Ort, Geschwindigkeit, Beschleunigung als Ableitungen nach der Zeit
in nur 12 Minuten? Du willst ganz einfach ein neues
Thema lernen in nur 12 Minuten?
-
5 Minuten verstehen
Unsere Videos erklären Ihrem Kind Themen anschaulich und verständlich.
92%der Schüler*innen hilft sofatutor beim selbstständigen Lernen. -
5 Minuten üben
Mit Übungen und Lernspielen festigt Ihr Kind das neue Wissen spielerisch.
93%der Schüler*innen haben ihre Noten in mindestens einem Fach verbessert. -
2 Minuten Fragen stellen
Hat Ihr Kind Fragen, kann es diese im Chat oder in der Fragenbox stellen.
94%der Schüler*innen hilft sofatutor beim Verstehen von Unterrichtsinhalten.
Lerntext zum Thema Ort, Geschwindigkeit, Beschleunigung als Ableitungen nach der Zeit
Differenzialrechnung in der Kinematik
Die Differenzialrechnung spielt in der Kinematik eine zentrale Rolle, um die Bewegung von Objekten mathematisch zu beschreiben und zu analysieren.
Ort und Geschwindigkeit
Der Ort $s(t)$ eines Objekts beschreibt seine Position in Abhängigkeit von der Zeit $t$. Die Geschwindigkeit $v(t)$ entspricht der zeitlichen Änderung der Position und wird aus mathematischer Sicht durch die Ableitung nach der Zeit dargestellt:
$v(t) = \dot{s}(t) = \dfrac{\text{d}s(t)}{\text{d}t}$
Dies bedeutet, dass die Geschwindigkeit die zeitliche Änderungsrate des Orts ist. In einem $s$-$t$-Diagramm entspricht die Geschwindigkeit der Steigung des Graphen. Bei einer gleichförmigen Bewegung lässt sich aufgrund des linearen Verhaltens die Steigung im Steigungsdreieck ablesen.
Die Ableitungen nach der Zeit sowie bei der Geschwindigkeit $v(t) = \dot{s}(t)$ werden in der Physik mit einem Punkt über der physikalischen Größe gekennzeichnet. Diese betonen noch einmal, dass die Variable, nach der abgeleitet wird, die Zeit $t$ ist.
Beschleunigung
Die Beschleunigung gibt an, wie sich die Geschwindigkeit eines Objekts mit der Zeit ändert. Die Beschleunigung $a(t)$ ist die erste Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit und damit die zweite Ableitung des Orts:
$a(t) =\dot{v}(t) = \dfrac{\text{d}v(t)}{\text{d}t} = \dfrac{\text{d}^2s(t)}{\text{d}t^2}=\ddot{s}(t)$
Momentangeschwindigkeit und $s$-$t$-Diagramm
Die Momentangeschwindigkeit ist die Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt. In einem $s$-$t$-Diagramm ist das die Steigung der Tangente, die die Ortskurve $s(t)$ an einem bestimmten Zeitpunkt berührt. Für ungleichmäßige und nicht lineare Bewegungen, bei denen die Geschwindigkeit nicht konstant ist, ändert sich die Steigung der Kurve im $s$-$t$-Diagramm kontinuierlich.
Schiefer Wurf
Ein klassisches Beispiel in der Kinematik ist der schiefe Wurf, bei dem ein Objekt unter dem Einfluss der Schwerkraft in einer parabolischen Bahn geworfen wird.
Bewegungsgleichungen
Die folgenden zwei Bewegungsgleichungen beschreiben die horizontale Bewegung in $x$-Richtung und die vertikale Bewegung in $y$-Richtung:
$x(t) = v_0 \cdot \cos(\alpha) \cdot t $
$ y(t) = v_0 \cdot \sin(\alpha) \cdot t - \dfrac{1}{2}\cdot g \cdot t^2 $
Hierbei ist $v_0 $ die Anfangsgeschwindigkeit, $\alpha$ der Abwurfwinkel und $g$ die Erdbeschleunigung.
