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Schiefe Ebene (Übungsvideo)

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Jakob Köbner
Schiefe Ebene (Übungsvideo)
lernst du in der Sekundarstufe 2. Klasse - 3. Klasse - 4. Klasse

Beschreibung Schiefe Ebene (Übungsvideo)

In diesem Video wird eine Beispielaufgabe aus dem Themengebiet Mechanik gerechnet. Genauer gesagt geht es rund um die Themen schiefe Ebene und Reibung. Das Problem ist das folgende: Ein Auto steht auf einer schiefen Ebene. Zwischen Reifen und Straße gibt es einen bestimmten Reibkoeffizienten. Im ersten Teil der Aufgabe sollen alle dabei wirkenden Kräfte bestimmt werden. Im zweiten Teil sollst du den Winkel finden, ab dem das Auto rutschen würde. Zu allen Aufgaben werden ausführliche Lösungswege vorgestellt.

Transkript Schiefe Ebene (Übungsvideo)

Hallo und herzlich willkommen zu Physik mit Kalle! Wir wollen heute eine Beispielaufgabe aus der Mechanik rechnen und zwar zur schiefen Ebene. Wir wollen folgende Aufgabe rechnen: Peter ist auf dem Weg zum Skifahren, muss allerdings, da der Parkplatz voll ist, auf einer Bergstraße parken. Die Straße ist 1 km lang und hat eine Steigung von 25%. Die Haftreibungszahl der Reifen auf der Straße beträgt 0,6, die Gleichreibungszahl 0,5, sein Auto wiegt 1,5 Tonnen. Aufgabe a: Berechne wie viel Höhenmeter man auf dieser Straße zurücklegt und ermittle Gewichtskraft, Hangabtriebskraft, Nomalkraft und Reibungskraft. Fertige eine Skizze an! Aufgabe b: Kann Peter das Auto sicher parken oder geräht es ins Rutschen? Bei welcher Steigung bleibt das Auto gerade noch so stehen? Dann mal Stifte raus und Pause drücken. Wenn ihr fertig seid, schaut einfach weiter und ihr könnt euren Lösungsweg mit mir zusammen überprüfen. Schreiben wir uns erst mal auf, was wir gegeben haben. Die Masse m des Autos beträgt 1,5 t, die Steigung ist 25%, die Haftreibungszahl, die ich mir ?H bezeichne, ist 0,6 und die Gleitreibungszahl ?Gl ist 0,5. Wir suchen die Höhe und die Gewichtskraft, die Hangabtriebskraft, die Normalkraft und die Reibungskraft. Fangen wir erst mal mit der Skizze an. Wir wissen, die Straße ist 1 km lang. Sie legt eine gewisse Höhe h zurück auf einer Strecke x, die wir nicht kennen. Was wir aber wissen ist, dass die Steigung 25% beträgt und das bedeutet, dass die Höhe ¼ von x ist oder x=4×h. Erstmal holen wir wieder Pythagoras aus seiner Kiste, denn das ist ein rechtwinkliges Dreieck, das heißt c²=a²+b². Und die Hypotenuse c kennen wir ja. Wir können also hinschreiben 1km=/sqrt(h²+(4h)²) und das ergibt /sqrt17×h. Umgestellt nach h erhalte ich h=1 km/(/sqrt17) und dafür spuckt mir mein Taschenrechner 243 Meter aus. So weit so gut. Jetzt betrachten wir mal Peters Auto. Wir wissen, die Gewichtskraft wirkt in Richtung der Erdmitte, das heißt senkrecht nach unten. Die Gewichtskraft kann man auch zerteilen in die Normalkraft und die Hangabtriebskraft. Die eine, die Normalkraft, ist senkrecht zur Unterlage, die Hangabtriebskraft parallel dazu. Wir zeichnen die beiden mal ein. Als letztes bleibt noch die Reibungskraft, die wirkt immer genau entgegen der Bewegungsrichtung. Und da die durch die Hangabtriebskraft verursacht werden würde, können wir sie also einfach in die entgegengesetzte Richtung einzeichnen. Wir können zwar jetzt die Gewichtskraft sofort berechnen, für alle anderen fehlt uns aber noch etwas. Im Dreieck, das aus den drei Kräften gebildet wurde, der kleine Winkel, den ich hier braun markiere, das ist derselbe Winkel ? wie der in meinem großen Dreieck und ich kann ihn aus der Steigung berechnen. Der Sinus ist nämlich das Verhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse. Und da ich die beide habe, kann ich hinschreiben sin?=h/1km. Dann wende ich auf beiden Seiten sin^-1 an und ich erhalte ?=sin(-1)(0,243)=17°. Jetzt aber erst mal ran an die Kräfte. Die Gewichtskraft ist Masse mal Erdbeschleunigung, das heißt 1500kg×9,81m/s². Das ergibt 14,7kN. Die Hangabtriebskraft ist FHA=sin?×FG=3,6kN. Die Normalkraft ist die Ankathete in unserem Dreieck und da der Cosinus Ankathete durch Hypotenuse ist, ist also FN=cos?×FG=14,1kN. Die Haftreibungskraft ist FRH=?H×FN=8,5kN. Die Gleitreibungskraft ist FRGl=?Gl×FN=7kN. Irgendetwas vergessen? Nein. Gut, weiter zur nächsten Aufgabe. Die Antwort auf die erste Frage können wir nach Aufgabe a gleich hinschreiben. Unsere Haftreibungskraft war höher als die Hangabtriebskraft, das heißt, das Auto beginnt also nicht zu rutschen. Wir sollen nun ausrechnen, ab wann das Auto beginnt zu rutschen. Das heißt, die Hangabtriebskraft soll die Haftreibungskraft übertreffen. Wir setzen erstmal ein. Die Hangabtriebskraft ist FG×sin? und das soll größer sein als die Haftreibungskraft. Die ist FG×cos?×?H. Ich kann die Gewichtskraft kürzen und da wir nur Winkel von 0 bis 90° betrachten, ist der Cosinus immer positiv, ich kann also ohne Bedenken durch den Cosinus teilen. Dann steht da sin?/cos?>?H. sin?/cos? ist genau der Tangens von ?, das heißt meine Formel lautet, ab tan?>?H fängt mein Auto an zu rutschen. Ihr erinnert euch, meine Steigung war 25% und das bedeutete, dass h, die Gegenkathete geteilt durch x, die Ankathete gleich 0,25 war. Gegenkathete durch Ankathete ist aber nun genau der Tangens, das heißt ich kann die Haftreibungszahl direkt in Prozente umsetzen und sagen: Ab 60% Steigung beginnt das Auto zu rutschen. Mit tan-1(0,6) kann ich auch ausrechnen welcher Winkel das ist. Es sind ungefähr 31°. Mein Antwortsatz lautet also: Ab einer Steigung von 60% gerät Peters Wagen ins Rutschen. So, das war's schon wieder für heute. Ich hoffe, ich konnte euch helfen. Vielen Dank für's Zuschauen, vielleicht bis zum nächsten Mal. Euer Kalle

