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Binäre Darstellung von Zahlen, Buchstaben und Zeichen

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Team Wissensdurst
Binäre Darstellung von Zahlen, Buchstaben und Zeichen
lernst du in der Sekundarstufe 4. Klasse - 5. Klasse - 6. Klasse - 7. Klasse

Beschreibung Binäre Darstellung von Zahlen, Buchstaben und Zeichen

Inhalt

Das Binärsystem

Du hast vermutlich schon einmal gehört, dass Computer zur Berechnung von Zahlen oder Algorithmen nur zwei Zustände kennen – Strom ein und Strom aus. Diese Zustände kann man auch mit den Zahlen $1$ und $0$ bezeichnen. Um mit lediglich zwei unterschiedlichen Ziffern beliebige Zahlen darstellen zu können, benötigt man das Binär- oder Dualsystem. Was es damit auf sich hat, wollen wir uns im Folgenden genauer anschauen.

Wiederholung: Dezimalsystem

Bevor wir uns dem Dualsystem zuwenden, wollen wir uns kurz in Erinnerung rufen, was das Dezimalsystem ausmacht. Das Wort Dezimal stammt vom lateinischen Wort decem ab, was zehn bedeutet. Man sagt auch Zehnersystem. Der Name kommt daher, dass dieses System die Zahl zehn als Basis hat. Das bedeutet, es gibt die zehn Ziffern:

$0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$

Diese Ziffern werden mit dem Stellenwert der Stelle multipliziert, an der sie stehen. Die Stellenwerte im Dezimalsystem sind immer Zehnerpotenzen, die von rechts nach links aufsteigend geordnet werden. Zur Verdeutlichung stellen wir das Prinzip anhand des Beispiels der Zahl $1826$ in einer Tabelle dar:

Vierte Stelle Dritte Stelle Zweite Stelle Erste Stelle
$10^{3}$ $10^{2}$ $10^{1}$ $10^{0}$ Zehnerpotenz
$1.000$ $100$ $10$ $1$ Stellenwert
$1$ $8$ $2$ $ 6 $ Ziffer

Es ist Konvention, die Ziffern ohne Abstand hintereinander zu schreiben. Man könnte diese Zahl auch folgendermaßen schreiben:

$1 \cdot 10^{3}+ 8 \cdot 10^{2}+ 2 \cdot 10^{1} + 6 \cdot 10^{0} $

Da im Alltag sowie im Physik- und Matheunterricht fast ausschließlich im Dezimalsystem gerechnet wird, wird das System selten extra vermerkt. Wenn allerdings Verwechslungsgefahr besteht, kann man die Basiszahl des genutzten Systems tiefgestellt anfügen:

$[1826]_{10}$

Binärsystem – Definition

Das Binär- oder Dualsystem hat als Basis die Zahl zwei. Es gibt also nur zwei Ziffern in diesem System:

$0,1$

Auch hier werden die Ziffern mit dem Stellenwert der Stelle multipliziert, an der sie stehen. Der Stellenwert ist allerdings durch Zweierpotenzen gegeben, die von rechts nach links aufsteigend notiert werden. Eine Zahl im Binärsystem besteht also aus einer Zeichenkette aus Einsen und Nullen. Die Zahl $[1826]_{10}$ aus unserem vorigen Beispiel sähe im Binärsystem beispielsweise folgendermaßen aus:

$[11100100010]_{2}$

Auch hier machen wir das Prinzip durch ein Beispiel der Umrechnung deutlich. Wir schauen uns dazu an, wie man die Zahl $[13]_{10}$ im Binärsystem schreiben würde.

Wenn wir eine Zahl aus dem Dezimalsystem in das Binärsystem umrechnen wollen, gehen wir am besten von den großen zu den kleinen Potenzen vor. Dazu suchen wir zunächst die größte Zweierpotenz, die kleiner als die gesuchte Zahl ist. Die Zahl, die wir umrechnen wollen, ist die $[13]_{10}$. Die Zahl $2^{4} = 16$ ist größer als $13$, also bleibt diese Stelle frei. Die Zahl $2^{3} = 8$ ist kleiner als $13$. Sie ist damit die größte Zweierpotenz, die kleiner als die gesuchte Zahl ist. Sie bekommt also die Ziffer $1$. Wir veranschaulichen die Umrechnung ins Binärsystem in einer Tabelle:

Vierte Stelle Dritte Stelle Zweite Stelle Erste Stelle
$2^{3}$ $ 2^{2} $ $ 2^{1} $ $2^{0} $ Zweierpotenz
$ 8 $ $ 4 $ $ 2 $ $ 1 $ Stellenwert
$1$ Ziffer

Wir rechnen $13-8$ und erhalten als Rest $5$. Die nächstkleinere Zweierpotenz ist $2^{2} = 4$. Da $4$ kleiner als $5$ ist, schreiben wir auch an diese Stelle die Ziffer $1$.

