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Freier Fall als beschleunigte Bewegung

Der freie Fall beschreibt die Bewegung eines fallenden Körpers unter Einfluss der Schwerkraft, bei Vernachlässigung des Luftwiderstands. Die Fallbeschleunigung beträgt etwa 9,81 m/s². Lerne, wie man die Bewegung mit verschiedenen Formeln beschrieben kann, um die Fallzeit und die Aufprallgeschwindigkeit zu berechnen. Natürlich helfen wir dir mit den Gleichungen!

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Team Digital
Freier Fall als beschleunigte Bewegung
lernst du in der Sekundarstufe 3. Klasse - 4. Klasse - 5. Klasse

Grundlagen zum Thema Freier Fall als beschleunigte Bewegung

Freier Fall – einfach erklärt

Der freie Fall ist eine faszinierende Sache. Ob beim Fallschirmspringen, Bungee Jumping oder auf dem Jahrmarkt: Menschen sind fasziniert von der Beschleunigung, die man dabei erfährt. Dass der freie Fall auch physikalisch interessant ist, davon handelt dieser Text. Und natürlich erfährst du hier auch, wie du mit dem freien Fall rechnen kannst.

Der freie Fall ist eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit der Erdbeschleunigung $g$, die in diesem Zusammenhang auch Fallbeschleunigung genannt wird.
Der freie Fall ist eine Vereinfachung einer realen Fallbewegung, da dabei die bremsende Wirkung des Luftwiderstandes vernachlässigt wird.

Wahrscheinlich bist du noch nicht selbst mit einem Fallschirm gesprungen, aber auch bei manchen Fahrgeschäften auf der Kirmes kannst du erfahren, wie sich der freie Fall anfühlt. Doch was ist überhaupt ein freier Fall und wie kann er physikalisch beschrieben werden? Diese und weitere Fragen sollen im Folgenden geklärt werden.

Der freie Fall beschreibt die idealisierte Bewegung eines nach unten fallenden Körpers unter Einfluss der Schwerkraft bzw. der Gravitation. Der Luftwiderstand wird dabei vernachlässigt. Ein einfaches Beispiel wäre das Fallenlassen eines Steins.

Freier Fall eines Steins

Es handelt sich dabei um eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung, deren konstante Beschleunigung die Fallbeschleunigung ist. Auf der Erde entspricht diese der Erdbeschleunigung bzw. dem Ortsfaktor $g$.

Die Fallbeschleunigung bzw. der Ortsfaktor ist vor allem eine Folge der Gravitationskraft der Erde, deren Wirkung die Gewichtskraft $F_\text{G}$ von Körpern ist.

Es gilt: $F_\text{G}=m \cdot g$.

Dabei ist $m$ die Masse des Körpers.

Der Ortsfaktor ist allerdings nicht ganz konstant auf der Erde. Dies liegt zu einem am breitengradabhängigen Einfluss der Zentripetalkraft, zum anderen am Höhenprofil der Erde und der Abweichung der Erde von der Kugelgestalt.
Als guter Mittelwert, welcher der Realität (auf der Erde) sehr nahe kommt, wird der Wert $g=9{,}81~\frac{\text{m}}{\text{s}^2}$ verwendet.

Freier Fall – die wichtigsten Formeln

Bevor wir uns die Bewegungsgesetze genauer ansehen, mit denen der freie Fall physikalisch beschrieben werden kann, stellen wir erstmal die beiden wichtigsten Formeln vor, die zur Lösung typischer Fragestellungen am häufigsten genutzt werden.

Am häufigsten wird nach der Fallzeit $t_\text{F}$ beim freien Fall gesucht. Diese lässt sich mit folgender Formel berechnen:

$t_\text{F}=\sqrt{\frac{2h}{g}}$

Dabei ist $h$ die Fallhöhe und $g$ der Ortsfaktor bzw. die Fallbeschleunigung.

Außerdem wird oft danach gefragt, welche Geschwindigkeit $v$ der Körper nach Ablauf der Fallzeit $t_\text{F}$ hat. Es wird also die Aufprallgeschwindigkeit oder Endgeschwindigkeit $v(t_\text{F})$ gesucht:

$v(t_\text{F})=\pm \sqrt{2gh}$

Für die Fallzeit $t_\text{F}$ sind nur positive Lösungen der Quadratwurzel sinnvoll. Das Vorzeichen der Geschwindigkeit $v(t_\text{F})$ ist allerdings abhängig von der Orientierung der Ortsachse, auf die wir im Folgenden noch näher eingehen.

Freier Fall – Bewegungsgesetze

Nun sehen wir uns genauer an, wie die oben genannten Formeln zustande kommen bzw. wie sie aus den Bewegungsgesetzen der gleichmäßig beschleunigten Bewegung folgen.

Orientierung der Ortsachse

Bevor wir die Bewegungsgesetze für den freien Fall aufstellen, mit denen wir Aussagen über Fallzeiten, Aufprallgeschwindigkeiten und ähnliche Größen machen können, müssen wir uns zunächst über die Orientierung der Ortsachse Gedanken machen.

Die einfachsten Gleichungen erhalten wir mit einer nach unten orientierten Ortsachse.
Hierbei stellst du sozusagen die Welt auf den Kopf. Du lässt den Gegenstand in der Höhe $h$ über dem Boden beim Punkt $0$ los, d. h. der Startpunkt des freien Falls ist als $y(0)=0$ definiert.
Er trifft dann nach der Fallzeit $t_\text{F}$ auf dem Erdboden auf, der dann die Ortskoordinate $y(t_\text{F})=h$ erhält.
Der Vorteil dieses Vorgehens ist, dass keine negativen Werte auftreten.

Bei einer nach oben orientierten Ortsachse ist der Nullpunkt hingegen auf dem Boden und die Ortsachse zeigt nach oben.

freier fall

Der Gegenstand wird zum Zeitpunkt $t=0$, also zu Beginn der Zeitmessung, losgelassen und befindet sich an der Position $y_0=y(0)=h$. Nach der Fallzeit $t_{F}$ erreicht er den Boden und damit die Position $y(t_\text{F})=0$.
Dieses Vorgehen bildet die Realität zwar sehr genau ab, hat aber den Nachteil, dass zum Beispiel die Geschwindigkeit negativ wird. Das liegt daran, dass die Bewegungsrichtung des fallenden Körpers vom Startpunkt auf der Höhe $h$ hin zu Nullpunkt am Erdboden zeigt und nicht vom Nullpunkt aus startet, wie das bei anderen Bewegungen üblicherweise der Fall wäre.

Freier Fall – Bewegungsgesetze Übersicht

Es gelten die Bewegungsgesetze der gleichmäßig beschleunigten Bewegung.

