Drehmoment M

Drehmoment – Definition

Das Drehmoment kann man mithilfe einer Schraube erklären, die in eine Wand eingedreht wird. Das Drehmoment der Schraube ist ein Maß dafür, wie fest die Schraube in der Wand verschraubt ist.

Um die Schraube fester zu drehen, kann man entweder eine größere Kraft zum Drehen aufwenden oder einen längeren Hebelarm beim Schraubendreher nutzen. Das Drehmoment hat immer eine Drehrichtung, die sich aus der Richtung der Kraft, der Lage des Hebelarms und dem Drehpunkt ergibt.

Das Drehmoment ist definiert als Produkt aus Kraft und Hebelarm. Eine Kurzbeschreibung des Drehmoments lautet wie folgt:

Das Drehmoment $M$ ist für die Drehbewegung das, was für die geradlinige Bewegung die Kraft $F$ ist.

Der besondere Unterschied ist, dass bei der Betrachtung des Drehmoments $M$ die Kraft $F$ und der Hebelarm $r$ senkrecht zueinander stehen, während bei der geradlinigen Bewegung Kraft und Bewegungsrichtung in die gleiche Richtung zeigen, also parallel sind.

Drehmoment – einfach erklärt

Um die Bedeutung des Drehmoments zu erklären, betrachten wir zuerst zweiseitige Hebel, dann einseitige Hebel und schließlich das Hebelgesetz. Ein Hebel besteht aus zwei Kraftarmen und einem gemeinsamen Drehpunkt. Die Hebelwirkung macht man sich in vielen alltäglichen Situationen zunutze, z. B. bei einer Schubkarre oder einem Korkenzieher.

Ein Beispiel eines zweiseitigen Hebels ist die Wippe auf einem Spielplatz. Um die Wippe im Gleichgewicht zu halten, muss die schwerere Person näher am Drehpunkt sitzen als die leichtere Person. Die beiden Hebelarme sind hier die Abstände $a$ und $b$ zwischen dem Drehpunkt und den beiden Personen. Dort, wo eine Person sitzt, greift die Gewichtskraft der Person senkrecht zum jeweiligen Hebelarm an.

Um mit einer Wippe einen einseitigen Hebel darzustellen, müssen beide Personen auf derselben Seite des Drehpunktes befinden. Die eine Person sitzt auf dem Arm der Wippe, die andere Person hält die Wippe auf derselben Seite fest und damit im Gleichgewicht. Hier wirken die Gewichtskraft der sitzenden Person und die Haltekraft der stehenden Person in verschiedene Richtungen. Die Haltekraft, die die stehende Person aufbringen muss, hängt von der Position der sitzenden Person (und ihrer Gewichtskraft) ab.

Mithilfe dieser Betrachtungen können wir nun das Hebelgesetz formulieren.

Drehmoment – Hebelgesetz

Aus der Darstellung des einseitigen oder zweiseitigen Hebels mit einer Wippe lässt sich das Hebelgesetz ableiten: Die Wippe ist genau dann im Gleichgewicht, wenn das Produkt aus der Gewichtskraft $F$ und dem Hebelarm $r$ bei beiden Personen gleich ist.

Das Hebelgesetz kann also mit der folgenden Formel ausgedrückt werden:

$F_1 \cdot r_1 = F_2 \cdot r_2$

Drehmoment – Formel

Das Hebelgesetz hängt eng mit der Formel für das Drehmoment zusammen, denn jeder Punkt auf einem Hebelarm, der sich bewegt, hat ein Drehmoment.

Das Drehmoment $M$ ist das Produkt der senkrecht an einem Hebelarm angreifenden Kraft $F$ und der Länge $r$ des Hebelarms:

$M = F \cdot r$

Eine einfache Formulierung des Hebelgesetzes lautet damit: Ein Hebel ist im Gleichgewicht, wenn sich die Drehmomente aller Punkte auf den Hebelarmen ausgleichen. Da die Balken einer Wippe üblicherweise links und rechts gleich groß und gleich schwer sind, reicht die Betrachtung der Personen bzw. ihrer Gewichtskräfte $F_1$ und $F_2$ an den jeweiligen Positionen $r_1$ und $r_2$ aus, um das Hebelgesetz einer Wippe zu formulieren. Die Drehmomente $M_1 = F_1 \cdot r_1$ und $M_2 = F_2 \cdot r_2$ müssen also gleich groß sein, damit die Wippe im Gleichgewicht ist.

Drehmoment – Einheit

Die Einheit für das Drehmoment $M$ ist das Produkt der Einheit Newton $\left( \text{N} \right)$ für die Kraft $F$ und der Einheit Meter $\left( \text{m} \right)$ für den Hebelarm $r$:

$[M]=1~\text{Nm}$

Die Einheit des Drehmomentes heißt daher Newtonmeter.

