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Auftrieb

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Die Autor*innen
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Sandra Haufe
Auftrieb
lernst du in der Sekundarstufe 1. Klasse - 2. Klasse

Grundlagen zum Thema Auftrieb

Inhalt

Auftriebskraft Physik

Vielleicht sind dir schon einmal folgende Dinge aufgefallen: Befindet sich etwas im Wasser, ist es deutlich leichter, diesen Gegenstand hochzuheben, als außerhalb des Wassers. Bestimmt hast du auch schon einmal bemerkt, dass der Wasserspiegel der Badewanne ansteigt, wenn du hineingehst. Beides hängt mit dem Auftrieb und dem archimedischen Prinzip zusammen. Aber was ist der Auftrieb? In diesem Text wird der Auftrieb einfach erklärt.


Was bedeutet Auftrieb?

Schauen wir uns zunächst an, wie der Auftrieb und die Auftriebskraft definiert sind: Ein Körper, der sich im Wasser befindet, hat scheinbar eine geringere Gewichtskraft als außerhalb des Wassers. Dieses Phänomen wird statischer Auftrieb genannt. Auf Körper, die sich ganz oder teilweise in einer Flüssigkeit oder einem Gas befinden, wirkt die Auftriebskraft. Die Auftriebskraft wirkt entgegen der Gewichtskraft, also nach oben. Das Verhältnis zwischen Gewichtskraft und Auftriebskraft bestimmt, ob ein Körper sinkt, schwebt, steigt oder schwimmt.


Wie entsteht Auftrieb?

Stell dir zunächst ein Gefäß gefüllt mit Wasser vor. Wir wissen bereits, dass der Druck im Wasser steigt, je tiefer man kommt. Lassen wir nun einen Würfel in das Wasser, so ist der Druck an der oberen Kante des Würfels geringer als an der unteren Kante des Würfels, da diese bereits tiefer im Wasser ist. Der Druck, der links und rechts auf die Seiten wirkt, ist gleich groß und hebt sich demnach gegenseitig auf.

In der folgenden Grafik ist der Druck mithilfe von Pfeilen dargestellt. Je länger ein Pfeil, desto größer der Druck. Da Druck nichts anderes als Kraft pro Fläche ist, können wir auch je eine Kraft bestimmen, die insgesamt auf die untere beziehungsweise obere Fläche wirkt.

Auftriebskraft

Das bedeutet, dass auf die obere Fläche insgesamt eine geringere Kraft $F_1$ wirkt als auf die untere Fläche. $F_2$ bezeichnet die Kraft, die auf die untere Fläche wirkt. Die Differenz aus beiden Kräften ergibt die Auftriebskraft $F_A$.

$F_2 - F_1 = F_A$

Im Wasser wirkt die Auftriebskraft nach oben. Die Gewichtskraft eines Körpers wirkt weiterhin nach unten. Da die Auftriebskraft der Gewichtskraft entgegenwirkt, wird der Körper im Wasser leichter.


Auftrieb berechnen mithilfe des archimedischen Gesetzes

Schauen wir uns ein zweites Beispiel für den Auftrieb an. Stellen wir uns wieder einen Behälter mit Wasser vor. Wieder tauchen wir den Würfel darin ein. Nun können wir beobachten, dass der Wasserspiegel steigt. Der Würfel verdrängt Wasser.

archimedes_Gesetz

Das Volumen des verdrängten Wassers entspricht genau dem Volumen des Würfels. Das archimedische Gesetz besagt:

Die Auftriebskraft des eingetauchten Körpers entspricht der Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeit.

Also:

$F_A = F_{G, verdrängt}$

Die Gewichtskraft wiederum entspricht der Masse $m_{verdrängt}$ des verdrängten Wassers mal der Fallbeschleunigung $g$.

$F_G = m_{verdrängt} \cdot g$

Setzen wir das in die andere Formel ein, so erhalten wir:

$F_A = m_{verdrängt} \cdot g$

Die Masse kann ebenfalls ersetzt werden, da diese der Dichte $\rho$ des Wassers multipliziert mit dem verdrängten Volumen $V_{verdrängt}$ entspricht.

