreitungsrichtung sind gleich.

Die Schallgeschwindigkeit lässt sich unter diesen Umständen mithilfe der Dichte $\varrho$ und einer Konstante $K$ ausrechnen, die angibt, wie stark der Stoff bei einem bestimmten Druck $p$ sein Volumen verändert, dem sogenannten adiabatischen Kompressionsmodul.

Dabei gilt:

Schallgeschwindigkeit im idealen Gas

Mit dem Modell des idealen Gases, das unter Normalbedingungen reale Gase gut beschreibt, lässt sich das adiabatische Kompressionsmodul leicht ausrechnen, wenn man die herrschende Dichte und den Adiabatenexponenten $\varkappa$ kennt, der mit den Freiheitsgraden $f$ der beteiligten Gasteilchen zusammenhängt.

Es gilt: $K=\varkappa \cdot p$

Dabei ist in guter Näherung $\varkappa=\frac{f+2}{f}$

EIn einatomiges Gas, zum Beispiel ein Edelgas, hat $f=3$ Freiheitsgerade – es kann sich in alle drei Raumrichtungen bewegen. Ein zweiatomiges Gas wie Stickstoff ($\text{N}_{2}$) oder Sauerstoff ($\text{O}_{2}$), dessen Molekül einer Hantel gleicht, hat $f=5$ Freiheitsgrade – die drei Raumrichtungen sowie zwei Drehbewegungen senkrecht zur Achse. Außerdem lassen sich die Druck und Dichte eines idealen Gases mithilfe der Allgemeinen Gasgleichung und der molaren Masse $M$ des Gases berechnen. Dazu benötigen wir die universale Gaskonstante $R$, das Molvolumen $V_\text{mol}$ und seine absolute Temperatur $T$.

Es gilt die Dichtedefintion des idealen Gases

$\varrho=\frac{M}{V_\text{mol}}$

und die Allgemeine Gasgleichung für ein Mol

$pV_\text{mol}=RT$

Für den Quotienten aus $p$ und $\varrho$ ergibt sich dann:

$\frac{p}{\varrho}=\frac{\left(\frac{RT}{V_\text{mol}}\right)}{\left(\frac{M}{V_\text{mol}}\right)}=\frac{RT}{M}$

Damit können wir die Schallgeschwindigkeit in Luft berechnen.

Die allgemeine Gaskonstante ist $R=8,3145~\frac{\text{J}}{\text{mol}\cdot \text{K}}$.

Die molare Masse von können wir leicht in guter Näherung ausrechnen, wenn wir uns auf die Hauptbestandteile der Luft, Stickstoff und Sauerstoff, beschränken und berücksichtigen, dass der Stickstoffanteil etwa $78\,\%$ und der Sauerstoffanteil etwa $21\,\%$ ist. Die molare Masse von molekularem Stickstoff ist $M_\text{Stickstoff}=28~\frac{\text{g}}{\text{mol}}$, die von molekularem Sauerstoff $M_\text{Sauerstoff}=32~\frac{\text{g}}{\text{mol}}$.

$M_\text{Luft} \approx 0,78 \cdot 28~\frac{\text{g}}{\text{mol}}+0,21 \cdot 32~\frac{\text{g}}{\text{mol}} = 28,56~\frac{\text{g}}{\text{mol}}=0,02856~\frac{\text{kg}}{\text{mol}}$

Beide Gase, aus denen Luft hauptsächlich besteht, haben $f=5$ Freiheitsgerade. Wir betrachten Luft bei einer Temperatur von $\vartheta=20~^\circ \text{C}$.

Dann ist die absolute Temperatur $T=(273,15+20)~\text{K}=293,15~\text{K}$.

Es gilt also:

$c_\text{Schall}=\sqrt{\frac{K}{\varrho}}=\sqrt{\frac{\varkappa \cdot p}{\varrho}}=\sqrt{\varkappa \cdot \frac{RT}{M}}=\sqrt{\frac{f+2}{f} \cdot \frac{RT}{M}}$

$c_\text{Schall}=\sqrt{\frac{5+2}{5} \cdot \frac{8,3145~\frac{\text{J}}{\text{mol}\cdot \text{K}} \cdot 293,15~\text{K}}{0,02856~\frac{\text{kg}}{\text{mol}}}} \approx 346~\frac{\text{m}}{\text{s}}$

Dies ist zwar nicht genau der Wert, der gemessen wird, aber er wurde ja auch mit starken Vereinfachungen und unter Vernachlässigung anderer Luftanteile, wie z. B. der Luftfeuchtigkeit, ermittelt.

Schallgeschwindigkeit im Alltag

Wenn wir im Alltag von Schallgeschwindigkeit sprechen, meinen wir damit üblicherweise die Schallgeschwindigkeit in Luft. Neben Druckwellen bei Explosionen können sich sogar einige von Menschen gebaute Objekte schneller bewegen als die Schallgeschwindigkeit – Flugzeuge zum Beispiel. Die Concorde, eine französisch-britische Passagiermaschine, erreichte schon 1962 mit $2.405~\frac{\text{km}}{\text{h}}$ mehr als doppelte Schallgeschwindigkeit!

Schallgeschwindigkeit – Gewitter

Es gibt ein schönes Alltagsbeispiel, in dem du dein Wissen über die Schallgeschwindigkeit in der Luft nutzen kannst. Wenn ein Gewitter aufzieht, ist es gut zu wissen, wie weit es noch entfernt ist. Wenn es in weiter Entfernung blitzt, seht ihr den Blitz sofort, weil das Licht sich extrem schnell ausbreitet. Der Schall braucht in Luft allerdings eine ganze Weile, bis er dich erreicht, weil er nur etwa 343 Meter pro Sekunde zurücklegt. Wenn du also die Sekunden zwischen Blitz und Donner zählst, kannst du die Entfernung mithilfe der Schallgeschwindigkeit berechnen. Näherungsweise kannst du die Sekunden durch drei teilen, und erhältst so die ungefähre Entfernung in Kilometern.

Schallgeschwindigkeit Vakuum

Vielleicht hast du schon einmal einen Science-Fiction-Film gesehen, der im Weltraum spielt, und dich gefragt: „Wie hoch ist die Schallgeschwindigkeit im Vakuum?“. Die Antwort ist einfach: Im Vakuum gibt es keinen Schall, also auch keine Schallgeschwindigkeit. Du hast heute schon gelernt, dass Schallwellen Druckschwankungen sind, die sich in einem Medium ausbreiten. Im Vakuum gibt es aber keine Teilchen, und deswegen kann es auch keine Schallwellen geben und man kann im Weltall keine Schallgeschwindigkeit messen. Wenn man im Weltall ohne Helm überleben könnte, würde man also nichts hören. Wenn du also das nächste Mal einen Science-Fiction-Film siehst, in dem es im Weltall bei Explosionen laut knallt, kannst du deinen Eltern sagen, dass das in Wahrheit gar nicht sein kann.

Schallgeschwindigkeit – Zusammenfassung

Hier kannst du schnell sehen, dass sich der Schall in festen Materialien, wie zum Beispiel Eisen, wesentlich schneller ausbreitet als in Luft.

Häufig gestellte Fragen zu Thema Schallgeschwindigkeit