Strömungslehre – Dichte von Luft

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• Dichte von Luft – Physik

Dichte von Luft – Physik

Ideales Gas

Im Folgenden wird Luft als ideales Gas betrachtet. Das ideale Gas ist eine vereinfachte Modellvorstellung, in der wir die Teilchen als feste Kugeln betrachten, die nur elastisch miteinander stoßen können. Das bedeutet, dass bei Stößen die Kugeln nicht deformiert werden und auch keine Wärme erzeugt wird. Es wird also nur kinetische Energie zwischen den Teilchen übertragen. Anziehende Kräfte zwischen den Teilchen werden vernachlässigt. Diese Näherung ist in den meisten Fällen ausreichend. Deswegen können wir die Gleichung für ein ideales Gas auch hier benutzen:

$p \cdot V = m \cdot R_s \cdot T$

Die Formel beinhaltet die folgenden Größen:

• $p$: Druck
• $V$: Volumen
• $m$: Masse
• $R_s$: spezifische Gaskonstante
• $T$: Temperatur

Die Dichte von Luft oder anderen Gasen folgt der Definition Masse pro Volumen und wird mit dem kleinen griechischen Buchstaben Rho $(\rho)$ bezeichnet:

$\rho = \frac{m}{V}$

Wenn wir die ideale Gasgleichung nach $\frac{m}{V}$ umstellen und diesen Bruch durch $\rho$ ersetzen, erhalten wir für die Dichte:

$\rho = \frac{p}{R_s \cdot T}$

Wir können außerdem die spezifische Gaskonstante $R_s$ durch die universelle Gaskonstante $R$ und die molare Masse $M$ ausdrücken:

$R_s = \frac{R}{M}$

Diese Beziehung setzen wir in die Gleichung für die Dichte ein:

$\rho = \frac{p}{ \frac{R}{M} \cdot T } = \frac{p}{R \cdot T} \cdot M $

$R$ ist eine universelle Konstante, hat also immer den gleichen Wert. Wenn wir nun Bedingungen mit konstantem Druck und konstanter Temperatur betrachten, ist die Dichte eines Gases direkt proportional zu seiner molaren Masse, also $\rho \propto M$. Wir können so die Dichte von Luft mit der hergeleiteten Formel berechnen.

Dichte von Luft berechnen

Für den Druck und die Temperatur nehmen wir Standardbedingungen, auch Raumbedingungen genannt, an. Sie sind wie folgt definiert:

$T = 298~\text{K} \newline \newline p = 101.325~\text{Pa}$

Außerdem benötigen wir den Wert für die universelle Gaskonstante:

$R = 8,314 \frac{ \text{J} }{ \text{mol} \cdot \text{K} } $

Wenn alle Werte in die Formel für die Dichte eingesetzt sind, erhalten wir die folgende Beziehung zur molaren Masse:

$\rho = 40,9 \frac{\text{Pa}}{ \frac{ \text{J} }{ \text{mol} \cdot \text{K} } \cdot \text{K} } \cdot M $

Luft besteht hauptsächlich aus Stickstoff- $(\text{N}_2)$ und Sauerstoffmolekülen $(\text{O}_2)$. Wir berechnen zunächst die Dichte von Sauerstoff. Dafür benötigen wir die molare Masse von Sauerstoffmolekülen:

$M_{O_2} = 32 \frac{\text{g}}{\text{mol}} $

Nach dem Einsetzen erhalten wir:

$\rho_{O_2} = 40,9 \cdot 32 \cdot \frac{\text{Pa}}{ \frac{ \text{J} }{ \text{mol} \cdot \text{K} } \cdot \text{K} } \cdot \frac{\text{g}}{\text{mol}} = 1.309 \frac{\text{Pa} \cdot \text{g}}{\text{J} } $

Im letzten Schritt haben wir $\text{K}$ und $\text{mol}$ jeweils gekürzt. Die Einheiten müssen wir allerdings noch umrechnen. Dazu setzen wir die Definitionen für das Joule $(\text{J}=\frac{\text{kg} \cdot \text{m}^{2} }{\text{s}^2})$ und das Pascal $(\text{Pa}=\frac{\text{kg} }{ \text{m} \cdot \text{s}^2 })$ ein:

$\rho_{O_2} = 1.309 \frac{\text{kg}}{\text{m} \cdot \text{s}^{2}} \cdot \text{g} \cdot \frac{\text{s}^{2}}{\text{kg} \cdot \text{m}^{2}} = 1.309 \frac{\text{g}}{\text{m}^3}$

Für die Dichte ist die Einheit Kilogramm pro Kubikmeter üblicher. Deswegen teilen wir durch $1.000$ und erhalten das Zwischenergebnis:

$\rho_{O_2} = 1,309 \frac{\text{kg}}{\text{m}^3}$

Dieselbe Rechnung folgt nun für Stickstoff. Die molare Masse beträgt:

$M_{N_2} = 28 \frac{\text{g}}{\text{mol}} $

Nach Einsetzen erhält man für die Dichte:

$\rho_{N_2} = 1,145~\frac{ \text{kg} }{ \text{m}^{3} }$

Um die Dichte von Luft zu berechnen, müssen wir die Werte für Sauerstoff und Stickstoff gewichtet nach ihrem Anteil addieren. Dabei vernachlässigen wir andere Gase und nehmen vereinfacht an, Luft bestünde zu 80% aus Stickstoff und zu 20% aus Sauerstoff:

$\rho_{Luft} = 0,8 \cdot \rho_{N_2} + 0,2 \cdot \rho_{O_2} = 1,178 ~\frac{\text{kg}}{\text{m}^3}$

Dichte der Luft – Abhängigkeit von der Feuchtigkeit

Unsere Berechnung gilt genau genommen nur für vollständig trockene Luft, also Luft, in der keine Feuchtigkeit ist. Normalerweise ist die Luftfeuchtigkeit allerdings größer als null. Wir können ihren Einfluss leicht qualitativ abschätzen, indem wir die molare Masse von Wasser betrachten und mit der von Luft vergleichen:

$M_{Luft} \approx 30~\frac{\text{g}}{\text{mol}} > 18~\frac{\text{g}}{\text{mol}} \approx M_{Wasser} $

Feuchte Luft hat also eine geringere Dichte als trockene Luft.

Dichte der Luft – Temperaturabhängigkeit

Wir hatten bisher angenommen, dass sowohl Temperatur als auch Druck konstant sind. In der Realität ist das aber natürlich selten der Fall. Insbesondere die Temperatur ändert sich beispielsweise im Verlauf eines Tages. Und die Dichte der Luft ist unter anderem auch von der Temperatur abhängig.
Wenn die Luft Raum hat, um sich bei Erwärmung auszudehnen, nimmt die Dichte mit steigender Temperatur ab. Heiße Luft ist also weniger dicht als kalte – deswegen steigt sie auch auf.

Dichte der Luft – Höhenabhängigkeit

Auch die Höhe hat einen Einfluss auf die Dichte der Luft: Sie nimmt mit der Höhe immer weiter ab. Deswegen haben Flugzeuge auch Druckkabinen. Und deswegen müssen Bergsteiger auf sehr hohen Bergen wie dem Mount Everest Sauerstoffflaschen benutzen – die Luft ist in diesen Höhen so dünn, dass man nur noch schwer genügend Sauerstoff einatmen kann. Allerdings ist die Dichteabnahme mit der steigenden Höhe kompliziert zu berechnen, weil auch die Temperatur sich in unterschiedlichen Höhen sehr stark unterscheidet.