$m = \rho \cdot V_{verdrängt}$

Daraus ergibt sich die Formel für die Auftriebskraft:

$F_A = \rho \cdot V_{verdrängt} \cdot g$


Auftrieb berechnen – Beispiel

Berechnen wir nun die Auftriebskraft des Würfels. Die Dichte des Wassers entspricht:

$\rho = 1.000\,\pu{\frac{kg}{m^{3}}}$

Nehmen wir für den Würfel eine Kantenlänge von $10\,\pu{cm}$, so erhalten wir für sein Volumen:

$V = (10\,\pu{cm})^{3} = 0,001\,\pu{m^{3}}$

Bei den Größen müssen wir die Einheiten beachten. Aus diesem Grund geben wir das Volumen ebenfalls in $\pu{m}^{3}$ an. Die Fallbeschleunigung $g$ ist in der Einheit Newton, kurz $\pu{N}$, pro Kilogramm, kurz $\pu{kg}$, gegeben und entspricht:

$g \approx 10\,\pu{\frac{N}{kg}}$

Diese Werte können wir nun in die Formel einsetzen.

$F_A = \rho \cdot V \cdot g = 1.000\,\pu{\frac{kg}{m^{3}}} \cdot 0,001\,\pu{m^{3}} \cdot 10\,\pu{\frac{N}{kg}}$

$\Leftrightarrow F_A = 10\,\pu{N}$

Die Auftriebskraft des Würfels entspricht demnach $10\,\pu{N}$.


Auftriebskraft – Schwimmen, Sinken, Steigen und Schweben

Ob ein Körper in einer Flüssigkeit sinkt, steigt, schwimmt oder schwebt, hängt vom Verhältnis zwischen Auftriebskraft und Gewichtskraft des Körpers ab.

  • $F_G > F_A$: Ist die Gewichtskraft größer als die Auftriebskraft, dann sinkt ein Körper nach unten. So zum Beispiel ein Stein im Wasser.
  • $F_G = F_A$: Sind Gewichtskraft und Auftriebskraft gleich, so schwebt ein Körper in einer gewissen Tiefe. So zum Beispiel ein Fisch in einer bestimmten Wassertiefe.
  • $F_G < F_A$: Ist die Gewichtskraft geringer als die Auftriebskraft, so steigt ein Körper nach oben. Ein Beispiel dafür ist ein Ball, den man unter Wasser drückt.
  • $F_G = F_A$: Sind Gewichtskraft und Auftriebskraft gleich, befindet sich jedoch ein Teil des Körpers außerhalb des Wassers, so schwimmt ein Körper. So zum Beispiel ein Schlauchboot.

Zusammenfassung Auftrieb

Die folgenden Stichpunkte fassen das Wichtigste zum Thema Auftrieb noch einmal zusammen.

  • Es gibt zwei verschiedene Varianten, den Auftrieb zu erklären.
  • Erste Möglichkeit, den Auftrieb zu erklären, ist mithilfe des Druckunterschieds an der oberen und unteren Kante des Körpers.
  • Zweite Möglichkeit, den Auftrieb zu erklären, ist mithilfe des archimedischen Gesetzes: Der Auftrieb ist genauso groß wie die Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeit.
  • Dieses Prinzip gilt nicht nur in Wasser, sondern ebenfalls in allen anderen Flüssigkeiten und Gasen.
  • Ein Körper kann in einem Gas oder einer Flüssigkeit schweben, sinken, steigen oder schwimmen. Abhängig ist das vom Verhältnis zwischen Gewichtskraft und Auftriebskraft.

Weitere Beispiele für den Auftrieb findest du hier auf der Seite. Es sind Arbeitsblätter und Übungen zum Thema Auftrieb vorhanden.