Hierzu wollen wir noch eine wichtige Betrachtung festhalten: Einerseits ist $\text{Nm}$ die Einheit des Drehmomentes $M$, andererseits ist $\text{Nm}$ auch die Einheit der (mechanischen) Arbeit $W$. Hier müssen wir die Unterscheidung beachten, dass bei der Betrachtung des Drehmoments die Kraft $F$ senkrecht am Hebelarm $r$ ansetzt. Damit Arbeit verrichtet wird, muss eine Kraft $F$ jedoch längs eines Weges $r$ (oder $s$) wirken. Durch das Drehmoment wird also keine Arbeit verrichtet, da die Kraft nicht parallel zum Weg gerichtet ist.

Nicht-senkrechte Krafteinwirkung

Wenn die Kraft nicht exakt senkrecht zum Hebelarm wirkt, dann wirkt für das Drehmoment nur der Anteil der Kraft, der senkrecht zum Hebelarm steht. Wenn also die Kraft $F$ zum Hebelarm $r$ in einem Winkel $\alpha$ steht und $0^\circ < \alpha < 90^\circ$ gilt, dann beträgt das Drehmoment:

$M=F\cdot r \cdot \sin\alpha$

Mit dieser Formel lässt sich auch dann ein Drehmoment berechnen, wenn Kraft und Hebelarm nicht exakt senkrecht zueinander stehen.

Drehmoment berechnen

Ist eine Wippe im Gleichgewicht, so sind die beiden Drehmomente gleich groß und haben entgegengesetzte Drehrichtungen: Die Gewichtskraft der Person auf der linken Seite der Wippe erzeugt ein Drehmoment gegen den Uhrzeigersinn, die Gewichtskraft der Person rechts ein Drehmoment im Uhrzeigersinn. Die Wippe ist genau dann im Gleichgewicht, wenn beide Drehmomente einander ausgleichen. Das kann man mit der Drehmoment-Formel ausdrücken, die genau dem Hebelgesetz entspricht:

$F_1 \cdot r_1 = M_1 = M_2 = F_2 \cdot r_2$

Wir betrachten als Beispiel nun die Wippe aus den obigen Abbildungen.

Das Kind habe die Masse $m_2=30~\text{kg}$ und sitze im Abstand $r_2=2~\text{m}$ vom Drehpunkt der Wippe entfernt. Wo muss der Erwachsene der Masse $m_1= 80~\text{kg}$ sitzen, damit die Wippe im Gleichgewicht ist?

Gegeben: $m_1= 80~\text{kg}$, $m_2=30~\text{kg}$, $r_2=2~\text{m}$ Gesucht: $r_1$

Im Gleichgewicht sind beide Drehmomente gleich, es gilt also: $M_1=M_2$. Um die Aufgabe lösen zu können, benötigen wir Kräfte, haben aber nur Massen gegeben. Wir nehmen an, dass sich die Wippe auf der Erde befindet, sodass wir mit Hilfe des gerundeten Ortsfaktors $\left( g = 10\,\frac{\text{N}}{\text{kg}} \right)$ berechnen können, welche Gewichtskraft die beiden Massen ausüben.

Es gilt: $F_\text{G}= g\cdot m = 10~\dfrac{\text{N}}{\text{kg}} \cdot m$

In unserem Falle gilt also:

$F_1= 10~\dfrac{\text{N}}{\text{kg}}\cdot 80~\text{kg}=800~\text{N}$

$F_2=10~\dfrac{\text{N}}{\text{kg}}\cdot 30~\text{kg}=300~\text{N}$

Dann gilt im Gleichgewicht also:

$M_1=M_2$

$F_1 \cdot r_1 = F_2 \cdot r_2$

$800~\text{N} \cdot r_1 = 300 ~\text{N} \cdot 2~\text{m}$

Wir formen nach $r_1$ um:

$800~\text{N} \cdot r_1 = 300 ~\text{N} \cdot 2~\text{m} \quad \vert : 800~\text{N}$

$r_1=\dfrac{300~\text{N} \cdot 2~\text{m}}{800~\text{N}}$

$r_1=0{,}75~\text{m}$

Der Erwachsene müsste also $75~\text{cm}$ von der Drehachse entfernt Platz nehmen.

Drehmoment – Richtungsbestimmung

Das Drehmoment ist streng genommen eine vektorielle Größe mit einer Richtung. Der Richtungsvektor steht senkrecht auf der Kraft und senkrecht auf dem Hebelarm bzw. Kraftarm. Der Betrag des Vektors entspricht der Größe des Drehmoments.

