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Drehmoment M

Das Drehmoment erklärt die Wirkung eines Hebels. Das Hebelgesetz besagt, dass der Hebel im Gleichgewicht ist, wenn das Produkt aus Kraft und Hebelarm gleich ist. Das Drehmoment kann mit der Formel M = F * r berechnet werden. Es wird in Newtonmeter gemessen und ist ein Maß für die Festigkeit einer Schraube. Lerne, wie ein Drehmoment-Schlüssel und Drehmomentsensoren verwendet werden!

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Die Autor*innen
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Jakob Köbner
Drehmoment M
lernst du in der Sekundarstufe 5. Klasse - 6. Klasse - 7. Klasse

Drehmoment M Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Drehmoment M kannst du es wiederholen und üben.
  • Nenne die Definitionen und Beispiele für die Rotation und Translation.

    Tipps

    Überlege, wie sich ein Kinderkarussell bewegt und wie sich der Ort deines Schrankes verändert, wenn du ihn verrückst.

    Wie lauten die Formelzeichen für die Geschwindigkeit einer Bewegung und für die Drehgeschwindigkeit?

    Lösung

    Die Translation ist eine fortschreitende Bewegung. Das heißt, einzelne Punkte des Körpers bewegen sich entlang von Bahnen, wobei die Punkte des Körpers immer parallel zueinander verlaufen. Stelle dir vor, du guckst von oben auf die Situation: Du fährst mit einem Freund oder einer Freundin in einem Zug und er/sie sitzt versetzt zwei Reihen hinter dir. Jetzt werden eure Ortsveränderungen durch die Bewegung des Zuges mit einer feinen Linie markiert. Dabei kannst du erkennen, dass die Bahnen in dem Zug immer parallel zueinander sind.

    Die Rotation ist eine Drehbewegung. Bei dieser Bewegung sind die Bahnen, auf denen sich die einzelnen Punkte des Körpers entlang bewegen, Kreisbahnen. Das kannst du dir vielleicht noch einfacher vorstellen. Du guckst wieder von oben auf die Situation: Du fährst diesmal mit deiner Freundin/deinem Freund auf dem Kettenkarussell. Du sitzt ganz außen und sie/er innen. Eure Bewegungen werden wieder mit einer feinen Linie markiert. Daraus folgen zwei Kreisbahnen um die Mitte des Karussells, also die Drehachse.

  • Gib die physikalischen Größen für die Translation und Rotation an.

    Tipps

    Wie kannst du die allgemeinen Formeln mit den speziellen Formeln der Rotation vereinfachen?

    Was sind die physikalischen Größen und was beschreiben sie?

    Lösung

    Auch beim Thema der Rotation spielt die Berechnung eine große Rolle. Dafür werden die allgemeinen Formeln in spezielle Formeln, die nur für die Rotation gelten, umgewandelt.

    Zuerst benötigen wir die spezifische physikalische Größe des Drehmoments $M$. Das Drehmoment beschreibt die Drehwirkung einer Kraft $F$, die im Abstand $r$ zur Drehachse, senkrecht zu $r$ und zur Drehachse, angreift. Das Drehmoment $M$ ist also: $M = r \cdot F \cdot \sin(\alpha)$.

    Um auszurechnen, welche Energie ich benötige, um den Körper um den Winkel $\Delta \varphi$ zu drehen, brauche ich die Formel der Arbeit $W$. Dafür gilt im Allgemeinen: Die Arbeit ist gleich der Kraft mal dem Weg $W = F \cdot s$. Für den Weg $s$ im Kreissegment kann man schreiben: $ s = r \cdot \Delta \varphi $. Daraus kann man die Arbeit für die Rotation jetzt spezifisch schreiben als $W = M \cdot \Delta \varphi$.

    Wenn die Arbeit $W$ in einer bestimmten Zeit verrichtet wird, kann auch die Leistung $P$ berechnet werden. Die Leistung $P$ ist im Allgemeinen die Arbeit $W$ pro benötigter Zeit $\Delta t$. Dafür kann man in der Rotation schreiben: $P = M \cdot \frac{\Delta \varphi}{\Delta t}$. Da jetzt die Winkelgeschwindigkeit $\omega = \frac{\Delta \varphi}{\Delta t}$ in der Rotation gilt, kann man die Leistung einer Rotation wie folgt beschreiben: $P = M \cdot \omega$.