Transkript Auftrieb

Hallo! In diesem Video geht es um den Auftrieb. Das Archimedische Prinzip spielt dabei eine entscheidende Rolle. Folgende Situationen, die mit dem Auftrieb verbunden sind, kennen wir aus dem Alltag: 1. Wenn wir uns im Wasser befinden, ist es sehr leicht andere Menschen hochzuheben. Und: 2. Wenn wir in eine Badewanne steigen, steigt der Wasserspiegel. Also: Man wird leichter im Wasser. Und: Man verdrängt Wasser. Dass die Situationen beide eng miteinander zusammenhängen, werden wir jetzt sehen: Es gibt zwei Wege, um den Auftrieb zu erklären. Der Erste: Dies ist ein Gefäß mit Wasser. Wir lassen jetzt diesen orangefarbenen Würfel in das Wasser hinab. Wir wissen bereits, dass der Duck im Wasser zunimmt, je tiefer man kommt. Und deswegen ist es auch hier beim  Würfel so, dass der Druck an der oberen Kante des Würfels noch geringer ist als an der unteren Kante. Ich habe das hier jetzt mal mit Pfeilen dargestellt. Der Druck, der jetzt links und rechts auf die Seiten wirkt, hebt sich gegenseitig auf. Das heiß aber auch, dass auf die obere Fläche insgesamt eine kleinere Kraft, F1 wirkt, als auf die untere Fläche. Und die Differenz aus den beiden Kräften, also F1-F2, ergibt dann FA. Das nennen wir die Auftriebskraft. Wenn die Gewichtskraft des Würfels FG jetzt aber nach unten wirkt, und die Auftriebskraft nach oben, dann ist die resultierende Kraft am Ende kleiner, als die Gewichtskraft des Würfels. Der Körper wird also leichter. Mit den bekannten Formeln für den Druck P, kann man nun ausrechnen, wie groß die Auftriebskraft des Würfels denn nun ist. Das will ich aber jetzt nicht im Einzelnen zeigen. Nehmen wir an, der Würfel wurde 10cm untergetaucht. Und er hat auch eine Kantenlänge von 10cm, dann ergibt sich für die Auftriebskraft: FA=10N. Das heißt, der Würfel wird um 10 Newton leichter. Das entspricht etwa einem Kilogramm. Und genau aus diesem Grund werden auch wir im Wasser leichter, denn unsere Füße erfahren eine größere Kraft als zum Beispiel unser Bauch.   Nun zum zweiten Weg sich dem Auftrieb zu nähern. Wir haben her einen Behälter mit Wasser. Wieder tauchen wir den Würfel darin ein. Und nun sehen wir, dass der Wasserspiegel steigt. Der Würfel verdrängt also Wasser. -Und zwar genau so viel Wasser wir das Volumen des Würfels. Und nun kommt Archimedes ins Spiel. Dieser sagt nämlich, dass die Auftriebskraft des Würfels genau der Gewichtskraft des verdrängen Wassers entspricht. Also die Auftriebskraft FA ist gleich der Gewichtskraft FG des verdrängten Wassers. Und die Gewichtskraft FG ist ja dasselbe wie M×g, also Masse mal Ortsfaktor. Dann können wir FG ersetzen und erhalten dann: FA=m×g. Und jetzt können wir auch die Masse ersetzen. Das ist nämlich dasselbe wie Dichte mal Volumen, also: ?×V. Das ergibt dann: FA=?V×g Und das ist unsere endgültige Formel für die Auftriebskraft. Und jetzt wollen wir das mal richtig für diesen Würfel hier ausrechen: Die Dichte des Wassers kennen wir, die ist 1000 kg/m³. Das Volumen des Würfels, dessen Kantenlänge ja 10cm ist, können wir auch berechne. Das ergibt dann 0,001m³. Achtung: Es ist wichtig, dass alle Größen in den Grundeinheiten angeben sind, sonst erhalten wir nachher ein falsches Ergebnis. Also hier Kubikmeter und nicht Zentimeter. Dann kenne wir auch noch den Ortsfaktor g. Der ist ungefähr 10N/kg. Diese Werte können wir nun in die Formel einsetzen: Das ergibt dann: FA=1000kg/m³×0,001m³×10N/kg Und das Endergebnis ist dann die Auftriebskraft des Würfels: FA=10N Wir sehen also, beide Wege führen zum selben Ergebnis. Also jetzt wissen wir auch, warum Archimedes dieses Gesetz in der Badewanne eingefallen sein soll. Noch eine kurze Zusammenfassung: Bei 1. haben wir den Druckunterschied beim Würfel mit der oberen und unteren Seite erklärt. Im zweiten Punkt war es Archimedes, der sagt, dass der Auftrieb des Würfels genauso groß ist wie die Gewichtskraft des verdrängten Fluids. Denn dieses Prinzip gilt nicht nur in Wasser, sondern auch in allen anderen Flüssigkeiten und sogar in Gasen. Also, das war es zum Thema Auftrieb und Archimedes.