Vierte Stelle Dritte Stelle Zweite Stelle Erste Stelle
$2^{3}$ $ 2^{2} $ $ 2^{1} $ $2^{0} $ Zweierpotenz
$ 8 $ $ 4 $ $ 2 $ $ 1 $ Stellenwert
$1$ $1$ Ziffer

Wir rechnen $13-8-4 = 1$. Wir haben also einen Rest von $1$. Die nächstkleinere Zweierpotenz ist $2^{1} = 2$. Diese ist größer als $1$ – daher schreiben wir an diese Stelle eine Null. Erst an die letzte Stelle, die mit $2^{0}=1$ die Einerstelle darstellt, schreiben wir wieder eine $1$.

Vierte Stelle Dritte Stelle Zweite Stelle Erste Stelle
$2^{3}$ $ 2^{2} $ $ 2^{1} $ $2^{0} $ Zweierpotenz
$ 8 $ $ 4 $ $ 2 $ $ 1 $ Stellenwert
$1$ $1$ $0$ $ 1 $ Ziffer

Damit haben wir die Zahl $[13]_{10}$ ins Binärsystem umgerechnet:

$[13]_{10} = [1101]_{2}$

Will man eine Zahl aus dem Binärsystem ins Dezimalsystem umrechnen, geht man ähnlich vor. In diesem Fall addiert man den Stellenwert aller Zweierpotenzen, an deren Stelle eine Eins steht. In unserem Beispiel $[1101]_{2}$ können wir direkt aus der Tabelle ablesen:

$1 \cdot 2^{3} + 1 \cdot 2^{2} + 0\cdot 2^{1} + 1 \cdot 2^{0} = 8 + 4 + 0 + 1 = [13]_{10}$

Binärsystem – Anwendung

Das Binärsystem findet insbesondere in Computern Anwendung. Du hast sicher schon die Bezeichnungen $8~\text{Bit}$, $16~\text{Bit}$, $32~\text{Bit}$ und $64~\text{Bit}$ gehört. Diese Bezeichnungen geben an, wie viele Stellen des Binärsystems ein Computer bzw. Betriebssystem nutzen kann. Bei $8~\text{Bit}$ sind es genau acht Stellen. Mit $8~\text{Bit}$ lassen sich die Zahlen $0$ bis $255$, also insgesamt $256$ Zahlen, darstellen. Damit konnten frühe Computer beispielsweise $256$ Farben codieren. Heutzutage sind viel mehr Farben bzw. Zustände möglich:

Anzahl der Bits Anzahl der darstellbaren Zustände
$8$ $256$
$16 $ $65.536$
$32$ $4.294.967.296 $
$64 $ $1,844674407 \cdot 10^{19}$

Das Video zum Binärsystem

In diesem Video wird dir das Binärsystem einfach erklärt. Du erfährst, was das Binärsystem ist und wie du Zahlen vom Dezimal- ins Binärsystem umrechnen kannst. Neben Text und Video findest du auch eine Übung, mit der du dein neues Wissen gleich überprüfen kannst.