Herleitung der Geschwindigkeit und Beschleunigung
Die horizontale Geschwindigkeit $(v_x(t))$ bleibt konstant:
$v_x(t) = \dfrac{\text{d}x(t)}{\text{d}t} = v_0 \cdot \cos(\alpha)$
Die vertikale Geschwindigkeit $( v_y(t) )$ ändert sich aufgrund der Schwerkraft:
$v_y(t) = \dfrac{\text{d}y(t)}{\text{d}t} = v_0 \cdot \sin(\alpha) - g\cdot t$
Da keine Kräfte in horizontaler Richtung wirken und die Geschwindigkeit sich nicht ändert, ist die horizontale Beschleunigung gleich null. Es gilt also $a_x (t) = 0$. Die vertikale Beschleunigung ist:
$a_y(t) = \dfrac{\text{d}v_y(t)}{\text{d}t} = -g$
Die maximale Höhe $h$ und die Flugzeit $T$ können ebenfalls berechnet werden, wenn die Bewegungsgleichung in $y$-Richtung $s_y (t)$ auf ihre Nullstellen und Extrempunkte analysiert wird.
Grafische Darstellung
In einem $s$-$t$-Diagramm für den schiefen Wurf ergibt sich eine Parabel für die vertikale Bewegung. Die Steigung der Tangente zu jedem Zeitpunkt gibt die Momentangeschwindigkeit an und die Krümmung der Kurve gibt die Beschleunigung an.
Zusammenfassung – Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung als Ableitungen nach der Zeit
- Die Konzepte der Differenzialrechnung lassen sich auch in der Kinematik wiederfinden. Die physikalischen Größen des Orts, der Geschwindigkeit und der Beschleunigung hängen alle über der Änderung der Zeit zusammen.
-
Die Geschwindigkeit ist die zeitliche Änderung des Orts. Im Sinne der mathematischen Ableitung schreiben wir:
$v(t) = \dot{s}(t) = \dfrac{\text{d}s(t)}{\text{d}t}$
-
Die Beschleunigung ist wiederum die zeitliche Ableitung der Geschwindigkeit und die zweite zeitliche Ableitung des Orts:
$a(t) = \dot{v}(t) = \dfrac{\text{d}v(t)}{\text{d}t} = \dfrac{\text{d}^2s(t)}{\text{d}t^2} = \ddot{s}(t)$
Häufig gestellte Fragen zum Thema Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung als Ableitungen nach der Zeit
Bewegungen beobachten – Bezugssystem
Ort, Geschwindigkeit, Beschleunigung als Ableitungen nach der Zeit
Die Atwood'sche Fallmaschine
Inertialsysteme und beschleunigte Bezugssysteme – Galilei-Transformation
Rotierende Bezugssysteme und Inertialsysteme
Superposition – Vektoraddition von Geschwindigkeit
Galilei und die Welt – es war einmal Forscher und Erfinder (Folge 9)
8'883
sofaheld-Level
6'601
vorgefertigte
Vokabeln
7'390
Lernvideos
36'049
Übungen
32'594
Arbeitsblätter
24h
Hilfe von Lehrkräften
Inhalte für alle Fächer und Schulstufen.
Von Expert*innen erstellt und angepasst an die Lehrpläne der Bundesländer.
Testphase jederzeit online beenden
Beliebteste Themen in Physik
- Temperatur
- Schallgeschwindigkeit
- Dichte
- Drehmoment
- Transistor
- Lichtgeschwindigkeit
- Galileo Galilei
- Rollen- Und Flaschenzüge Physik
- Radioaktivität
- Lorentzkraft
- Beschleunigung
- Gravitation
- Wie entsteht Ebbe und Flut?
- Hookesches Gesetz Und Federkraft
- Elektrische Stromstärke
- Elektrischer Strom Wirkung
- Reihenschaltung
- Ohm'Sches Gesetz
- Freier Fall
- Kernkraftwerk
- Was sind Atome
- Aggregatzustände
- Infrarot, Uv-Strahlung, Infrarot Uv Unterschied
- Isotope, Nuklide, Kernkräfte
- Transformator
- Lichtjahr
- Si-Einheiten
- Fata Morgana
- Gammastrahlung, Alphastrahlung, Betastrahlung
- Kohärenz Physik
- Mechanische Arbeit
- Schall
- Schall
- Elektrische Leistung
- Dichte Luft
- Ottomotor Aufbau
- Kernfusion
- Trägheitsmoment
- Heliozentrisches Weltbild
- Energieerhaltungssatz Fadenpendel
- Linsen Physik
- Ortsfaktor
- Interferenz
- Diode und Photodiode
- Wärmeströmung (Konvektion)
- Schwarzes Loch
- Frequenz Wellenlänge
- Elektrische Energie
- Parallelschaltung
- Dopplereffekt, Akustischer Dopplereffekt