Ortachse Beschleunigungs-Zeit-Gesetz Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz Weg-Zeit-Gesetz
nach unten $a(t)=g$ $v(t)=gt$ $y(t)=\dfrac{1}{2}gt^2$
nach oben $a(t)=-g$ $v(t)=-gt$ ${y(t)=h-\dfrac{1}{2}gt^2}$

Auf die einzelnden Gleichungen wollen wir nun noch genauer eingehen.

Freier Fall – Weg-Zeit-Gesetz

Das Weg-Zeit-Gesetz der gleichmäßig beschleunigten Bewegung lautet allgemein:

$y(t)=\dfrac{1}{2} a t^2+v_0 t + y_0$

Dabei ist $v_0=v(0)$ die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt $t=0$, also zu Beginn der Zeitmessung, und $y_0=y(0)$ der Ort zu diesem Zeitpunkt.

Beim freien Fall hat der Körper im Allgemeinen keine Anfangsgeschwindigkeit, daher ist $v_0=0$ und das Weg-Zeit-Gesetz vereinfacht sich zu:

$y(t)=\dfrac{1}{2} a t^2 + y_0$

Bei der nach unten orientierten Ortsachse wird der Körper zum Zeitpunkt $t=0$, also zu Beginn der Zeitmessung, am Nullpunkt, also bei $y(0)=0$, losgelassen. Dementsprechend gilt bei der nach unten orientierten Ortsachse:

$y_0=y(0)=0$

Die Beschleunigung $a$ entspricht der Fallbeschleunigung $g$. Sie zeigt in dieselbe Richtung wie die Ortsachse, nach unten. Deshalb gilt:

$a=g$

Daher lautet das Weg-Zeit-Gesetz bei der nach unten orientierten Ortsachse also:

$y(t)=\dfrac{1}{2} a t^2 + 0 = \dfrac{1}{2} g t^2$

Bei der nach oben orientierten Ortsachse wird der Startpunkt nicht als Nullpunkt angesehen, sondern liegt auf der Höhe $h$. Es gilt also:

$y_0=y(0)=h$

Die Beschleunigung $a$ ist wieder die Fallbeschleunigung $g$. Da aber jetzt die Ortsachse und damit die Geschwindigkeits- und Beschleunigungsachse nach oben orientiert ist, wirkt die Fallbeschleunigung nach dieser Anschauung in die entgegengesetzte Richtung. Daher gilt:

$a=-g$

Deshalb lautet das Weg-Zeit-Gesetz bei nach oben orientierter Ortsachse:

$y(t)=-\dfrac{1}{2} g t^2 + h = h - \dfrac{1}{2} g t^2$

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Freier Fall – Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz

Das allgemeine Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz der gleichmäßig beschleunigten Bewegung lautet:

$v(t)=at+v_0$

Wir haben schon festgestellt, dass die Anfangsgeschwindigkeit $v_0=v(0)=0$ ist. Im Allgemeinen steht der Körper ja still und wird einfach losgelassen. Also gilt vereinfacht:

$v(t)=at$

Für die Beschleunigung $a$ gilt dasselbe wie oben. Damit ergibt sich für die nach unten orientierte Ortsachse:

$v(t)=gt$

Für die nach oben gerichtete Ortsachse gilt hingegen:

$v(t)=-gt$

Das Vorzeichen der Geschwindigkeit ist hier negativ, weil sie ja in die andere Richtung zeigt als die Ortsachse, nämlich nach unten.

Freier Fall – Beschleunigung-Zeit-Gesetz

Die grundlegende Eigenschaft der gleichmäßig beschleunigten Bewegung ist, dass die Beschleunigung $a$ konstant ist. Beim freien Fall ist diese konstante Beschleunigung die Fallbeschleunigung $g$.

Aufgrund der Orientierung der Achsen gilt für die nach unten orientierte Ortsachse:

$a(t)=g$

Für die nach oben orientierte Ortsachse gilt hingegen:

$a(t)=-g$

Freier Fall – Ort-Geschwindigkeit-Gesetz

Interessant ist auch der Zusammenhang zwischen Ort und Geschwindigkeit. Wie schnell ist der Körper an welchem Ort der Fallstrecke? Auch hier ist die Formel abhängig von der gewählten Ortsachsenorientierung.

Wir schauen uns zunächst den Fall für die nach unten gerichtete Ortsachse an. Wir kennen die folgenden Gesetze:

$y(t)=\dfrac{1}{2} g t^2$

$v(t)=g t$

Wir suchen nun einen Zusammenhang zwischen $y$ und $v$, der ohne die Variable $t$, also die Zeit, auskommt.
Das einfachste Vorgehen ist, eine der beiden Gleichungen nach $t$ aufzulösen. Wir machen dies vernünftigerweise mit der einfacheren Gleichung und lassen für eine bessere Übersichtlichkeit das Argument (“von t”) weg:

$v=g t~~~\vert~:g$

$t=\dfrac{v}{g}$

Diesen Ausdruck setzen wir nun in das Weg-Zeit-Gesetz ein:

$y=\dfrac{1}{2}g\color{red}{t^2}\color{black}{=\dfrac{1}{2}g}\color{red}{\left(\dfrac{v}{g}\right)^2}\color{black}{=\dfrac{v^2}{2g}}$

Für die nach unten orientierte Ortsachse ergibt sich also folgendes Weg-Geschwindigkeit-Gesetz:

$y=\dfrac{v^2}{2g}$

Für die nach oben orientierte Ortsachse haben wir schon folgende Gesetze hergeleitet:

$y(t)=h-\dfrac{1}{2}gt^2$

$v(t)=-gt$

Unser Vorgehen bleibt genauso wie bei der nach unten orientierten Ortsachse:

$v=-gt~~~\vert~:g$

$t=-\dfrac{v}{g}$

Diesen Ausdruck setzen wir in das Weg-Zeit-Gesetz ein:

$y=h-\dfrac{1}{2}g\color{red}{t^2}\color{black}{=h-\dfrac{1}{2}g}\color{red}{\left(-\dfrac{v}{g}\right)^2}\color{black}{=h-\dfrac{v^2}{2g}}$

Für die nach oben orientierte Ortsachse ergibt sich also folgendes Weg-Geschwindigkeit-Gesetz:

$y=h-\dfrac{v^2}{2g}$

Anwendbarkeit der Gesetze

Nun wollen wir noch näher auf die Anwendungsbereiche der hergeleiteten Formeln eingehen und auf welche Zusammenhänge wir dabei achten sollten.