23 Kommentare

23 Kommentare
  1. @Kyokon,

    danke für den Hinweis. Die Aufgabe wurde angepasst.

    Grüße aus der Redaktion

    Von Karsten S., vor fast 4 Jahren
  2. Bonus-Aufgabe 5: 1,03tm3⋅35m3=36,06t ist falsch, richtig ist 36,05t, daraus abgeleitet sind die Grenzwerte anders

    Von Kyokon, vor fast 4 Jahren
  3. Ich checke nix :(

    Von Priya S., vor mehr als 4 Jahren
  4. @Julie,
    falls du noch Fragen zu dem Thema hast, wende dich gerne an unseren Hausaufgabenchat. Dieser ist Mo-Fr von 17-19 Uhr für dich erreichbar.

    Von Karsten S., vor mehr als 4 Jahren
  5. Ich versteh nix😢😰

    Von Julie❤️, vor mehr als 4 Jahren
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Auftrieb Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Auftrieb kannst du es wiederholen und üben.
  • Entscheide, welche Aussagen korrekt sind.

    Tipps

    $ F_R = F_G - F_A $

    Das Wasser in der Badewanne steigt, wenn du dich hineinsetzt.

    Im Wasser kannst du schwimmen, aber fliegen kannst du nicht.

    Lösung

    Der Auftrieb ist ein physikalisches Prinzip, welches sich auf einige, einfache Beobachtungen stützt.

    Man kann sehen, dass Wasser, durch einen Körper, verdrängt wird. Das Wasser in der Badewanne steigt, wenn du dich hineinsetzt.

    Außerdem werden Gegenstände leichter, wenn wir sie im Wasser heben. Das merkst du daran, dass du im Wasser schwimmen kannst, an der Luft wird dir das wohl nicht gelingen.

    Es muss demnach eine Kraft wirken, die der Gewichtskraft entgegenwirkt und das Schwimmen im Pool möglich macht.

    Diese Kraft bezeichnet man als Auftrieb oder Auftriebskraft $F_A$.

    Erklären können wir diese dadurch, dass ein Druckunterschied (der Druck ist eine Kraft auf einer bestimmen Fläche) zwischen der Unterseite und der Oberseite des eingetauchten Körpers besteht. Dabei ist der hydrostatische Druck auf der Unterseite höher als der auf der Oberseite und es entsteht eine resultierende Kraft, die nach oben gerichtet ist, also entgegen der Gewichtskraft $ F_G$.

    Gegenstände werden im Wasser also leichter, weil die Gewichtskraft um den Betrag der Auftriebskraft verringert wird :

    $ F_R = F_G - F_A $

  • Definiere die Bedeutung der Formeln.

    Tipps

    Die Auftriebskraft ist in der Regel auf ein Volumen bezogen.

    Ein Liter Wasser wiegt ein Kilogramm.

    $ F_R = F_G - F_A $

    Lösung

    Der Auftrieb umfasst einige zentrale Begriffe. Dazu gehören die Dichte, die Auftriebskraft, die Gewichtskraft und die Druckdifferenz. Diese schauen wir uns noch einmal genauer an:

    Die Dichte ist definiert als das Verhältnis von Masse zu Volumen. Je größer dabei die Masse bei konstantem Volumen ist, desto größer ist auch die Dichte. Es gilt :

    $ \rho = \frac{m}{V} $.