    Damit kannst du viele Rechnungen bei einer Rotation durchführen.

  • Ordne die Formelzeichen zu.

    Tipps

    Was ist der Radius im Kreis?

    Wo greift die Kraft am Kreis an?

    Lösung

    Die Drehachse $\vec \omega$ ist in der Mitte des rotierenden Körpers.

    Die Punkte, an denen die Kraft für eine Bewegung wirken kann, liegen auf dem Radius. Sie haben als Wert den Abstand vom Mittelpunkt des Kreises zu sich, in diesem Fall: $r_1$ und $r_2$.

    Die Kraft $F$ wirkt am Punkt mit Abstand $r_2$, also dem Radius. Die Kraft wirkt für das Drehmoment immer senkrecht zu $r$ und zur Drehachse.

    Die Änderung des Winkels $\Delta \varphi$ wird an der Drehachse abgelesen.

    Das dazugehörige Kreissegment $s$ ist der Teil des Kreisbogens, der vom Winkel $\Delta \varphi$ eingeschlossen ist.

  • Prüfe Aussagen zur Translation und Rotation.

    Tipps

    Denke nochmal daran, was eine Rotation in Bezug auf einen Körper ist.

    Von welchen Größen hängt das Drehmoment ab?

    Lösung

    Alle Körper, die um eine Drehachse rotieren, sind Beispiele für die Rotation.

    Die Punkte, die näher an der Drehachse liegen, bewegen sich langsamer und die Punkte, die weit entfernt von der Drehachse liegen, bewegen sich schneller. Das lässt sich ganz einfach erklären: Die Punkte, die weiter entfernt liegen, müssen für die gleiche Winkeldifferenz in der gleichen Zeit ein größeres Segment des Kreisbogens zurücklegen. Dafür müssen sie sich also auch schneller bewegen.

    Die Arbeit, die verrichtet werden muss, hängt natürlich von der Größe des Rads ab. Hier ein Rechenbeispiel:

    Wir haben zwei Räder: eins mit dem Radius $r_1=0,5 \text{m}$ und eins mit dem Radius $r_2= 1\text{m}$. Beide Räder drehen wir außen mit der Kraft $F = 3 \text{N}$ um zwei Umdrehungen. Daraus ergibt sich ein Winkel $\Delta \varphi = 2 \cdot \pi \cdot 2 = 4 \pi \approx 12,6$.

    Daraus folgt für das kleine Rad: $W = 3 \text{N} \cdot 0,5 \text{m} \cdot 12,6 \approx 18,85 \text{Nm}$.

    Für das große Rad folgt: $W = 3 {N} \cdot 1 \text{m} \cdot 12,6 \approx 37,70 \text{Nm}$.

    Wie du siehst, hängt die zu verrichtende Arbeit und damit auch das Drehmoment stark von der Größe des Rades ab.

  • Berechne die Arbeit $W$ der Rotation.

    Tipps

    Welche Einheit hat s, cm oder m?

    Wie lautet die Formel zur Berechnung der Arbeit $W$ ?

    Welche physikalische Einheit gehört zur Arbeit $W$?

    Lösung

    Für die Berechnung der verrichteten Arbeit $W$ benötigst du in diesem Fall nicht das Drehmoment $M$.

    Du benutzt also nur die Formel für die Arbeit $W = F \cdot r \cdot \Delta \varphi$. Die Kraft $F$ ist dir gegeben und den Winkel $\Delta \varphi$ kannst du mit der vorgegebenen Formel berechnen. Den Radius kannst du ganz einfach ermitteln mit $r = \frac{d}{2} $. Bei dem Radius musst du zusätzlich noch die Einheit verändern und mal 5 Umdrehungen rechnen.

    $\Delta \varphi=2\cdot \pi \cdot z=2\cdot \pi \cdot 5=10 \pi$

    Diese Werte setzt du anschließend in die Gleichung ein:

    $W= 0,5 \text{N} \cdot 0,06 \text{m} \cdot 10 \pi$ und daraus folgt: $W\approx 0,94 \text{Nm}$.

  • Bestimme die Ergebnisse.

    Tipps

    Achte auf die korrekten Einheiten.

    Lösung

    Diese Beispiele sind alles Rechnungen zum Drehmoment und der Rotation.

    Du benötigst für die Berechnung diese Formeln:

    $M = F \cdot r$ und

    $W = F \cdot r \cdot \Delta \varphi$.