  • Die Gleichungen des freien Falls führen nur beim Fall durch ein Vakuum zu wirklich exakten Ergebnissen.
  • Wie in den Gleichungen zu erkennen ist, ist der freie Fall von der Masse $m$ des Körpers unbeeinflusst! Daher fallen beispielsweise eine Feder und eine gleich große Stahlkugel (im Vakuum, also ohne Luftwiderstand) gleich schnell.
  • In der Luft gelten die Gesetze des freien Falls nur für Körper mit einem geringen Luftwiderstand, zum Beispiel für einen Stein, oder für geringe Fallhöhen bzw. kurze Fallstrecken, wie etwa beim Sprung vom Drei-Meter-Brett im Schwimmbad.
  • Bei allen übrigen Fällen bewirkt der Luftwiderstand, dass sich irgendwann die Reibungskraft und die Schwerkraft aufheben, sodass sich der Körper ab diesem Zeitpunkt mit einer konstanten Geschwindigkeit, also geradlinig-gleichförmig, bewegt (da keine beschleunigende Kraft mehr wirkt).

Freier Fall – Herleitung der wichtigsten Formeln

Wir wollen, ausgehend von den aufgestellten Bewegungsgleichungen, die beiden wichtigsten Formeln des freien Falls für beide Achsenorientierungen herleiten.

Herleitung der wichtigsten Formeln – nach unten orientierte Ortsachse

Nach Ablauf der Fallzeit $t_\text{F}$ hat der Körper den Boden erreicht. Dann gilt (bei der gewählten Achsenorientierung):

$y(t_\text{F})=h$

Nutzen wir nun das entsprechende Weg-Zeit-Gesetz, ergibt sich:

$h=\dfrac{1}{2} g t_{\text{F}}^2$

Diese Gleichung lösen wir nun nach $t_\text{F}$ auf:

$h=\dfrac{1}{2}gt_{\text{F}}^2~~~\big\vert ~\cdot \dfrac{2}{g}$

$t_{\text{F}}^2=\dfrac{2h}{g}~~~\big\vert ~\sqrt{~}$

$t_\text{F}=\sqrt{\frac{2h}{g}}$

Für die Aufprallgeschwindigkeit $v(t_\text{F})$ gilt dann:

$v(t_\text{F})=gt_\text{F}=g\sqrt{\dfrac{2h}{g}}=\sqrt{\dfrac{2\color{red}{g^{2}}\color{black}{h}}{\color{red}{g}}}\color{black}{=\sqrt{2gh}}$

(An der rot markierten Stelle wurde einmal $g$ von außen in die Wurzel gezogen, um es kürzen zu können.)

Herleitung der wichtigsten Formeln – nach oben orientierte Ortsachse

Nach Ablauf der Fallzeit $t_\text{F}$ hat der Körper den Boden erreicht. Dann gilt (bei der gewählten Achsenorientierung):

$y(t_\text{F})=0$

Nutzen wir nun das entsprechende Weg-Zeit-Gesetz, ergibt sich:

$0=h-\dfrac{1}{2} g t_{\text{F}}^2$

Diese Gleichung lösen wir nun nach $t_\text{F}$ auf:

$0=h-\dfrac{1}{2}gt_{\text{F}}^2~~~\big\vert ~+\dfrac{1}{2} g t_{\text{F}}^2$

$h=\dfrac{1}{2}gt_{\text{F}}^2~~~\big\vert~\cdot \dfrac{2}{g}$

$t_{\text{F}}^2=\dfrac{2h}{g}~~~\big\vert ~\sqrt{~}$

$t_\text{F}=\sqrt{\dfrac{2h}{g}}$

Für die Aufprallgeschwindigkeit $v(t_\text{F})$ gilt dann:

$v(t_\text{F})=-gt_\text{F}=-g\sqrt{\dfrac{2h}{g}}=-\sqrt{\dfrac{2\color{red}{g^{2}}\color{black}{h}}{\color{red}{g}}}\color{black}{=-\sqrt{2gh}}$

(An der rot markierten Stelle haben wir wieder einmal $g$ von außen in die Wurzel gezogen, damit wir es zumindest einmal kürzen können.)

Freier Fall – berechnen

Im Folgenden werden typische Aufgaben für den freien Fall beschrieben und gelöst. Natürlich kannst du zunächst einmal selbst probieren, die Aufgaben durchzurechnen, bevor du dir jeweils die Lösungswege ansiehst.

Physikalische Bestimmung einer Höhe

Wenn man ein Steinchen von einer Brücke in einen Bach fallen lässt, kann man aus der Fallzeit $t_\text{F}$ in etwa die Höhe der Brücke berechnen. Durch den realen Luftwiderstand und die meist kurzen Fallzeiten ist der Messfehler jedoch relativ groß.

Wenn das Steinchen zwei Sekunden benötigt, bis es ins Wasser eintaucht, lässt sich die Fallhöhe (die ungefähr der Höhe der Brücke entspricht) wie folgt berechnen:

Gegeben:

$t_\text{F}=2~\text{s}$

$g=9{,}81~\frac{\text{m}}{\text{s}^2}$

Die einfachere Rechnung dürfte sich mit nach unten orientierter Ortsachse ergeben. Dann können wir wie folgt vorgehen:

Gesucht:

$h=y(t_\text{F})=y(2~\text{s})$

Formel:

$y(t)=\dfrac{1}{2}gt^2$

Rechnung:

$h=y(2\,\text{s})=\frac{1}{2} \cdot 9{,}81~\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot (2~\text{s})^2=19{,}62~\text{m} \approx 20~\text{m}$

Die Brücke ist also in etwa $20~\text{m}$ hoch.

Berechnung der Fallzeit

Wie lange ist ein Stein unterwegs zum Boden, der aus einer Höhe von $h=25~\text{m}$ fallengelassen wird?

Gegeben:

$h=25~\text{m}$

$g=9{,}81~\frac{\text{m}}{\text{s}^2}$

Gesucht:

$t_\text{F}$

Die Formel für die Fallzeit $t_\text{F}$ ist für beide möglichen Achsenorientierungen gleich.

Formel:

$t_\text{F}=\sqrt{\dfrac{2h}{g}}$

Rechnung:

$t_\text{F}=\sqrt{\dfrac{2\cdot 25~\text{m}}{9{,}81~\frac{\text{m}}{\text{s}^2}}} = 2{,}26~\text{s} \approx 2{,}3~\text{s}$

Der Stein ist in etwa $2{,}3~\text{s}$ lang unterwegs.