6 Kommentare

6 Kommentare
  1. @Ekr
    Höhenmeter ist eine Angabe für die Entfernung zu einer Bezugshöhe.
    Bei der schiefen Ebene ist die Bezugshöhe immer die waagerechte Linie des gebildeten Dreiecks. Die Abweichung nach oben oder unten ist dann die Angabe in Höhenmeter nach oben positiv nach unten negativ.
    Die Höhenenergie wird auch potentielle Energie genannt, diese ist direkt von der Höhe h über der Bezugshöhe abhängig.
    E_pot= m * g * h (mit Ortsfaktor g (Erdbeschleunigung g=9,81 m/s²) und Masse m in kg)
    Die Gewichtskraft ist nicht von der Höhe abhängig:
    F_G= m * g

    Ich hoffe ich konnte deine Fragen beantworten, ansonsten melde dich bitte beim Hausaufgabenchat Mo-Fr von 17-19 Uhr.

    Von Karsten S., vor mehr als 4 Jahren
  2. Kann ja eigentlich nicht sein, da ja Höhenenergie etwas mit Kraft zu tun hat ...

    Von Ekr Forstner, vor mehr als 4 Jahren
  3. Ich hab eh bemerkt, dass das Video noch nichts für mich ist, aber eine Frage habe ich: Höhenmeter, was ist damit gemeint? Die Höhenenergie?

    Von Ekr Forstner, vor mehr als 4 Jahren
  4. Ich Komme nicht nach. Was sollte 14 sein. Ich bin einverstanden mit der Höhe =423 m.

    Von Fatimazahra Sabir, vor etwa 7 Jahren
  5. Ich denke, schon die Berechnung der Höhenmeter ist falsch...
    Hypothenuse H=1000m , alpha=25Grad
    sin(alpha)=Gegenkathete/Hypotenuse
    sin(25)=Höhe/1000m =>Höhe=423m
    Außerdem: sin-1(alpha) ist nicht 17, sondern 14 Grad

    Von Lennart Darringer, vor mehr als 7 Jahren
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Schiefe Ebene (Übungsvideo) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Schiefe Ebene (Übungsvideo) kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib an, wie man eine Steigung von 25 % auf der Bergstraße von einem Kilometer Länge grafisch darstellt.

