Parallelschaltung

Inhalt

• Die Parallelschaltung
• Die Parallelschaltung – Strom
• Die Parallelschaltung – Spannung
• Die Parallelschaltung – Widerstand
• Kurze Zusammenfassung zum Video: Parallelschaltung

Die Parallelschaltung

In der Elektrotechnik gibt es verschiedene Möglichkeiten, Bauteile miteinander zu verschalten. Eine Möglichkeit ist die Parallelschaltung.

Wir wollen uns im Folgenden damit beschäftigen, wie sich Strom, Spannung und Widerstand in einer Parallelschaltung verhalten.

Die Parallelschaltung – Strom

Wir betrachten eine Parallelschaltung von zwei Widerständen, in der wir an vier Punkten den Strom messen: jeweils vor und hinter der Verzweigung und in jedem Ast der Verzweigung.

Um zu überlegen, wie sich der Strom verhält, rufen wir uns zuerst in Erinnerung, was Strom ist. Strom ist definiert als die Ladungsmenge $Q$ die pro Zeit $t$ durch einen Leiter fließt, also:

$I = \frac{Q}{t}$

Die Ladung wird in Form von Ladungsträgern transportiert. Weil die gleiche Menge an Ladungsträgern, die den Minuspol der Spannungsquelle verlässt, auch den Pluspol erreichen muss, müssen $I_0$ und $I_3$ gleich groß sein. Da in den Verzweigungen keine neuen Ladungsträger erzeugt werden können, aber auch keine Ladungsträger vernichtet werden, müssen $I_1$ und $I_2$ jeweils kleiner als $I_0$ sein. In Summe müssen sie aber wieder $I_0$ ergeben. Wir können deswegen aufschreiben:

$I_0 = I_3 \text{ und } I_1+I_2=I_0$

Im Gegensatz zur Reihenschaltung ergibt sich in der Parallelschaltung der Gesamtstrom also aus der Summe der Teilströme.

Die Ladungsträger gehen außerdem bevorzugt den Weg des geringsten Widerstands. Da, wo der Widerstand größer ist, fließt weniger Strom und umgekehrt. Daher gilt für die Parallelschaltung die folgende Formel für die Beziehung zwischen den Teilströmen:

$\frac{I_1}{I_2} = \frac{R_2}{R_1}$

Die Parallelschaltung – Spannung

Wie verhält es sich mit der Spannung in einer Parallelschaltung? Wir bauen dazu Spannungsmessgeräte in unsere Schaltung:

Wir können uns anschaulich überlegen, wie sich die Spannung verhalten muss, wenn wir an die hydraulische Analogie denken. Dabei stellen wir uns einen Stromkreis als System aus Rohren vor, durch die Wasser fließt. Die Spannung kann man sich in diesem Bild als den Höhenunterschied zwischen zwei Enden vorstellen. Wenn also der Punkt, an dem sich die Kabel aufteilen, auf der Höhe $h_1$ befindet, und der Punkt, an dem sie wieder zusammenlaufen, auf der Höhe $h_2$, muss immer die Differenz $h_1 - h_2$ überwunden werden. Das ist auch unabhängig davon, ob die Rohre schmaler oder größer sind. Für die Spannung, die wir an den Voltmetern in unserem Schaltplan messen, bedeutet das:

$U_1 = U_2 = U_0$

Die einzige Größe, die uns jetzt noch fehlt, ist der Widerstand.

Die Parallelschaltung – Widerstand

Wir wollen herausfinden, wie sich in einer Parallelschaltung der Gesamtwiderstand verhält. Dazu rufen wir uns zunächst das ohmsche Gesetz in Erinnerung, das die Größen Strom, Spannung und Widerstand miteinander verbindet:

$U = R \cdot I \rightarrow I = \frac{U}{R}$

Wenn die Widerstände $R_1$ und $R_2$ ohmsch sind, gilt auch für beide Teilströme das ohmsche Gesetz:

$I_1 = \frac{U_0}{R_1}$

$I_2 = \frac{U_0}{R_2}$

Statt $U_1$ und $U_2$ haben wir $U_0$ geschrieben, denn wir wissen bereits, dass die Spannung in allen Zweigen gleich groß ist. Wir setzen diese Beziehungen in die Gleichung für den Gesamtstrom ein:

$I_0 = I_1 + I_2 = \frac{U_0}{R_1} + \frac{U_0}{R_2}$

Wir teilen diese Gleichung auf beiden Seiten durch $U_0$:

$I_0 = \frac{U_0}{R_1} + \frac{U_0}{R_2} | :U_0$

$\Rightarrow \frac{I_0}{U_0} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$

Das ohmsche Gesetz gilt natürlich auch für den gesamten Stromkreis:

$U_0 = I_0 \cdot R_0 \rightarrow \frac{I_0}{U_0} = \frac{1}{R_0}$

Durch den Vergleich beider Gleichungen erhalten wir eine Formel für den Gesamtwiderstand:

$ \frac{1}{R_0} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$

Die Kehrwerte der Einzelwiderstände addieren sich also zum Kehrwert des Gesamtwiderstands. In der Parallelschaltung ergibt sich der Gesamtwiderstand also folgendermaßen:

$R_0 = \frac{1}{\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}}$

Kurze Zusammenfassung zum Video: Parallelschaltung

In diesem Video bekommst du einen Überblick über die Parallelschaltung. Die lernst, wie man in einer Parallelschaltung Spannung, Strom und Widerstand berechnen kann und wie diese Größen zusammenhängen. Wie immer findest du neben diesem Video auch zum Thema Parallelschaltungen Übungen und Beispiele.