Fliehkraft – geostationärer Satellit

Hallo und herzlich willkommen zu einem Beispiel zur Anwendung des Gesetzes zur Fliehkraft. Wir haben im Theorievideo gelernt, wie man eine Menge von Aufgaben löst, in denen die Fliehkraft eine Rolle spielt. Das Endergebnis war eine allgemeine Gleichung. mv²/r=/F/ Das ist der Betrag der Kraft, die einen Körper auf eine Kreisbahn zwingt. Diese Kraft ist auch unter dem Namen Zentripetalkraft bekannt. Wir schauen uns heute dazu ein Standardbeispiel an. Die Aufgabenstellung lautet: Wir wollen einen Satelliten auf eine bestimmte Höhe bringen, und zwar so, dass er dort komplett ohne Treibstoff auskommt und gleichzeitig immer über dem gleichen Punkt der Erde schwebt. Diese Eigenschaft nennt man auch geostationär. Als gleichen Punkt wählen wir zum Beispiel dein Haus. Der Einfachheit halber nehmen wir an, dass dein Haus auf dem Äquator steht. Das Ganze würde von der Seite so aussehen: Hier ist unser Heimatplanet, die Erde. Darauf steht dein Haus, der Satellit hier soll sich jetzt immer über dem Haus befinden. Da sich die Erde aber dreht und sich das Haus somit bewegt, muss sich der Satellit mit dem Haus mitbewegen. Die Frage ist nun: In welcher Höhe über der Erdoberfläche muss sich nun der Satellit befinden, damit er sich immer über dem Haus befindet? Um unsere Formel anzuwenden, fehlt uns aber noch eine Information. Nämlich die verantwortliche Kraft, die dafür sorgt, dass der Satellit nicht abhaut. Das ist, wie du sicher bereits weißt, die Gravitationskraft. Die Formel für den Betrag der Gravitationskraft lautet: /F/=G×(m1×m2)/r². Diese Kraft wirkt zwischen 2 Körpern mit den Massen m1 und m2 und zwar immer anziehend. Wie du siehst, wird sie mit größerem Abstand immer schwächer. Sie fällt also mit 1/r² ab, r ist dabei der Abstand der beiden Schwerpunkte. G ist die sogenannte Gravitationskonstante, sie beträgt ca. 6,67×10^-11×m²/kg×s². Wenn wir sie an den Satelliten als Vektor einzeichnen würden, sieht das Ganze so aussehen. m1 soll jetzt die Masse des Satelliten sein und m2 die Masse der Erde. Diese Kraft ist also für die Kreisbahn verantwortlich. Zeichnen wir schnell noch einen Kraftvektor für die Fliehkraft ein. Jetzt können wir unsere Fliehkraftformel anwenden: m1×v²/r=Gm1m2/r². Zur Erinnerung, sie besagt, dass sich diese beiden Kräfte sich gegenseitig aufheben müssen. Ansonsten würde der Satellit seine Bahn verlassen, da sonst eine Nettokraft auf ihn wirkt. Versuchen wir erst mal diese Gleichung so weit wie möglich zu vereinfachen. Die Masse des Satelliten kürze ich heraus, sodass es egal ist wie groß und schwer das Teil ist. Ein r kürzt sich auch heraus. Dann sind wir bei v²=G×m2/r. Diese Gleichung nennen wir mal Gleichung 1. Sie verknüpft also die Bahngeschwindigkeit des Satelliten auf der linken Seite mit dessen Abstand zum Erdmittelpunkt. Das ist das r auf der rechten Seite. Bis jetzt haben wir uns aber nur um die Kräfte gekümmert. Jetzt müssen wir noch einbauen, dass der Satellit auch geostationär ist. Wann ist ein Satellit geostationär? Wenn er sich mit der gleichen Winkelgeschwindigkeit um die Erde bewegt mit der die Erde rotiert. Wenn wir diese Winkelgeschwindigkeit erst mal haben, könne wir sie leicht mittels v=ω×r in die Bahngeschwindigkeit umrechnen und diese dann in die Gleichung 1 einsetzen. Setzen wir erst mal v=ω×r in die Gleichung 1 ein. ω²×r² ist gleich G×m2/r. Und r ist damit (G×m2/ω²)¹/3. Was fehlt uns jetzt noch? Wir haben G, es fehlt uns aber noch das m2, welches ja die Masse der Erde war. Das kann man auf Wikipedia nachschauen und sie beträgt 5,97×10^24kg. Alles, was uns jetzt noch fehlt, ist die Winkelgeschwindigkeit der Erdrotation. Auch das ist nicht weiter schwer. Omega Erde ist gleich 2π/T, wobei T die Periodendauer ist. Die Periodendauer der Erde ist ja genau 24 Stunden. Das ist die Zeit, in der sie sich einmal um die eigene Achse dreht. Das rechnen wir noch schnell in Sekunden um: T=24×60×60=86400 Sekunden. Dann ist omega Erde ca. 7,27×10^-5×1/s. Der Satellit muss, dass er geostationär ist, genau die gleiche Winkelgeschwindigkeit besitzen. Also das Ganze ist gleich Omega. Wenn wir nun noch alles einsetzen, landen wir bei einem r≈42000km. Was genau war denn das noch mal, das r? Der Abstand des Satelliten zum Schwerpunkt, also dem Mittelpunkt der Erde. Wenn wir den Abstand zur Erdoberfläche wollen, müssen wir davon noch den Erdradius abziehen. Der Radius beträgt stark gerundet 6000km und damit haben wir für einen geostationären Satelliten, egal wie schwer er ist, eine Höhe von rund 36000km. Auf ungefähr dieser Höhe befinden sich tatsächlich alle geostationären Satelliten, die es gibt. Damit bedanke ich mich und bis zum nächsten Mal.