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Gleichmäßig beschleunigte Bewegung

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Team Digital
Gleichmäßig beschleunigte Bewegung
lernst du in der Sekundarstufe 2. Klasse - 3. Klasse - 4. Klasse - 5. Klasse

Grundlagen zum Thema Gleichmäßig beschleunigte Bewegung

Inhalt

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein zu erklären, was Beschleunigung ist und wie die Geschwindigkeit und die zurückgelegte Strecke bei einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung berechnet wird.

Zunächst lernst du, wie Beschleunigung und Geschwindigkeit zusammenhängen.

Beschleunigung beim freien Fall.jpg

Anschließend wird das Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm und das Weg-Zeit-Diagramm bei der gleichmäßig beschleunigten Bewegung betrachtet.

Abschließend erfährst du, wie eine Anfangsgeschwindigkeit und eine Anfangsstrecke in die jeweiligen Formeln bei der Berechnung einbezogen werden.

Diagramme und Formeln

Lerne etwas über das Älterwerden und wie eine Schildkröte damit umgeht.

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Beschleunigung, Erdbeschleunigung, freier Fall, Steigung, Geschwindigkeit, Strecke, Zeit, Kraft, gleichförmige Bewegung und gleichmäßig beschleunigte Bewegung.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits die gleichförmige Bewegung und die Bedeutung von Geschwindigkeit und zurückgelegter Strecke kennen. Außerdem solltest du grundlegendes Wissen zur Darstellung von Werten in Diagrammen haben.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, mehr über Beschleunigung, den Bremsvorgang und die ungleichmäßig beschleunigte Bewegung zu lernen.

Beschleunigung – Definition

Mit Sicherheit hast du schon einmal den Begriff Beschleunigung gehört oder verwendet – zum Beispiel im Bezug auf schnelle Fahrzeuge oder Lebewesen. Im Folgenden wird dir anhand von Alltagssituationen erklärt, was der Begriff Beschleunigung in der Physik bedeutet.

Was ist Beschleunigung?
Die Beschleunigung mit Formelzeichen $a$ ist eine physikalische Größe. Sie gibt an, wie sich die Geschwindigkeit eines Objektes während eines Bewegungsvorgangs verändert. Die Beschleunigung wird in der Einheit $\frac{\text{m}}{\text{s}^{2}}$ angegeben.

Beschleunigung – Beispiele

Wann genau ist eine Bewegung eigentlich beschleunigt und was ist der Unterschied zwischen Geschwindigkeit und Beschleunigung?
Stell dir ein Auto vor, das mit einer Geschwindigkeit von 120$~\frac{\text{km}}{\text{h}}$ über die Autobahn fährt. Wenn es bei konstanter Geschwindigkeit fährt, also weder schneller wird noch bremst, erfährt es keine Beschleunigung.
Um die Geschwindigkeit von 120$~\frac{\text{km}}{\text{h}}$ zu erreichen, muss das Auto allerdings erst einmal beschleunigt werden. Da die Geschwindigkeit über die Zeit zunimmt, spricht man hier von einer positiven Beschleunigung. Auch wenn das Auto bremst, weil es zum Beispiel die Autobahn verlässt, verändert es seine Geschwindigkeit: Die Geschwindigkeit nimmt über die Zeit ab und man spricht von einer negativen Beschleunigung. Das beschriebene Beispiel und der Verlauf über die Zeit $t$ von Geschwindigkeit $v$ und Beschleunigung $a$ sind in einem Diagramm zusammengefasst:

Geschwindigkeit Beschleunigung Diagramm

Außerdem kann man abhängig von der Beschleunigung folgende Arten der Bewegung unterscheiden:

  • gleichmäßig beschleunigte Bewegung: Es herrscht eine konstante Beschleunigung in Richtung und Betrag vor, die Geschwindigkeit ändert sich linear mit der Zeit.
  • ungleichmäßig beschleunigte Bewegung: Richtung und/oder Betrag der Beschleunigung sind nicht konstant. Die Geschwindigkeit ändert sich nicht linear mit der Zeit aufgrund der variierenden Beschleunigung.

Beispielwerte für die Beschleunigung
In der nachfolgenden Tabelle sind ein paar Beispielwerte für die mittlere Beschleunigung verschiedener Bewegungen aufgeführt:

Bewegung Beispielwert für $a$ in $\frac{\text{m}}{\text{s}^{2}}$
anfahrendes Auto 2
bremsendes Auto -7
100-m-Läufer 3
startende Rakete 100
Erdbeschleunigung 9,81

Der Tabelle kannst du unter anderem entnehmen, dass negative Beschleunigungen, wie für das Bremsen eines Autos, mit negativem Vorzeichen aufgeführt werden. Die Beschleunigung einer Rakete ist außerdem viel größer als die eines Autos.
Ein spezielles Beispiel für die Beschleunigung ist die sogenannte Erdbeschleunigung: Sie gibt an, welche Beschleunigung auf einen fallenden Gegenstand wirkt und beträgt ungefähr 9,81$~\frac{\text{m}}{\text{s}^{2}}$.