    Tipps

    Wo verläuft die Bergstraße und wie lang ist diese?

    Welche Seite des Dreiecks kennzeichnet die Höhe h?

    Die dritte Dreiecksseite ist die Projektion der Bergstraße auf den (gedachten) ebenen Erdboden und wird mit x gekennzeichnet.

    Eine Steigung von 25 % bedeutet, dass die Höhe h ein Viertel der Strecke x beträgt.

    Lösung

    Betrachtet man in der Physik Steigungen wie an einer Bergstraße, so ergibt sich in der Skizze ein Dreieck: Waagerecht zum Erdboden verläuft die Dreiecksseite, die den zurückgelegten Weg auf ebenem Grund markiert. Diese hat hier die Bezeichnung x erhalten. Senkrecht darauf steht die Dreiecksseite, die die zurückgelegte Höhe h beschreibt. Die Hypotenuse in diesem Dreieck beschreibt den Verlauf der Bergstraße. Sie ist in diesem Beispiel einen Kilometer lang.

    Steigungen beziehen sich dabei immer auf die (gedachte) Strecke, die ein Wagen auf einem ebenen Grund zurücklegt. Bei einer Steigung von 25 % legt der Wagen dann 25 % dieser Strecke als Höhe zurück. Daher kann man x auch durch 4h ersetzen und h umgekehrt durch 0,25x.

    Gut merken kannst du dir das, wenn du dir eine Steigung von 100 % vorstellst: Beide Dreiecksseiten sind gleich lang, dies entspricht einem Steigungswinkel von 45°. Der Wagen fährt nicht senkrecht nach oben, wie man vielleicht auf den ersten Blick meinen könnte.

    Mit Hilfe der Skizze lassen sich weitere Aussagen mit Hilfe des Satzes von Pythagoras treffen: Wenn Peter die Bergstraße mit seinem Wagen einen Kilometer nach oben fährt, muss er dabei rund 243 Höhenmeter zurücklegen und legt auf ebenem Grund eine Strecke von Metern zurück.

  • Gib die Größe der Kräfte an, die an Peters Wagen gekennzeichnet sind.

    Tipps

    Die Gewichtskraft bestimmt sich aus dem Produkt von Masse m und Ortsfaktor g.

    Hangabtriebskraft und Normalkraft entsprechen jeweils einem bestimmten Anteil der Gewichtskraft.

    Welche trigonometrische Funktion wird bei diesen beiden Kräften jeweils verwendet, um diesen Anteil auszudrücken (siehe Abbildung).

    Lösung

    Die Gewichtskraft wird auf der Erdoberfläche nach dem bekannten Formel $F_G=m\cdot g$ berechnet. Sie ist die einzige Kraft, die an der schiefen Ebene tatsächlich auftritt.

    Die Normalkraft und die Hangabtriebskraft existieren in dieser Form an der schiefen Ebene nicht wirklich. Sie dienen der Vereinfachung von verschiedenen Lösungswegen und repräsentieren bestimmte Anteile der Gewichtskraft. Daher ist in ihren Formeln diese auch zu finden sowie die jeweilige Winkelfunktion des rechtwinkligen Dreiecks, das Gewichtskraft, Hangabtriebskraft und Normalkraft bilden.

    Die Hangabtriebskraft ergibt sich mit $F_H=F_G\cdot sin\alpha$. Sie ist Null, wenn der Steigungswinkel Null ist, das Auto also auf ebener Erde steht.

    Die Normalkraft berechnet sich analog zu $F_N=F_G\cdot cos\alpha$. Sie ist Null, wenn der Steigungswinkel $90°$ beträgt, da dann Gewichtskraft und Hangabtriebskraft zusammenfallen.

  • Ermittle, ob Markus seine Oma gefahrlos auf der Rollstuhlrampe stehen lassen kann.

    Tipps

    Welche entgegengesetzten Kräfte werden hier betrachtet?

    Wann würde sich der Rollstuhl bewegen, wann nicht?

    Wie kannst du die fehlende Kraft rechnerisch ermitteln?

    Lösung

    Gegeben:

    $F_H=153~N$

    $F_N=785~N$

    $\mu_{Haft}=0,7$

    Gesucht:

    $F_{Haft}$

    Lösung:

    Es gilt: $F_{Haft}=F_N\cdot \mu_{Haft}=785~N\cdot 0,7=550~N$.