Anwendungsaufgabe zum freien Fall

Wir wollen uns die Bedeutung der quadratischen Abhängigkeit der Fallstrecke von der Zeit in einer kleinen experimentellen Anwendung verdeutlichen:
An einer Schnur befestigen wir einzelne Gewichte in gleichbleibendem Abstand zueinander. Dann halten wir die Schnur an einem Ende fest und senkrecht über dem Boden. Wenn wir die Schnur nun fallen lassen, wird ein immer schnelleres Aufschlagen der aufeinanderfolgenden Gewichte auf dem Boden zu hören sein, da die Schnur immer schneller fällt, also im Fallen beschleunigt.

Wie (also in welchen Abständen) müsste man die Gewichte an der Schnur befestigen, damit sie möglichst gleichmäßig, zum Beispiel immer im zeitlichen Abstand von $0{,}2~\text{s}$, auf dem Boden aufschlagen?

Wir gehen von einer nach unten orientierten Ortsachse aus. Demnach nutzen wir folgende Gleichung:

$y(t)=\frac{1}{2} g t^2$

Bei unserem Experiment interessiert uns die Fallhöhe zwischen zwei aufeinanderfolgenden Gewichten an der Schnur. Diese lässt sich aus der Fallzeit zwischen zwei entsprechenden Aufprallgeräuschen berechnen, die ja für jeweils zwei aufeinanderfolgende Gewichte immer $0{,}2~\text{s}$ betragen soll. Vom Anfang der Schnur gesehen werden sich die verschiedenen Fallzeiten und Fallhöhen aufaddieren, sobald wir die Schnur loslassen. Demnach gibt die Fallhöhe $y(t)$ den jeweiligen Abstand eines Gewichtes vom Anfang der Schnur an und die dazugehörige Fallzeit $t_\text{F}$ ist ein Vielfaches des gewünschten zeitlichen Abstandes von $0{,}2~\text{s}$. Beispielsweise sollten beim Aufprallen des dritten Gewichtes auch dreimal $0{,}2~\text{s}$, also $0{,}6~\text{s}$ vergangen sein. So lassen sich mit der Gleichung des Weg-Zeit-Gesetzes die Fallhöhen berechnen:

$y_1(t)=\frac{1}{2} g t_1^2 = \frac{1}{2} \cdot 9{,}81~\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot (1 \cdot 0{,}2~\text{s})^2=19{,}6~\text{cm}$

$y_2(t)=\frac{1}{2} g t_2^2 = \frac{1}{2} \cdot 9{,}81~\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot (2 \cdot 0{,}2~\text{s})^2=78{,}5~\text{cm}$

$y_3(t)=\frac{1}{2} g t_3^2 = \frac{1}{2} \cdot 9{,}81~\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot (3 \cdot 0{,}2~\text{s})^2=177~\text{cm}$

Der Anfang der Schnur entspricht der Position $y(0)=0$. Von diesem Punkt aus gesehen müssten die ersten drei Gewichte also an folgenden Positionen auf der Schnur befestigt werden:

$\begin{array}{l|c|c|c|c} t \text{ in s}&0&0,2&0,4&0,6 \\ \hline y(t) \text{ in cm}&0&19,6&78,5&177 \end{array}$

Will man die Abstände zwischen den Gewichten berechnen, müssen die entsprechenden Differenzen zwischen zwei aufeinanderfolgenden (aufaddierten) Fallhöhen gebildet werden. Demnach liegt das erste Gewicht $y_1(t)-0=19{,}6~\text{cm}$ vom Anfang der Schnur entfernt. Das zweite Gewicht befindet sich $y_2(t)-19{,}6~\text{cm}=58{,}9~\text{cm}$ entfernt vom ersten und das dritte Gewicht wiederum $y_3(t)-58{,}9~\text{cm}=118~\text{cm}$ vom zweiten entfernt. Die Abstände zwischen den Gewichten dürfen also nicht gleich groß sein, sondern müssen quadratisch zunehmen, damit die zugehörigen Aufprallgeräusche in gleichmäßigen zeitlichen Abständen zu hören sind.

Zusammenfassung des freien Falls

  • Der freie Fall ist eine geradlinige, gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit der Anfangsgeschwindigkeit $v_0=0$. In der Regel wird ohne Luftwiderstand und Reibung gerechnet.
  • Die Beschleunigung beim freiem Fall ist gleich der Fallbeschleunigung bzw. dem Ortsfaktor $g$. Auf der Erde gilt: $g=9{,}81~\frac{\text{m}}{\text{s}^2}$.
  • Beim freiem Fall gelten die Bewegungsgesetze der gleichmäßig beschleunigten Bewegung. Die dabei zurückgelegte Strecke wird als Fallhöhe $h$ bezeichnet, wobei darauf geachtet werden muss, ob mit $h=0$ der Startpunkt des Falles oder der Endpunkt auf dem Erdboden gemeint ist.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Freier Fall

Welche Art von Bewegung ist der freie Fall?
Wie berechnet man den freien Fall?
Wie wird die Fallbeschleunigung berechnet?
Wie berechnet man die Fallzeit?
Wie lange fällt man aus $\pu{4000 m}$?
Wie schnell wird eine Kugel im freien Fall?
Hat die Masse einen Einfluss auf die Fallgeschwindigkeit?
Wie ändert sich die Schwerkraft beim Fallen?
Was ist der freie Fall?
Wie ist die Formel für den freien Fall?
Wann liegt ein freier Fall vor?
Was fällt schneller, $1~\text{kg}$ oder $10~\text{kg}$?
Wird ein Stein beim Fallen schneller?
Wie schnell kann man maximal fallen?
Wird man im Fall schneller?
Wie schnell fällt man pro Sekunde?
Wie ändert sich die Schwerkraft beim Fallen?
Welche Kraft wirkt auf einen frei fallenden Körper?
Warum fällt ein Stein schneller zu Boden als eine Feder?
Wie ist die Fallgeschwindigkeit?
Wie schnell erreicht man die maximale Fallgeschwindigkeit?
Warum ist der freie Fall eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung?
Welchen Einfluss hat der Luftwiderstand auf die Fallbewegung eines Körpers?