Beschleunigung – Berechnung und Messung

Wie kann man die Beschleunigung berechnen?
Die Beschleunigung beschreibt die zeitliche Entwicklung der Geschwindigkeit: Mathematisch gesehen ist sie die erste zeitliche Ableitung der Geschwindigkeit $v$ und somit die zweite zeitliche Ableitung des Ortes $r$:

$a(t)=\frac{\text{d}v(t)}{\text{d}t}=\frac{\text{d}^{2}r(t)}{\text{d}t^{2}}$

Dabei gibt $t$ die Zeit an. Eine konstante, gleichförmige Beschleunigung lässt sich vereinfacht über die Formel

$a=\frac{\Delta v}{\Delta t}$

ausdrücken. Dabei ist $\Delta v$ das Geschwindigkeits- und $\Delta t$ das zugehörige Zeitintervall, in dem die Beschleunigung wirkt.
Kennt man die Kraft $F$, die auf einen Körper mit Masse $m$ wirkt, kann man die Beschleunigung auch über den Zusammenhang

$F=a\cdot m$

berechnen.

Wie kann man die Beschleunigung messen?
Die Beschleunigung kann über sogenannte Beschleunigungssensoren gemessen werden. Ein solcher Sensor besteht unter anderem aus einer Testmasse, die im einfachsten Fall über Federn gelagert ist. Ein solcher Sensor ist in der folgenden Abbildung dargestellt.

Beschleunigung messen Funktionsweise Bewegungssensor

Im linken Teil der Abbildung siehst du die Testmasse im Ruhezustand: Der Körper ist in der Mitte des Sensors. Der rechte Teil der Abbildung verdeutlicht, was bei einer auf den Sensor wirkenden Beschleunigung geschieht: Die Testmasse wird gemäß ihrer Trägheitskraft ausgelenkt. Die Trägheitskraft ist eine Kraft, die zur Beschleunigung eines Körpers mit Masse $m$ aufgebracht werden muss und somit der Beschleunigung entgegenwirkt. Vereinfacht gesprochen ist das die Kraft, die dich bei der schnellen Beschleunigung eines Autos in den Sitz drückt.
Über die Eigenschaften der Feder kann man aus der Auslenkung der Testmasse die Trägheitskraft ermitteln und aus der dazu proportionalen Kraft wiederum die Beschleunigung. Dazu kann der oben beschriebene Zusammenhang von Kraft und Beschleunigung verwendet werden.