    Eine Dichte, die man sich gut merken kann, ist die Dichte des Wassers:

    $ \rho_W = 1 \frac{g}{cm^3} =1000 \frac{g}{dm^3} $.

    Neben der Dichte sind insbesondere zwei Kräfte interessant: die Auftriebskraft $F_A$ und die Gewichtskraft $F_G$.

    Dabei bezeichnet man in der Regel :

    $ F_G = m \cdot g $ und $ F_A = \rho \cdot V \cdot g $

    Diese beiden Kräfte bestimmen die resultierende Kraft $F_R$ , die notwendig ist, einen Körper in einem Medium (zum Beispiel Wasser) anzuheben.

  • Ermittle das Volumen des Pottwals und die Auftriebskraft, die auf diesen wirkt.

    Tipps

    Das Volumen ist über die Dichte und die Masse eines Körpers genau bestimmt

    $ 51,5 t = 51.500,000 kg $

    Vereinfachend nehmen wir an, dass $ g = 10,0 {N}{kg} $

    $ V = \frac{m}{\rho} $

    Lösung

    Das Volumen ist über die Dichte und die Masse eines Körpers genau bestimmt. Es gilt der Zusammenhang :

    $ V = \frac{m}{\rho} $.

    Ist also bekannt, welche Masse und Dichte ein Körper (oder ein Wal) hat, so können wir diese einfach in die Formel für $V$ einsetzen und erhalten das Volumen.

    Wichtig ist dabei, dass wir immer mit denselben Einheiten rechnen. Ist die Dichte etwa in $\frac{g}{cm^3}$ gegeben und die Masse in $kg$, so müssen wir eine der beiden Größen umrechnen.

    Dabei ist es meistens einfacher, die Masse anzupassen.

    Für die Berechnung unseres Wales müssen wir also zunächst sein Gewicht in $g$ umrechnen:

    $51,5 t = 51.500,000 kg = 51.500.000,000 g $

    Mit der gegebenen Dichte von $ \rho_{PW} = 1,03 \frac{g}{cm^3} $ ergibt sich also nach :

    $ V = \frac{m}{\rho} = \frac{m_{PW}}{\rho{PW}} = \frac{51.500.000,000 g}{1,03 \frac{g}{cm^3}} = 50.000.000 cm^3 $.

    Umgeformt ergibt sich ein Wert von $ V_{PW} = 50 m^3$.

    Die Auftriebskraft ergibt sich dann aus der Gewichtskraft des durch den Wal verdrängten Wasservolumens.

    Vereinfachend nehmen wir an, dass $ g = 10,0 {N}{kg} $.

    $F_{G,Wasser} = V_{PW} \cdot \rho_{Wasser} \cdot g = 50,0 m^3 \cdot 1000 \frac{kg}{m^3} \cdot 10 \frac{N}{kg} = 500.000 N = 500 kN $

  • Ermittle die Dichte.

    Tipps

    $ \rho = \frac{m}{V} $

    Es soll gelten : $\rho_{Au} = \rho_K $

    Lösung

    Um die Dichte der Krone zu ermitteln, müssen wir ihr Gewicht $m_K$ und ihr Volumen $V_K$ kennen. Die Dichte errechnet sich dann leicht aus $ \rho = \frac {m}{V} $.

    Die Masse eines Gegenstandes kann man leicht mittels einer Waage ermitteln. Das konnte auch schon Archimedes.

    Er erhielt den Wert $m_K = 2123 g $.

    Das Volumen konnte man für einfache Körper wie Würfel oder Prismen schon berechnen. Eine Krone ist aber ein komplexerer Körper, sodass es einen anderen Weg geben musste, das Volumen zu bestimmen.

    Dazu konnte sich Archimedes des Phänomens der Verdrängung von Wasser durch einen Körper bedienen. Ihm fiel eines Tages auf, dass das Badewasser ansteigt, wenn er sich in eine Wanne setzt.

    Genauso muss auch die Krone das Volumen an Wasser verdrängen, welches diese selbst einnimmt.