Transkript Freier Fall als beschleunigte Bewegung

Vicky ist im Rausch der Beschleunigung! Kite-Surfen hat sie diese Woche schon gemacht, Bungee-Jumping hat sie hinter sich, und auch Snowboarden ist schon wieder ein alter Hut. Jetzt ist "Fallschirmspringen" angesagt – also ein beherzter Sprung aus einem Flugzeug! Bis sie den Fallschirm öffnet, wird das ein "Freier Fall als beschleunigte Bewegung" sein. Da wollen wir uns mal ein Beispiel an Vicky nehmen und uns den "Freien Fall" genauer ansehen. "Fallen" bedeutet, durch die Gravitationskraft der Erde angezogen zu werden. Das werden wir natürlich die ganze Zeit, aber meistens ist dabei der Erdboden im Weg, der uns aufhält. Dass wir dabei trotzdem der Gravitationskraft entgegenwirken müssen, merkst du daran, dass es ganz schön anstrengend sein kann, längere Zeit zu stehen. Haben wir mal keinen Boden unter den Füßen, fallen wir frei nach unten. "Frei" heißt in dem Zusammenhang "geradlinig" und ohne dass wir Reibung und Luftwiderstand berücksichtigen. "Nach unten" heißt streng genommen "hin zum Mittelpunkt der Erde". Denn die "Erdbeschleunigung g", die aus der Gravitationskraft der Erde resultiert, wirkt zum Mittelpunkt der Erde hin. Sie ist näherungsweise auf der gesamten Erdoberfläche konstant und beträgt rund "neun-Komma-acht-eins Meter pro Sekunde-Quadrat". Der freie Fall ist also eine "gleichmäßig beschleunigte Bewegung" mit der FALL-Beschleunigung "g". Außerdem gilt, dass der frei fallende Körper vor dem Fall "in Ruhe" ist, das heißt, seine Anfangsgeschwindigkeit "v-null" ist gleich Null. In Vickys Fall fliegt sie zwar vor dem Absprung mit der Geschwindigkeit des FLUGZEUGS über den Himmel, aber für uns ist nur die Geschwindigkeit in FALLRICHTUNG interessant – und diese ist zu Beginn "Null". Für ihre "Fallgeschwindigkeit" und "Fallstrecke", also die Strecke, die sie in Fallrichtung zurücklegt, gelten also die Gleichungen der gleichmäßig beschleunigten Bewegung, mit dem Wert "g" der Fallbeschleunigung. "t" ist die "Fallzeit", also die Dauer des Falls. DIE können wir ausrechnen, wenn wir die Flughöhe des Flugzeugs kennen, hier "zweitausend Meter". Die FLUG-Höhe ist ja auch die FALL-Höhe und damit die Gesamtfallstrecke. Da es sich um Höhen handelt, nimmt man hier oft die Bezeichnung "h" statt "s". Damit haben wir schon alles, was wir brauchen und müssen die Gleichung nur noch nach "t" auflösen. Dazu nehmen wir beide Seiten "mal zwei" und teilen durch "g". Jetzt müssen wir noch die Wurzel ziehen – und schon haben wir das Ergebnis: zwanzig-Komma-zwei Sekunden. Natürlich ist Vicky in Wirklichkeit LÄNGER unterwegs, denn sie wird ja hoffentlich irgendwann den Fallschirm auslösen und durch den Luftwiderstand gebremst. Aber nehmen wir an, sie fällt die ersten fünfzehn Sekunden "frei", also ohne Luftwiderstand – welche Fallstrecke wird sie in dieser Zeit zurücklegen? Setzen wir ein. Sie schafft rund "eintausendeinhundert Meter" – also schon über die Hälfte der Flughöhe. Vicky wäre dann also noch "neunhundert Meter" über dem Boden, wenn man die verbleibende Fallhöhe von dort aus betrachtet. Und wie SCHNELL wird sie dabei? Das können wir mit der Formel für die Geschwindigkeit berechnen. Hier kommen wir auf "einhundertsiebenundvierzig Meter pro Sekunde" – das sind rund "fünfhundertdreißig Kilometer pro Stunde"! So schnell kann ein Mensch im Freien Fall in Wirklichkeit gar nicht werden, denn der Luftwiderstand bremst deutlich, so dass maximal "zweihundert Kilometer pro Stunde" erreicht werden können. Die vereinfachten Annahmen, die in unseren Formeln stecken, werden hier also der Realität nicht ganz gerecht. Anders wäre das auf dem Mond. DORT gibt es so gut wie KEINEN Luftwiderstand – unsere Formeln würden also super passen! Allerdings herrscht auf dem Mond nicht die Erdbeschleunigung "g". Die Fallbeschleunigung durch die Gravitationskraft des Mondes beträgt nur ungefähr ein Sechstel der Erdbeschleunigung. Sie liegt bei "eins-Komma-sechs-zwei Meter pro Sekunde-Quadrat". Rechne doch mal aus, auf welche Geschwindigkeit man damit nach "fünfzehn Sekunden" Fall aus "zweitausend Metern" Höhe kommen würde! Pausiere das Video dafür kurz, bevor wir weitermachen. Während Vicky sich überlegt, ob ein Fallschirmsprung auf dem Mond wirklich eine gute Idee ist, fassen wir zusammen. Der Freie Fall ist eine "geradlinige, gleichmäßig beschleunigte Bewegung", mit der Anfangsgeschwindigkeit "Null" und der konstanten Fallbeschleunigung "g" auf der Erde. Es gelten die Formeln der beschleunigten Bewegung mit den Größen "Fallzeit t", "Fallgeschwindigkeit v" und "Fallstrecke oder -höhe h". Das kann für die Erde berechnet werden, aber beispielsweise auch für den Mond, wo eine geringere "Fallbeschleunigung" zu einer entsprechend geringeren "Fallgeschwindigkeit" führt. Vicky braucht nach ihrer "Action-Woche" aber erstmal ne Pause. Den Trip zum Mond hebt sie sich für ein andermal auf – und was machst du so?

1 Kommentar
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    Von David, vor etwa einem Jahr

Freier Fall als beschleunigte Bewegung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Freier Fall als beschleunigte Bewegung kannst du es wiederholen und üben.
  • Vervollständige den Text über den freien Fall.

    Tipps

    Ein anderes Wort für Gravitationskraft ist Schwerkraft.

    Die Gravitationskraft geht von der Masse der Erde aus. Sie wirkt also in Richtung des Massezentrums.

    Gleichförmig beschleunigt bedeutet, dass die Beschleunigung gleich bleibt, dass sich also die Kraft nicht verändert.

    Gleichförmig bedeutet, dass keine Beschleunigung wirkt.

    Geradlinig bedeutet, dass die Bewegung keine Kurven enthält.

    Lösung

    Die Gravitationskraft wird umgangssprachlich auch Schwerkraft genannt. Dieser Name ist intuitiv nachvollziehbar. Denn das, was sich anzieht, sind die schweren Massen von zwei Körpern – hier die Massen von der Erde und von der fallenden Person.
    Im Vergleich dazu kommt es zum Beispiel bei der elektromagnetischen Kraft auf die Ladung der Körper an.

    In guter Näherung ist die Masse der Erde gleichmäßig in einer Kugelsymmetrie verteilt. Dies erklärt zum einen, warum die Erdbeschleunigung überall auf der Erdoberfläche fast gleich ist, und zum anderen, warum die Kraft in Richtung des Erdmittelpunktes wirkt.