Transkript Gleichmäßig beschleunigte Bewegung

Wünscht du dir auch manchmal, dass sich bestimmte Dinge beschleunigen ließen? Zum Beispiel das Erwachsenwerden Aber halt! Doch nicht so schnell! Was es mit der „Beschleunigung“ im physikalischen Sinn auf sich hat, sehen wir uns in diesem Video zur „Gleichmäßig beschleunigten Bewegung“ an. „Beschleunigung“ bedeutet nicht einfach nur, zu einer höheren „Geschwindigkeit“ zu wechseln, wie das beispielsweise beim „Vorspulen mit doppelter Geschwindigkeit“ der Fall ist. Wenn ein Körper „gleichmäßig beschleunigt“ wird, heißt das, dass er immer schneller und schneller wird, seine Geschwindigkeit sich also fortlaufend erhöht. Das geht nur, wenn eine Kraft auf den Körper wirkt. Wie zum Beispiel beim freien Fall: Wenn du einen Stein von einem Turm fallen lässt, wird dieser durch die „Erdbeschleunigung g“ beschleunigt, die sich aus der „Erdanziehungskraft“ ergibt. Er wird immer schneller und schneller werden, bis er auf dem Boden aufschlägt. Eines bleibt dabei allerdings konstant: Die Rate, mit der die Geschwindigkeit zunimmt. Diese Rate ist genau die „Beschleunigung“. Bei der Erdbeschleunigung sind das rund „Neun-Komma-Acht Meter pro Sekunde-zum-Quadrat“. Das heißt, in jeder Sekunde wird die Geschwindigkeit „v“ des Steins um „Neun-Komma-Acht Meter pro Sekunde“ zunehmen. „In jeder Sekunde“ – das heißt also nochmal „pro Sekunde“. So ergibt sich „Meter pro Sekunde-zum-Quadrat“ als Einheit der Beschleunigung. Die Geschwindigkeit des Steins wird also „linear proportional“ zur Zeit steigen, und damit können wir berechnen, welche Geschwindigkeit er am Ende haben wird, wenn er beispielsweise nach vier Sekunden unten aufschlägt. Wir können die Werte auch in einem „Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm“ darstellen. Hier sehen wir sofort, dass die Geschwindigkeit „v“ linear mit der Zeit „t“ ansteigt. Das macht Sinn, denn die Steigung zwischen den Werten entspricht ja unserer konstanten Zuwachsrate, der „Erdbeschleunigung g“. Diese ist gleich dem Quotienten „v durch t“, der für jedes Wertepaar gleich groß ist. Das gilt für jede „gleichmäßig beschleunigte Bewegung“, also auch wenn die Beschleunigung nicht „g“ ist, sondern ein allgemeiner Wert „a“, was für „acceleration“ steht. Andersherum ausgedrückt: Die Geschwindigkeit „v“ steigt linear proportional zur Zeit „t“ mit der Beschleunigung „a“. Mit dieser Formel können wir einiges berechnen! Zum Beispiel, wie lange ein Auto braucht, um von Null auf Einhundert Kilometer pro Stunde zu beschleunigen, wenn mit einer konstanten Beschleunigung von „a gleich Fünf Komma Fünf Meter pro Sekunde-Quadrat“ Gas gegeben wird. Dazu müssen wir unsere Formel nach „t“ umstellen, einsetzen, und die „Kilometer pro Stunde“ durch „Drei Komma Sechs“ teilen, um in „Meter pro Sekunde“ umzurechnen. So kommen wir gerundet auf „Fünf Komma Eins Sekunden“. Gar nicht schlecht! Aber welche Strecke wird eigentlich während dieses Beschleunigungsvorgangs zurückgelegt? Anders als bei der gleichförmigen Bewegung steigt die Strecke im „Weg-Zeit-Diagramm“ bei der gleichmäßig beschleunigten Bewegung nicht linear, sondern quadratisch. Denn da das Auto immer schneller wird, schafft es auch immer mehr zusätzliche Strecke pro Zeitabschnitt. Das wird durch die Formel „s gleich ein halb mal a mal t-Quadrat“ ausgedrückt. Die Strecke wächst also quadratisch mit der Zeit, bei konstanter Beschleunigung „a“. Mit den berechneten „Fünf Komma Eins Sekunden“ führt das zu einer Gesamtstrecke von rund Zweiundsiebzig Metern, die während des Beschleunigungsvorgangs zurückgelegt werden. Dazu noch eine Ergänzung: Das zugehörige Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm zeigt wie beim freien Fall eine Gerade, „v“ steigt also linear bis zum Wert „Einhundert Kilometer pro Stunde“. Ein Auto muss aber nicht immer von „Null auf Hundert“ beschleunigen, sondern könnte ja auch schon mit einer bestimmten Geschwindigkeit fahren und von da aus beschleunigen – wie beispielsweise vor einem Überholmanöver. In dem Fall wird in der Formel für die Geschwindigkeit einfach die Anfangsgeschwindigkeit „v-null“ addiert; hier zum Beispiel „Fünfzig Kilometer pro Stunde“. Wenn man auf die gleiche Endgeschwindigkeit abzielt, muss sich dabei die Steigung der Geraden, also der Wert der Beschleunigung, ändern. In der Formel für die Strecke muss außerdem „v-null Mal t“ addiert werden, um den schnelleren Zuwachs der Strecke miteinzuberechnen. Zudem kann es sein, dass es eine Strecke „s-null“ gibt, die zum Zeitpunkt „t gleich Null“ bereits zurückgelegt wurde. Das heißt, der Startpunkt des Autos wird um eine bestimmte Strecke, beispielsweise „um zwanzig Meter“, nach vorne versetzt und es erreicht dementsprechend früher die „Zweiundsiebzig-Meter-Marke“ aus der Beispielrechnung. So, damit soll's aber genug sein! Fassen wir zusammen. Bei einer „gleichmäßig beschleunigten Bewegung“, gibt es eine konstante Beschleunigung „a“. Die Geschwindigkeit „v“ steigt linear proportional zur Zeit mit der Steigung „a“. Die zurückgelegte Strecke „s“ wächst quadratisch mit der Zeit und ist ebenfalls von „a“ abhängig. Gibt es eine Anfangsgeschwindigkeit „v-null“ und eine Anfangsstrecke „s-null“, müssen diese in die Formeln miteinbezogen werden. Oft ist es aber gar nicht so schlau, Dinge mit Gewalt beschleunigen zu wollen. und wird so über einhundert Jahre alt!

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