    Antwort:

    Die Haftreibungskraft ist mit 550 Newton deutlich größer als die entgegengesetzt gerichtete Hangabtriebskraft mit 153 Newton. Darum bleibt der Rollstuhl von Markus Oma bei trockenem Untergrund in jedem Fall sicher stehen. Anders ist dies, wenn sich die Verhältnisse zwischen den Reifen des Rollstuhls und dem Boden im Freien zum Beispiel durch Eisbildung ändern. Dann kann ein sicherer Stand gefährdet sein.

  • Berechne die Masse des Schlittenfahrers.

    Tipps

    Fertige dir gegebenenfalls eine Skizze mit den gegebenen Werten an.

    Notiere dir die gegebenen und gesuchten Größen.

    Wähle die Formel zur Berechnung der Hangabtriebskraft aus und stelle sie nach der gesuchten Größe um.

    Setze die Größen in die umgeformte Gleichung $m=\frac {F_H} {g\cdot sin\alpha}$ ein.

    Bestimme die Masse von Lars mithilfe des Zusammenhangs $m=m_{Schlitten}+m_{Lars}$.

    Lösung

    Gegeben:

    $F_H=175~N$

    $\alpha=30°$

    $g=10\frac {m} {s^2}$

    $m_{Schlitten}=5~kg$

    Gesucht:

    $m_{Lars}$

    Lösung:

    (1) Es gilt: $F_H=m\cdot g\cdot sin\alpha$.

    (2) Umstellen nach m ergibt: $m=\frac {F_H} {g\cdot sin\alpha}$.

    (3) Einsetzen der Größen liefert: $m=\frac {175~N} {10\frac {m} {s^2}\cdot \frac 12}=35~kg$.

    (4) Aus der Gesamtmasse ergibt sich für die Masse von Lars wegen $m=m_{Schlitten}+m_{Lars}$ somit: $m_{Lars}=m-m_{Schlitten}=35~kg-5~kg=30~kg$.

  • Gib an, welche mathematischen Zusammenhänge für die Höhe h einer schiefen Ebene gelten.

    Tipps

    Das gezeigte Dreieck ist rechtwinklig.

    Es kann der Satz des Pythagoras angewendet werden.

    Wo liegt die Hypotenuse, wo die Katheten?

    Ist die Höhe h eine Kathete oder die Hypotenuse?

    Lösung

    Im rechtwinkligen Dreieck einer schiefen Ebene ist die Höhe h eine der beiden Katheten.

    Somit gilt nach dem Satz des Pythagoras: $l^2=x^2+h^2$.

    Diese Formel kann nach h umgestellt werden: $h^2=l^2-x^2$.

    Durch Wurzelziehen ergibt sich ein Zusammenhang, mit dem h direkt berechnet werden kann: $h=\sqrt {l^2-x^2}$.

    Diese Formeln sind für die Höhe h einer schiefen Ebene allgemein immer gültig. Meist sind zudem noch weitere Details bekannt wie die Steigung, mit deren Hilfe sich die Formeln noch vereinfachen können.

  • Leite ab, wie sich die Haftreibungszahl im beschriebenen Beispiel verändert hat.

    Tipps

    In welcher Größenordnung erwartest du das Ergebnis?

    Wie kannst du mit Hilfe des Steigungswinkels einen Zusammenhang zur Haftreibungszahl herstellen?

    Lösung

    Ein möglicher Lösungsweg ist es, aus dem Steigungswinkel der Rampe die Steigung in Prozent zu bestimmen. Dieser Wert liefert dann direkt den Grenzwert für die Haftreibungszahl.

    Dazu kann der Tangens verwendet werden: Im Steigungsdreieck entspricht der Gegenkathete die Höhe h und der Ankathete die Strecke x. Dieses Verhältnis entspricht der Definition der Steigung: Sie gibt das Verhältnis der Höhe h zur Strecke x wieder. Dann ergibt sich die Steigung zu: $tan\alpha=\frac hx=tan (11,5°)=0,20$. Die Steigung beträgt rund 20 Prozent. Auf ein Meter Strecke wird beispielsweise ein Höhenunterschied von 20 Zentimetern überwunden.

    Dieser Wert entspricht auch gleichzeitig der (maximalen) Haftreibungszahl. Wahrscheinlich hat sich durch Eisbildung die Beschaffenheit der Rampe stark verändert und die Haftreibungszahl im Vergleich zur vorangegangenen Aufgabe deutlich verringert. Markus kann seine Oma im Rollstuhl nicht mehr gefahrlos auf der Rampe abstellen.

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