Transkript Binäre Darstellung von Zahlen, Buchstaben und Zeichen

Im Deutschen nutzen wir zum Schreiben die Buchstaben A bis Z, die Umlaute, das ß, einige Satzzeichen und einige weitere Zeichen. Durch das Aneinanderreihen dieser Zeichen können wir Wörter bilden. Im Binärsystem ist das sehr ähnlich, nur dass es hier lediglich zwei binäre Ziffern gibt, nämlich die Null und die Eins. Durch das Aneinanderhängen dieser zwei Ziffern entstehen auch Wörter. Diese Datenwörter können von Programmen als Informationen interpretiert werden. Wie kann man eigentlich mit nur zwei Zuständen, also null und eins, Informationen codieren? Schauen wir uns das mal bei Zahlen an. Das Binärsystem ist ein Dualsystem. Das ist ein Zahlensystem mit der Basiszahl zwei. Die Darstellung ganzer Zahlen erfolgt hier im Stellenwertsystem. Sehen wir uns doch hier mal die Stellenwerttafel an. Die Wertigkeit einer Stelle wird hier durch die Basis zwei bestimmt. Man rechnet 20, das wäre 1. 21, das ergibt 2. 22, also 4 und so weiter. Je nachdem, welche Zahl man abbilden will, trägt man die Zahlen 0 und 1 von rechts in die Stellenwerttafel ein. Dann werden die einzelnen Stellenwerte addiert. Schauen wir uns mal an, wie man hier die Zahl 13 erhält. In der 13 ist als größtmögliche Zahl aus der Stellenwerttabelle die Zahl 8 enthalten. Wir setzten eine 1 in das Feld unter der 8. Es bleibt ein Rest von 13 - 8, also 5. In der 5 ist als nächstgrößtmögliche Zahl in der Stellenwerttabelle die Zahl 4, also 22 enthalten. Auch hier schreiben wir eine 1 in das entsprechende Feld, bleibt ein Rest von 5 - 4, also 1. 1 ist kleiner als 21, also 2. Daher kommt hier eine 0 in das Feld. 20 ist 1, also kommt hier eine 1 in das Feld. 13 ist demnach 1 23 +1 22 + 2 + 0 21 + 1 20. Der Binärcode lautet 1101. Natürliche Zahlen werden also durch ganz bestimmte Reihenfolgen von Nullen und Einsen dargestellt. Üblich sind dabei Codelängen von 8 Bit, 16 Bit, 32 Bit und bei neueren Computern auch 64 Bit. Mit 8 Bit lassen sich Zahlen von 0 bis 255 darstellen, mit 64 Bit schon etwa 18,4 Trillionen Zahlen. Auch Farben sind durch Zahlen codiert. Jede Zahl steht für einen Farbwert. Die ersten Spielsysteme hatten einen Farbraum von 8 Bit, also 256 Zeichen. Sie konnten also nur 256 Farben darstellen. Würden wir diesen Film mit nur 256 Farben machen, würde das so aussehen. Na ja, könnte besser sein. Mit 16 Bit können immerhin schon Zahlen von 0 bis 65535 dargestellt werden, also bis zu 65536 Farben. Mit 32 Bit erhält man zahlen von 0 bis 4294967295. Das reicht bereits für die Mehrzahl der Anwendungen und auch für unseren Film. Mit binären Zahlen kann man auch Buchstaben und Sonderzeichen codieren. Wir müssen nur festlegen, welches Zeichen welchen Binärcode bekommt. Derartige Zuordnungen werden als Zeichensatz oder allgemeiner als Codierung bezeichnet. Ach, das gibt es schon? Der American Standard Code for Information Interchange, kurz ASCII ist die älteste, schon festgelegte Zeichensatztabelle und die ist heute immer noch aktuell. Beim ASCII-Zeichensatz werden lediglich 7 Bits zur Darstellung von Zeichen verwendet. Es können also maximal 27 = 128 verschiedene Zeichen dargestellt werden. Dazu gehören neben den Groß- und Kleinbuchstaben, den Ziffern, Interpunktionszeichen und einigen mathematischen Zeichen auch Steuercodes, wie der Zeilenumbruch. Durch Zeichenfolgen aus dem ASCII-Zeichensatz sind bereits kleine Kunstwerke darstellbar, eine Kuh, Yin und Yang, Sven, ein Radfahrer, eine Eule, ein Hausschwein. Wahnsinn, was man da schon alles machen kann, mit nur 7 Bit. Umlaute, das ß, das Eurosymbol, französische Akzente oder gar chinesische Zeichen gibt es im ASCII-Zeichensatz allerdings nicht. Seit 1991 wird daher an der Einführung von neuen Standards gearbeitet. Sie sollen endlich alle Schriftzeichen aller Sprachen der Welt durch binäre Daten darstellbar machen. Dieser Zeichensatz wird als Unicode bezeichnet. Das bedeutet Einheitsschlüssel. Ende 2013 umfasste der Unicode-Zeichensatz bereits über 100000 verschiedene Zeichen aus 100 verschiedenen Schriftsystemen.

5 Kommentare

5 Kommentare
  1. Hilfreich und ein kleines Sendung mit der Maus feeling :D

    Von Johannes, vor 15 Tagen
  2. Hallo Jurgita,

    dies ist eine Singlechoice Aufgabe. Wenn du die Aufgabe anklickst und dann die richtige Lösung auswählst und auf überprüfen klickst, wird deine Lösung kontrolliert.

    Liebe Grüße aus der Redaktion.

    Von Karsten S., vor mehr als einem Jahr
  3. Bei den Aufgaben, kann man keine Lösungen eingeben bzw.ist da durch keine Kontrolle möglich.

    Von Jurgita Drizgaite, vor mehr als einem Jahr
  4. Das video war sehr hilfreich. Danke !!!

    Von Alperen K., vor fast 2 Jahren
  5. was genau bringt der ascii code ich habe das nicht ganz verstanden

    Von Ben P., vor mehr als 3 Jahren
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