    Die Vernachlässigung von Reibung bzw. dem Luftwiderstand ist eine Vereinfachung gegenüber der Realität. Die bremsende Kraft der Luft ist proportional zu der Fallgeschwindigkeit zum Quadrat $(v^2)$. Da die Geschwindigkeit am Anfang des freien Falls null ist und nur allmählich ansteigt, ist die Vereinfachung für kurze Fallzeiten unerheblich.

    In der Physik sind die Schlagworte „gleichförmig“, „geradlinig“ und „beschleunigt“ sehr wichtig, weil sie einem sofort mitteilen, mit welchen mathematischen Formeln man die Bewegung beschreiben kann. Beim freien Fall handelt es sich um eine gleichförmig beschleunigte, geradlinige Bewegung.

    Geradlinig heißt, die Bewegung erfolgt nur in eine Richtung.

    Beschleunigt heißt, die Geschwindigkeit ändert sich mit der Zeit.

    Gleichförmig beschleunigt heißt, die Beschleunigung ist die ganze Zeit gleich. Das heißt, es ändert sich weder ihr Betrag noch ihre Richtung.

  • Ordne die physikalischen Größen ihren Bedeutungen zu.

    Tipps

    Die Fallbeschleunigung $g$ entspricht in allgemeineren physikalischen Formeln der Beschleunigung $a$. Eine Beschleunigung führt zu einer Geschwindigkeitsänderung.

    Die Fallhöhe $h$ entspricht in den üblichen Gleichungen der Mechanik der Strecke $s$, also einem zurückgelegten Weg.

    Die Fallgeschwindigkeit $v$ gibt an, wie schnell sich ein Körper im freien Fall bewegt.

    Lösung

    Der freie Fall lässt sich mit den Gleichungen für die gleichförmig beschleunigte, geradlinige Bewegung beschreiben. Es gilt:

    Geschwindigkeit $v$ zum Zeitpunkt $t$:

    $v(t) = a \cdot t + v_0$

    Zurückgelegte Strecke $s$ zum Zeitpunkt $t$:

    $s(t) = \dfrac{1}{2}\cdot a \cdot t^2 + v_0 \cdot t + s_0$

    Dabei ist $a$ die Beschleunigung. Größen mit einer kleinen tiefgestellten $0$ stehen für Anfangswerte. Das heißt, $v_0$ ist die Geschwindigkeit, die der Körper hatte, als die Messung begonnen hat, und $s_0$ ist der Abstand von einem gedachten Nullpunkt bei Start der Messung.

    Man kann den Startpunkt $s_0$ immer auf null setzen – dadurch ändert sich nichts an der Physik!

    Beim freien Fall setzen wir außerdem die Startgeschwindigkeit (in Fallrichtung) $v_0$ auf null. Die Beschleunigung ist hier die Fallbeschleunigung $g$. Der zurückgelegte Weg ist die Fallhöhe $h$.

    So vereinfachen und verändern sich die Formeln zu:

    Fallgeschwindigkeit $v$ zum Zeitpunkt $t$:

    $v(t) = g \cdot t$

    Fallhöhe bzw. Fallstrecke $h$ zum Zeitpunkt $t$:

    $h(t) = \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot t^2$

    Werfen wir abschließend noch einen Blick auf die Einheiten der ganzen Größen:

    • Die Fallzeit wird in $\text{s}$ angegeben,
    • die Fallbeschleunigung in $\frac{\text{m}}{\text{s}^2}$,
    • die Fallhöhe in $\text{m}$ und
    • die Fallgeschwindigkeit in $\frac{\text{m}}{\text{s}}$.

  • Berechne, wie lange es dauert, bis Newton vom Apfel getroffen wird.

    Tipps

    Die Fallhöhe $h$ ist die Distanz zwischen der ursprünglichen Höhe des Apfels und Newtons Kopf.

    Würde zum Beispiel ein Ziegel von einem $10~\text{m}$ hohen Dach auf ein $2~\text{m}$ hohes Auto fallen, wäre die Fallhöhe des Ziegels ${h = 10~\text{m} - 2~\text{m} = 8~\text{m}}$.

    Du musst die Fallhöhe $h$ und die Fallbeschleunigung $g$ in diese Gleichung einsetzen:

    $t = \sqrt{\dfrac{2\cdot h}{g}}$

    Dafür musst du zuerst die Fallhöhe $h$ berechnen.

    Die Fallbeschleunigung $g$ ist hier die Erdbeschleunigung.

    Lösung

    Zur Erinnerung: Die Formel für die Fallzeit ergibt sich durch die Umstellung der Formel der Fallhöhe.

    Du kannst die Formel für die Fallhöhe so umstellen:

    $\begin{array}{rll} h &= \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot t^2 &\vert \cdot 2\\ 2\cdot h &= g \cdot t^2 &\vert : g\\ \dfrac{2\cdot h}{g} &= t^2 &\vert \sqrt{\ }\\ t &= \sqrt{ \dfrac{2\cdot h}{g} } & \end{array}$

    Die Fallhöhe ist die Distanz zwischen der ursprünglichen Höhe des Apfels und Newtons Kopf, also:

    $h = 12~\text{m} - 1~\text{m} = 11~\text{m}$

    Setzen wir die Fallhöhe und die Erdbeschleunigung $g = 9{,}81 ~\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$ ein, ergibt sich:

    $t = \sqrt{ \dfrac{2 \cdot 11~\text{m} } {9{,}81~\frac{\text{m}} {\text{s}^2} }} = 1{,}50~\text{s}$

  • Bestimme die Tiefe des Brunnens.

    Tipps

    Achtung: Einheiten nicht vergessen!

    Du benötigst die Formel für die Fallstrecke.

    Die Formel für die Fallstrecke ist diese:

    ${h = \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot t^2}$

    Lösung

    Egal ob Fallschirmabsprung, Apfel oder Stein: Alles fällt auf der Erde im freien Fall mit der Erdbeschleunigung $g$ und folgt dabei den Gesetzen der gleichförmig beschleunigten, geradlinigen Bewegung.

    In dieser Aufgabe war die Fallstrecke gesucht. Dass sie hier $z$ und nicht $s$ oder $h$ heißt, ist unerheblich. Es gilt:

    $z(t) = \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot t^2$

    Wir wissen aus der Messung von Tim, dass die Fallzeit $t=3~\text{s}$ beträgt. In der Aufgabenstellung steht, dass du mit $g = 10~\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$ rechnen sollst. Setzen wir diese beiden Werte in die Formel ein, ergibt sich:

    $\begin{array}{ll} z(t) &= \dfrac{1}{2} \cdot 10~\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot (3~\text{s})^2\\ &= 5~\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 9~\text{s}^2\\ &= \color{#99CC00}{45~\text{m}} \end{array}$

    Hinweis:

    Bei dieser Rechnung haben wir ein paar Vereinfachungen gegenüber der Realität vorgenommen. Wie immer beim freien Fall bleiben Luftwiderstand und Reibung unbeachtet. Hier kommt aber noch eine zusätzliche Vereinfachung dazu: Bis Tim das Aufschlagen des Steins hört, muss der Schall auch noch vom Grund des Brunnens zu Tim zurücklaufen.