Rechte-Hand-Regel

Wenn wir bei der rechten Hand Daumen, Mittelfinger und Zeigefinger so halten, dass sie jeweils rechte Winkel bilden, dann entsprechen diese den physikalischen Größen nach folgendem Schema:

• der Daumen: Richtung des Kraftarms (vom Drehpunkt aus)
• der Zeigefinger: Richtung der Kraft
• der Mittelfinger: Richtung des Drehmoments

Mathematisch wird dies durch folgenden Zusammenhang (ein Vektorprodukt) ausgedrückt:

$\vec{M}=\vec{r} \times \vec{F}$

Die Drehrichtung entspricht der Richtung der Kraft, also in unserer obigen Betrachtung der Richtung, in die der Zeigefinger zeigt. Du kannst aber auch eine andere Betrachtungsweise wählen: Wenn du mit dem Daumen der rechten Hand in die Richtung des Drehmoments zeigst, zeigen die gekrümmten Finger deiner Hand in Drehrichtung.

Drehmoment – Messung

Die Festigkeit einer Schraubverbindung kann man mit dem Drehmoment ausdrücken. Ein Drehmoment-Schlüssel ist ein Schraubwerkzeug, bei dem das Drehmoment genau eingestellt werden kann. Zur Drehmomentmessung verwendet man einen Drehmomentsensor. Solche Sensoren werden z. B. in Akkuschraubern oder in e-Bikes verbaut. Ein Drehmomentsensor basiert darauf, dass sich die elektrischen Eigenschaften verschiedener Materialien verändern können, wenn diese verformt werden. Wenn also ein Drehmoment eine Verformung eines solchen Materials in einem Sensor bewirkt, kann die Stärke des Drehmoments durch ein elektrischen Signal ausgedrückt werden.

Zusammenfassung des Drehmoments

• Das Drehmoment beschreibt die Wirkung einer Kraft auf ein drehbares Objekt. Dabei ist die Wirkung umso größer, je größer die angreifende Kraft $F$ ist und je größer der Abstand $r$ zwischen Angriffspunkt und Drehachse (der Hebelarm oder auch Kraftarm) ist.
• Wenn die Kraft senkrecht auf dem Hebelarm steht, gilt: $M=F \cdot r$
• Die Einheit des Drehmoments ist Newtonmeter: $[M]=1~\text{Nm}$
• Das Drehmoment M ist eine vektorielle Größe. Es gilt: $\vec{M}=\vec{r} \times \vec{F}$

Häufig gestellte Fragen zum Thema Drehmoment

Was ist das Drehmoment? Das Drehmoment $M$ ist eine physikalische Größe, die angibt, wie stark eine Kraft ein Objekt dazu bringt, sich um eine Achse zu drehen. Es ist eine Kombination aus einer angreifenden Kraft $F$ und dem Abstand $r$ dieser Kraft zur Drehachse. Es gilt: $M=F \cdot r$

Wofür braucht man das Drehmoment? Das Drehmoment ist wichtig für verschiedene Anwendungen, insbesondere im Maschinenbau, der Fahrzeugtechnik und der Elektronik. Es wird verwendet, um die Leistung von Motoren, die Stabilität von Bauwerken, die Funktionsweise von Getrieben und vieles mehr zu berechnen und zu optimieren. Wie berechnet man das Drehmoment? Das Drehmoment wird berechnet, indem man die auf ein Objekt ausgeübte Kraft mit dem Abstand (oder dem Hebelarm) multipliziert, über den die Kraft angreift. Die Formel lautet: Drehmoment = Kraft mal Hebelarm $M=F \cdot r$ Diese Formel gilt allerdings nur, wenn Kraft und Hebelarm (bzw. Kraftarm) zueinander senkrecht stehen. Was ist die Rechte-Hand-Regel? In der Physik gibt es mehrere Rechte-Hand-Regeln. Die Rechte-Hand-Regel beim Drehmoment gibt Auskunft über die Orientierungen des Drehmoments, der Kraft und des Kraftarms, denn das Drehmoment ist eine gerichtete, vektorielle Größe. So lässt sich mit der Rechte-Hand-Regel die Richtung des Drehmoments bestimmen: Der Daumen zeigt in Richtung des Kraftarms (von der Drehachse aus), der Zeigefinger in Richtung der wirkenden Kraft und der Mittelfinger schließlich in Richtung des Drehmoments. Wenn die Richtung des Drehmoments bereits gegeben ist, kannst du auch den Daumen der rechten Hand in Richtung des Drehmoments zeigen lassen – so zeigen dir die gekrümmten Finger deiner Hand die Umlaufrichtung an (die der Richtung der wirkenden Kraft entspricht). Was ist die Formel für das Drehmoment? Das Drehmoment wird in der Regel in der Einheit Newtonmeter $\left( \text{Nm} \right)$ gemessen. Die Formel für das Drehmoment lautet: Drehmoment = Kraft x Hebelarm $M=F \cdot r$ wenn Kraft und Hebelarm senkrecht zueinander stehen bzw. $\vec{M}=\vec{r} \times \vec{F}$ in der allgemeinen Form. Wenn Kraft und Hebelarm in einem Winkel $\alpha$ zueinander stehen und $0^\circ < \alpha < 90^\circ$ gilt, lässt sich das Drehmoment wie folgt berechnen: $M=F\cdot r \cdot \sin\alpha$

