Strömungslehre – Dichte von Luft

Dichte von Luft – einfach erklärt

Wir wollen in diesem Text betrachten, wie die Dichte von Luft mithilfe der physikalischen Gesetze der Strömungslehre, insbesondere unter Zuhilfenahme der universellen Gasgleichung, rechnerisch bestimmt werden kann.

Dabei ist die Dichte der Luft abhängig vom Luftdruck und der Temperatur, aber auch von der Luftfeuchtigkeit und der Höhe über dem Erdboden.

Dichte von Luft – ideales Gas

Im Folgenden wird Luft als ideales Gas betrachtet. Das ideale Gas ist eine vereinfachte Modellvorstellung, in der wir die Teilchen als feste Kugeln betrachten, die nur elastisch miteinander stoßen können. Das bedeutet, dass bei Stößen die Kugeln nicht deformiert werden und auch keine Wärme erzeugt wird. Es wird also nur kinetische Energie zwischen den Teilchen übertragen. Anziehende Kräfte zwischen den Teilchen werden vernachlässigt.

Diese Näherung ist in den meisten Fällen ausreichend. Deswegen können wir die Gleichung für ein ideales Gas auch hier benutzen:

$p \cdot V = m \cdot R_s \cdot T \quad \left( \text{I} \right)$

Die Formel beinhaltet die folgenden Größen:

• $p$: Druck
• $V$: Volumen
• $m$: Masse
• $R_s$: spezifische Gaskonstante
• $T$: Temperatur

Es handelt sich um eine Abwandlung der universellen Gasgleichung $\left( p \cdot V = n \cdot R \cdot T \right)$, wobei die Stoffmenge $n$ über die Beziehung $n = \frac{m}{M}$ durch die Masse $m$ ausgetauscht wurde. Dadurch wird aus der universellen Gaskonstante $R$ die spezifische Gaskonstante $R_s$. Auf den Zusammenhang zwischen diesen beiden Konstanten gehen wir gleich noch genauer ein.

Die Dichte von Luft oder anderen Gasen folgt der Definition Masse pro Volumen und wird mit dem kleinen griechischen Buchstaben Rho $(\varrho)$ bezeichnet:

$\varrho = \frac{m}{V}$

Wenn wir die ideale Gasgleichung $\left( \text{I} \right)$ nach $\frac{m}{V}$ umstellen und diesen Bruch durch $\varrho$ ersetzen, erhalten wir für die Dichte:

$\varrho = \frac{p}{R_s \cdot T} \quad \left( \text{II} \right)$

Wir können nun die spezifische Gaskonstante $R_s$ durch die universelle Gaskonstante $R$ und die molare Masse $M$ ausdrücken, denn es besteht folgender Zusammenhang:

$R_s = \frac{R}{M}$

Diese Beziehung setzen wir in die Gleichung für die Dichte $\left( \text{II} \right)$ ein:

$\varrho = \frac{p}{ \frac{R}{M} \cdot T } = \frac{p}{R \cdot T} \cdot M \quad \left( \text{III} \right)$

$R$ ist eine universelle Konstante, hat also immer den gleichen Wert. Wenn wir nun Bedingungen mit konstantem Druck und konstanter Temperatur betrachten, ist die Dichte eines Gases direkt proportional zu seiner molaren Masse, also $\varrho \sim M$. Wir können so die Dichte von Luft mit der hergeleiteten Formel berechnen.

Für den Druck und die Temperatur nehmen wir Standardbedingungen, auch Raumbedingungen genannt, an. Diese sind wie folgt definiert:

$T = 298~\text{K} \newline \newline p = 101\,325~\text{Pa}$

Außerdem benötigen wir den Wert für die universelle Gaskonstante:

$R = 8{,}314~\frac{ \text{J} }{ \text{mol} \cdot \text{K} }$

Wir setzen jetzt alle Werte außer der molaren Masse in die Formel für die Dichte $\left( \text{III} \right)$ ein:

$\varrho= \frac{p}{R \cdot T} \cdot M=\frac{101\,325~\text{Pa}}{8{,}314~\frac{\text{J}}{\text{mol} \cdot \cancel{\text{K}}} \cdot 298~\cancel{\text{K}}} \cdot M = 40{,}9 ~\frac{\text{Pa}\cdot \text{mol}}{\text{J}}\cdot M$

Nun wissen wir außerdem folgendes:

$1~\text{Pa}=1~\frac{\text{N}}{~\text{m}^2}$

$1~\text{J}=1~\text{Nm}$

Demnach gilt:

$\varrho=40{,}9 ~\frac{\text{Pa}\cdot \text{mol}}{\text{J}}\cdot M=40{,}9~\frac{\cancel{\text{N}}}{\text{m}}\frac{\text{mol}}{\cancel{\text{N}}\text{m}^2} \cdot M = 40{,}9 ~\frac{\text{mol}}{\text{m}^3} \cdot M \quad \left( \text{IV} \right)$

Luft besteht hauptsächlich aus Stickstoffmolekülen $\left (\ce{N2} \right)$ und Sauerstoffmolekülen $\left (\ce{O2} \right)$. Wir berechnen zunächst die Dichte von Sauerstoff. Dafür benötigen wir die molare Masse von Sauerstoffmolekülen:

$M_{\ce{O2}} = 32~\frac{\text{g}}{\text{mol}}$

Durch Einsetzen in $\left( \text{IV} \right)$ erhalten wir:

$\varrho_{\ce{O2}} = 40{,}9 ~\frac{\cancel{\text{mol}}}{\text{m}^3} \cdot 32~\frac{\text{g}}{\cancel{\text{mol}}} = 1\,309~\frac{\text{g}}{\text{m}^3}$

$\varrho_{\ce{O2}} = 1{,}309 \frac{\text{kg}}{\text{m}^3}$

Dieselbe Rechnung folgt nun für Stickstoff. Die molare Masse der Stickstoffmoleküle beträgt:

$M_{\ce{N2}} = 28~\frac{\text{g}}{\text{mol}}$

Nach Einsetzen in $\left( \text{IV} \right)$ erhalten wir:

$\varrho_{\ce{N2}} = 1{,}145~\frac{ \text{kg}}{\text{m}^{3}}$

Um die Dichte von Luft zu berechnen, müssen wir die Werte für Sauerstoff und Stickstoff gewichtet nach ihrem Anteil addieren. Dabei vernachlässigen wir andere Gase und nehmen vereinfacht an, Luft bestünde zu $80\,\%$ aus Stickstoff und zu $20\,\%$ aus Sauerstoff:

$\varrho_\text{Luft} = 0{,}8 \cdot \varrho_{\ce{N2}} + 0{,}2 \cdot \varrho_{\ce{O2}} = 1{,}178 ~\frac{\text{kg}}{\text{m}^3}$

Die Dichte von Luft beträgt also unter Standardbedingungen rund $1{,}2 ~\frac{\text{kg}}{\text{m}^3}$.

Dichte von Luft – Abhängigkeit von der Feuchtigkeit

Unsere Berechnung gilt genau genommen nur für vollständig trockene Luft, also Luft, in der keine Feuchtigkeit ist. Normalerweise ist die Luftfeuchtigkeit allerdings größer als null. Wir können ihren Einfluss leicht qualitativ abschätzen, indem wir die molare Masse von Wasser betrachten und mit der von Luft vergleichen:

$M_\text{Luft} \approx 30~\frac{\text{g}}{\text{mol}} > 18~\frac{\text{g}}{\text{mol}} \approx M_\text{Wasser} $

Feuchte Luft muss also eine geringere Dichte als trockene Luft haben, da die Dichte der Luft, wie in Gleichung $\left( \text{III} \right)$ gezeigt, direkt proportional zur molaren Masse ist (bei ansonsten gleichen Bedingungen).

Dichte von Luft – Abhängigkeit von der Temperatur

Wir hatten bisher angenommen, dass sowohl Temperatur als auch Druck konstant sind. In der Realität ist das aber natürlich selten der Fall. Insbesondere die Temperatur ändert sich beispielsweise im Verlauf eines Tages. Und die Dichte der Luft ist unter anderem auch von der Temperatur abhängig. Wenn die Luft Raum hat, um sich bei Erwärmung auszudehnen, nimmt die Dichte mit steigender Temperatur ab. Heiße Luft ist also weniger dicht als kalte – deswegen steigt sie auch auf.

Dichte von Luft – Abhängigkeit von der Höhe

Auch die Höhe hat einen Einfluss auf die Dichte der Luft: Diese nimmt mit zunehmender Höhe immer weiter ab. Deswegen haben Flugzeuge auch Druckkabinen. Und deswegen müssen Bergsteiger auf sehr hohen Bergen wie dem Mount Everest Sauerstoffflaschen benutzen – die Luft ist in diesen Höhen so dünn, dass man nur noch schwer genügend Sauerstoff einatmen kann. Allerdings ist die Dichteabnahme mit steigender Höhe relativ kompliziert zu berechnen, da auch die Temperatur sich in unterschiedlichen Höhen stark unterscheidet.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Dichte von Luft