    Die gemessene Zeit setzt sich demnach zusammen aus der Fallzeit des Steins ($t_F$) und der Schalllaufzeit ($t_S$).

    Um die tatsächliche Tiefe des Brunnens zu bestimmen, müssen wir beide Zeiten zusammenrechnen. Mit der Fallzeit im freien Fall haben wir uns schon viel beschäftigt. Sie ist $t_F = \sqrt{\dfrac{2\cdot z}{g}}$. Die Schalllaufzeit ergibt sich aus der zurückgelegten Strecke des Schalls, also der Tiefe $z$ des Brunnens und der Schallgeschwindigkeit $v_S =340~\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$. Dann gilt:

    $\begin{array}{ll} 3~\text{s} &= t_F + t_S\\ &= \sqrt{\dfrac{2\cdot z}{g}} + \dfrac{z}{v_S} \end{array}$

    Diese Gleichung können wir mit einem kleinen Trick lösen: Wir denken uns eine neue Variable $x$ aus und definieren sie als $x :~= \sqrt{z}$. Mit dieser neuen Variable wird die Gleichung zu einer einfachen quadratischen Gleichung, die wir zum Beispiel mit der $pq$-Formel lösen können:

    $\begin{array}{ll} 3 &= \sqrt{\dfrac{2}{g}} \cdot x + \dfrac{1}{v_S} \cdot x^2\\ &\Rightarrow x^2 + v_S \cdot \sqrt{\dfrac{2}{g}} \cdot x - v_S \cdot 3 = 0 \end{array}$

    Mit der $pq$-Formel ermitteln wir:

    $x \approx 6{,}44$

    Mit unserer Definition $x :~= \sqrt{z}$ können wir jetzt leicht $z$ finden, indem wir das Ergebnis von $x$ quadrieren. Wir erhalten eine Brunnentiefe von $z \approx 41{,}47~\text{m}$.

    Durch die Vernachlässigung der Schalllaufzeit haben wir die Brunnentiefe also um etwa $3{,}5~\text{m}$ überschätzt.

    So oder so ist es jedoch keine gute Idee, dass Tim einfach in den Brunnen springt!

  • Vervollständige die Zusammenfassung der wichtigsten Gleichungen des freien Falls.

    Tipps

    Die Beschleunigung hat in dieser Aufgabe nicht – wie sonst üblich – das Formelzeichen $a$.

    Das Formelzeichen für die Fallgeschwindigkeit leitet sich von dem lateinischen Begriff „velocitas“ ab.

    Das Formelzeichen für die (Fall-)Strecke steckt im Wort. Manchmal wird beim freien Fall statt diesem Formelzeichen auch ein $h$ für Fallhöhe verwendet.

    Lösung

    Größen, die am Anfang eines physikalischen Vorgangs gemessen oder angenommen werden, werden üblicherweise mit einer kleinen tiefgestellten Null gekennzeichnet. Gemeint ist der Zeitpunkt $t=0$. Es ist also nur eine Kurzschreibweise für $v(t=0)=v_0$ und sagt im Allgemeinen nichts über den konkreten Wert der Größe aus. Beim freien Fall nehmen wir aber an, dass der fallende Körper vorher in Ruhe war, also eine Anfangsgeschwindigkeit $v_0=0$ in Fallrichtung hat.

    Die Fallbeschleunigung $g$ ist annähernd eine Konstante mit dem Wert $9{,}81~\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$ auf der Erde. Sollst du irgendetwas zum freien Fall ausrechnen, weißt du, dass du für $g$ keine Information aus der Aufgabe einsetzen musst. Du kannst dir zur Vereinfachung vorstellen, dass anstelle von $g$ eine $10$ in der Formel steht.

    In der Physik hat die Zeit immer das Formelzeichen $t$. Dieses leitet sich von dem lateinischen Wort „tempus“ ab.

    Die Formel für die Fallgeschwindigkeit kommt dir bestimmt aus anderen Physikaufgaben bekannt vor. Bei jeder beschleunigten Bewegung kann man die Geschwindigkeit nach einer bestimmten Zeit $t$ dadurch berechnen, dass man die Beschleunigung $a$ mit der verstrichenen Zeit $t$ multipliziert.

    Beim freien Fall ist diese Beschleunigung die Fallbeschleunigung $g$. Wie $g$ haben alle Beschleunigungen die Einheit $\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$. Wenn man eine Beschleunigung mit einer Zeit (in Sekunden, $\text{s}$) multipliziert, kürzen sich die Sekunden und als Einheit bleibt $\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$ übrig – das ist die richtige Einheit für Geschwindigkeiten.

    Auch die Formel für die Fallstrecke kommt dir bestimmt bekannt vor. Sie ist ebenfalls genau die gleiche, die man für jede gleichförmig beschleunigte, geradlinige Bewegung verwendet. Wenn du weißt, dass du eine Strecke in Meter ausrechnen willst, dann kannst du dir leicht herleiten, dass du bei dieser Formel die Zeit quadrieren musst, damit sich das $\text{s}^2$ aus dem Nenner bei der Beschleunigung wegkürzt. Danach musst du nur noch an den Faktor $\dfrac{1}{2}$ denken.

  • Entscheide, welche Aussagen über den freien Fall auf Merkur und Jupiter zutreffen.

    Tipps

    Erinnere dich an die Formeln für die gleichmäßig beschleunigte, geradlinige Bewegung.

    Es gilt:

    $h(t) = \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot t^2$ und ${v(t) = g \cdot t}$

    Wie schwer uns ein Objekt erscheint, hängt von der Größe der Schwerkraft ab, die auf das Objekt wirkt. Die Schwerkraft berechnet sich als ${F = m \cdot g}$, wobei $m$ die Masse von dem Objekt ist.