Wie berechnet man Nm (Newtonmeter)? Newtonmeter (Nm) ist die Einheit des Drehmoments. Sie kommt zustande, indem die Kraft $F$ in Newton (N) mit dem Abstand $r$ in Metern (m) multipliziert wird. Bezüglich des Drehmoments $M$ wird das durch die Formel $M=F \cdot r$ ausgedrückt. Wie stark ist 1 Nm? Ein Newtonmeter (Nm) ist eine Maßeinheit für das Drehmoment. Es entspricht der Kraft von einem Newton, die über einen Hebelarm von einem Meter Länge angreift. Es ist eine relativ kleine Einheit und wird oft in der Beschreibung von kleinen Motoren oder Maschinen verwendet.

Oft wird eine Kraft von $1~\text{N}$ mit der Gewichtskraft einer Tafel Schokolade gleichgesetzt. In diesem Bild entspräche ein Drehmoment von $1~\text{Nm}$ dem Drehmoment, das eine Tafel Schokolade bewirkt, die auf ein Ende einer Wippe gelegt wird, deren Hebelarme links und rechts je $1~\text{m}$ lang sind. Was sind Drehmoment und Drehzahl? Drehmoment und Drehzahl sind zwei verschiedene Konzepte, die oft zusammen auftreten. Das Drehmoment hängt von der Kraft ab, die aufgewendet wird, um ein Objekt zu drehen, während die Drehzahl die Anzahl der Umdrehungen pro Zeiteinheit angibt. Beides sind wichtige Parameter bei der Beschreibung von Rotationsbewegungen. Das Drehmoment beeinflusst die Beschleunigung oder Verzögerung der Drehbewegung, während die Drehzahl die Geschwindigkeit der Drehung angibt. Für was steht das Drehmoment beim Auto? Das Drehmoment beim Auto spielt eine entscheidende Rolle für die Leistung und die Fahreigenschaften des Fahrzeugs. Hier sind einige wichtige Aspekte, für die das Drehmoment beim Auto relevant ist:

Beschleunigung: Das Drehmoment hängt direkt mit der Beschleunigung des Fahrzeugs zusammen. Ein höheres Drehmoment ermöglicht eine schnellere Beschleunigung, da es die Kraft bereitstellt, die das Fahrzeug in Bewegung versetzt.

Bergauffahren: Beim Bergauffahren ist das Drehmoment besonders wichtig, da es die Kraft liefert, um das Fahrzeug entgegen der Schwerkraft anzutreiben. Ein höheres Drehmoment ermöglicht es dem Auto, steilere Steigungen zu bewältigen, ohne an Geschwindigkeit zu verlieren.

Überholen: Beim Überholen auf der Autobahn oder beim schnellen Beschleunigen ist ein ausreichendes Drehmoment erforderlich, um das Fahrzeug schnell auf Geschwindigkeit zu bringen und sicher an anderen Fahrzeugen vorbeizufahren.

Anhängerbetrieb: Wenn ein Fahrzeug einen Anhänger zieht, wird zusätzliches Drehmoment benötigt, um das zusätzliche Gewicht zu bewegen. Ein höheres Drehmoment ermöglicht es dem Auto, den Anhänger effizienter zu ziehen und eine bessere Kontrolle über das Gespann zu haben.

Starten aus dem Stand: Beim Starten aus dem Stand ist das Drehmoment wichtig, um das Fahrzeug in Bewegung zu setzen. Ein höheres Drehmoment ermöglicht ein schnelleres Anfahren und verringert die Gefahr des Durchdrehens der Räder.

Insgesamt ist das Drehmoment beim Auto von Bedeutung, da es die Leistungsfähigkeit des Motors und die Fahreigenschaften beeinflusst. Ein ausgewogenes Verhältnis von Drehmoment und Leistung ist entscheidend, um ein optimales Fahrerlebnis zu gewährleisten.