    Archimedes konnte so mit einem einfachen Messzylinder gefüllt mit Wasser ermitteln, welches Volumen die Krone einnimmt. In unserem Beispiel beträgt das gemessene Volumen $V_K = 110 cm^3 $.

    Nach der Formel für die Dichte :

    $ \rho = \frac{m}{V} $

    ergibt sich die Dichte der Krone zu

    $ \rho_K = \frac {2123 g}{110 cm^3} = 19,3 \frac{g}{cm^3} $.

    Die Dichte der Krone entspricht also genau der bereits bekannten Dichte von Gold. $\rho_{Au} = \rho_K $

    Damit konnte Archimedes mit den Gesetzmäßigkeiten der Physik versichern, dass die Krone des Königs tatsächlich aus Gold bestand.

  • Bezeichne die Kraft.

    Tipps

    Es gilt das Archimedische Prinzip.

    Die Druckdifferenz in der Wassersäule liefert ebenfalls einen gültigen Ansatz.

    Lösung

    Die gesuchte Kraft ist die Auftriebskraft $F_A$. Diese kompensiert einen Teil der Gewichtskraft eines Gegenstandes im Wasser, sodass du nur den übrigen Teil heben musst.

    Es gilt :

    $F_R = F_G - F_A$

    Der Betrag der resultierenden Kraft $F_R$ errechnet sich also aus der Gewichtskraft $F_G$, die zum Erdmittelpunkt zeigt und der Auftriebskraft $F_A$ , die entgegengesetzt wirkt. (Deshalb sind die Vorzeichen umgekehrt.)

    Dieses Prinzip wurde von Archimedes beschrieben. Man kann den Auftrieb mit dem nach ihm benannten Archimedischen Prinzip erklären.

    Dieses besagt, dass die Gewichtskraft des verdrängten Wassers genau der Auftriebskraft auf den betrachteten Körper entspricht.

    Einen anderen Ansatz zur Erklärung liefert der Druck. Dieser steigt mit zunehmender Wassertiefe. Das heißt, er ist am unteren Ende eines betrachteten Gegenstandes größer als am oberen. Dieser Unterschied resultiert ebenfalls in einer Kraft $F_A$.

  • Berechne die Beladung des U-Bootes.

    Tipps

    Im Grenzfall gilt $ \rho_{U-Boot,betankt} = 1030 \frac{g}{cm^3} $.

    Das umgebende Wasser hat eine Dichte von $ \rho_{SW} = 1030 \frac{g}{cm^3} $.

    Berechne zunächst die zum Sinken benötigte Masse.

    Lösung

    Das U-Boot hat im unbefülllten Zustand eine Dichte von etwa $ \rho_{leer} = \frac{33t}{35m^3} = 0,943 \frac{t}{m^3} $.

    Im Grenzfall soll die Dichte auf $ \rho_{Salzwasser} = 1030 \frac{t}{m^3} $ ansteigen.

    Das heißt, das U-Boot soll (im Grenzfall) genau soviel wiegen wie das verdrängte Wasser.

    Dieses muss dann $ m_{Wasser} = \rho_{Salzwasser} \cdot V_{U-Boot} = 1,03 \frac {t}{m^3} \cdot 35 m^3 = 36,05 t $ wiegen.

    Daraus ergibt sich die Massedifferenz zwischen dem leeren U-Boot und dem gerade eben absinkenden zu :

    $m_{diff} = 36,05 t - 33,0 t = 3,05 t $

    Es müssen also $ 3,05 t$ Salzwasser eingefüllt werden, damit das Boot zu sinken beginnt.

    Bei bekannter Dichte des Salzwassers ergibt sich das Volumen zu :

    $ V_{einfüll} = \frac{m_{diff}}{\rho} = \frac{3,05 t}{1,03 \frac{t}{m^3}} = 3,1415 m^3 $

    Die Tanks des U-Bootes müssen also mindestens $ 3,1415 m^3 $ fassen, damit es sinken kann. In der Realität muss es natürlich mehr sein, damit man auch schneller abtauchen kann.

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