    Lösung

    Die Fallzeit berechnen wir mit der folgenden Formel:

    $t = \sqrt{\dfrac{2 \cdot h}{g}}$

    Für Jupiter und Merkur müssen wir in dieser Formel jeweils die dort geltende Schwerebeschleunigung einsetzen. Es gilt demnach:

    $t_{\text{Erde}} = \sqrt{\dfrac{2 \cdot h} {g_{\text{Erde}} } } \qquad t_{\text{Planet}} = \sqrt{\dfrac{2 \cdot h} {g_{\text{Planet}} } }$

    Diese beiden Gleichungen können wir zu einer zusammenfassen, indem wir beide Gleichungen nach $2\cdot h$ auflösen und dann gleichsetzen:

    ${2\cdot h = g_{\text{Erde}} \cdot t_{\text{Erde}}^2} \qquad {2\cdot h = g_{\text{Planet}} \cdot t_{\text{Planet}}^2}$

    $\implies g_{\text{Erde}} \cdot t_{\text{Erde}}^2 = g_{\text{Planet}} \cdot t_{\text{Planet}}^2$

    Wir formen jetzt nach $t_{\text{Planet}}$ um:

    $t_{\text{Planet}} = \sqrt{\dfrac{g_{\text{Erde}}}{g_{\text{Planet}} } } \cdot t_{\text{Erde}}$

    Hier sehen wir, dass das Verhältnis der Fallzeiten auf unterschiedlichen Planeten dem Faktor $\sqrt{\dfrac{g_{\text{Erde}}}{g_{\text{Planet}}}}$ entspricht. Setzen wir die jeweiligen Schwerebeschleunigungen ein, erhalten wir für die Venus etwa $1{,}6$ und für den Jupiter etwa $0{,}6$.

    $\Rightarrow$ Die Aussage „Die Fallzeit eines Objektes auf dem Merkur ist $3{,}7$-mal größer als auf der Erde und auf dem Jupiter $24{,}8$-mal kleiner.“ ist demnach falsch.

    Für die Fallgeschwindigkeit gilt diese Formel:

    $v = g \cdot t$

    Da die Fallzeit auf allen Planeten gleich, nämlich $10~\text{s}$, sein soll, ist wieder nur die Schwerebeschleunigung der Planeten unterschiedlich und wir können die Gleichungen zusammenfassen. Es gilt:

    $v_{\text{Planet}} = \dfrac{g_{\text{Planet}}}{g_{\text{Merkur}}} \cdot v_{\text{Merkur}}$

    Wir sehen: Das Verhältnis der Fallgeschwindigkeiten entspricht genau dem Verhältnis der Schwerebeschleunigungen zueinander. Es gilt also:

    $\begin{array}{lccr} v_{\text{Erde}} &= 2{,}6 \cdot v_{\text{Merkur}}\\ v_{\text{Jupiter}} &= 6{,}7 \cdot v_{\text{Merkur}} \end{array}$

    $\Rightarrow$ Die Aussage „Lässt man den gleichen Gegenstand auf Erde, Merkur und Jupiter fallen und misst die Fallgeschwindigkeit jeweils nach $10~\text{s}$, stellt man fest, dass das Objekt auf dem Merkur am langsamsten fällt, auf der Erde etwa $2{,}6$-mal so schnell und auf dem Jupiter etwa $6{,}7$-mal so schnell.“ ist demnach richtig.

    Für die Fallhöhen verwenden wir folgende Formel:

    $h(t) = \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot t^2$

    In dieser Formel sehen wir, dass die Fallhöhe $h$ und die Schwerebeschleunigung proportional zueinander sind.

    $\Rightarrow$ Die Aussage „Die Fallhöhe auf einem Planeten nach einer bestimmten Zeit ist umgekehrt proportional zu der Fallbeschleunigung dieses Planeten.“ ist falsch.

    Wenn wir in die Gleichung zur Fallhöhe die jeweiligen Werte der Schwerebeschleunigung auf den verschiedenen Planeten und die Fallzeit von $10~\text{s}$ einsetzen, dann können wir überprüfen, dass die folgende Aussage stimmt:

    „Nach $10~\text{s}$ Fallzeit wäre ein Objekt auf dem Jupiter bereits etwa $1\,240~\text{m}$ gefallen, auf der Erde etwa $490~\text{m}$ und auf dem Merkur nur etwa $185~\text{m}$.“

    $\begin{array}{rcl} h_{\text{Jupiter}}=& \dfrac{1}{2} \cdot 24{,}8~\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 10^2~\text{s}^2 &=1\,240~\text{m}\\ & & \\ h_{\text{Erde}} =& \dfrac{1}{2} \cdot 9{,}8~\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 10^2~\text{s}^2 &= 490~\text{m}\\ & & \\ h_{\text{Merkur}} =& \dfrac{1}{2} \cdot 3{,}7~\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 10^2~\text{s}^2 &= 185~\text{m} \end{array}$

    Betrachten wir abschließend noch die Aussage: „Wenn wir versuchen würden, ein Objekt auf dem Merkur bzw. Jupiter hochzuheben, würde es sich für uns wegen der geänderten Schwerebeschleunigung leichter (Merkur) bzw. schwerer (Jupiter) anfühlen.“

    $\Rightarrow$ Die Aussage ist wahr, was dir wahrscheinlich sofort intuitiv klar war. Aber das können wir natürlich auch berechnen:

    Wie schwer uns etwas erscheint, hängt davon ab, welche Kraft wir aufbringen müssen, um das Objekt anzuheben. Oder anders formuliert: Es hängt davon ab, wie groß die Schwerkraft ist, die wir überwinden müssen.

    Die Schwerkraft hat die folgende Formel:

    $F_g = m \cdot g$, wobei $m$ die Masse des Objektes ist, auf das die Schwerkraft wirkt, und $g$ die Schwerebeschleunigung

    Wenn wir ein Gewicht schätzen sollen, dann gehen wir von der uns bekannten Schwerebeschleunigung von $9{,}8~\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$ aus. Da dieser Wert auf anderen Planeten anders ist, rechnen wir den Unterschied der Masse des Objektes zu. Mathematisch könnte man das so ausdrücken:

    $\begin{array}{ll} F_{g,\,\text{Planet}} &= m \cdot g_{\text{Planet}} \\ &= m \cdot \left( x \cdot g_{\text{Erde}} \right)\\ &= \left( x \cdot m \right) \cdot g_{\text{Erde}} \end{array}$

    Der Ausdruck $\left( x \cdot m \right)$ beschreibt die gesuchte scheinbare Masse auf einem anderen Planeten, wobei gilt:

    ${x = \dfrac{g_{\text{Planet}}}{g_{\text{Erde}}}}$

    Auf dem Jupiter erscheinen uns deswegen Objekte $2{,}5$-mal schwerer als auf der Erde. Auf dem Merkur würden sie uns $0{,}4$-mal so leicht vorkommen. Eine volle $1~\ell$ Flasche Wasser würde auf dem Merkur demnach nur $400~\text{g}$ wiegen, auf dem Jupiter hingegen $2{,}5~\text{kg}$!