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Lerntext zum Thema Ort, Geschwindigkeit, Beschleunigung als Ableitungen nach der Zeit

Differenzialrechnung in der Kinematik

Die Differenzialrechnung spielt in der Kinematik eine zentrale Rolle, um die Bewegung von Objekten mathematisch zu beschreiben und zu analysieren.

Ort und Geschwindigkeit

Der Ort $s(t)$ eines Objekts beschreibt seine Position in Abhängigkeit von der Zeit $t$. Die Geschwindigkeit $v(t)$ entspricht der zeitlichen Änderung der Position und wird aus mathematischer Sicht durch die Ableitung nach der Zeit dargestellt:

$v(t) = \dot{s}(t) = \dfrac{\text{d}s(t)}{\text{d}t}$

Dies bedeutet, dass die Geschwindigkeit die zeitliche Änderungsrate des Orts ist. In einem $s$-$t$-Diagramm entspricht die Geschwindigkeit der Steigung des Graphen. Bei einer gleichförmigen Bewegung lässt sich aufgrund des linearen Verhaltens die Steigung im Steigungsdreieck ablesen.

Steigungsdreieck zwischen Ort und Zeit

Die Ableitungen nach der Zeit sowie bei der Geschwindigkeit $v(t) = \dot{s}(t)$ werden in der Physik mit einem Punkt über der physikalischen Größe gekennzeichnet. Diese betonen noch einmal, dass die Variable, nach der abgeleitet wird, die Zeit $t$ ist.

Beschleunigung

Die Beschleunigung gibt an, wie sich die Geschwindigkeit eines Objekts mit der Zeit ändert. Die Beschleunigung $a(t)$ ist die erste Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit und damit die zweite Ableitung des Orts:

$a(t) =\dot{v}(t) = \dfrac{\text{d}v(t)}{\text{d}t} = \dfrac{\text{d}^2s(t)}{\text{d}t^2}=\ddot{s}(t)$

Momentangeschwindigkeit und $s$-$t$-Diagramm

Die Momentangeschwindigkeit ist die Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt. In einem $s$-$t$-Diagramm ist das die Steigung der Tangente, die die Ortskurve $s(t)$ an einem bestimmten Zeitpunkt berührt. Für ungleichmäßige und nicht lineare Bewegungen, bei denen die Geschwindigkeit nicht konstant ist, ändert sich die Steigung der Kurve im $s$-$t$-Diagramm kontinuierlich.

Momentangeschwindigkeit als Tangente an Ortskurve

Schiefer Wurf

Ein klassisches Beispiel in der Kinematik ist der schiefe Wurf, bei dem ein Objekt unter dem Einfluss der Schwerkraft in einer parabolischen Bahn geworfen wird.

Schiefer Wurf

Bewegungsgleichungen

Die folgenden zwei Bewegungsgleichungen beschreiben die horizontale Bewegung in $x$-Richtung und die vertikale Bewegung in $y$-Richtung:

$x(t) = v_0 \cdot \cos(\alpha) \cdot t $

$ y(t) = v_0 \cdot \sin(\alpha) \cdot t - \dfrac{1}{2}\cdot g \cdot t^2 $

Hierbei ist $v_0 $ die Anfangsgeschwindigkeit, $\alpha$ der Abwurfwinkel und $g$ die Erdbeschleunigung.

Herleitung der Geschwindigkeit und Beschleunigung

Die horizontale Geschwindigkeit $(v_x(t))$ bleibt konstant:

$v_x(t) = \dfrac{\text{d}x(t)}{\text{d}t} = v_0 \cdot \cos(\alpha)$

Die vertikale Geschwindigkeit $( v_y(t) )$ ändert sich aufgrund der Schwerkraft:

$v_y(t) = \dfrac{\text{d}y(t)}{\text{d}t} = v_0 \cdot \sin(\alpha) - g\cdot t$

Da keine Kräfte in horizontaler Richtung wirken und die Geschwindigkeit sich nicht ändert, ist die horizontale Beschleunigung gleich null. Es gilt also $a_x (t) = 0$. Die vertikale Beschleunigung ist:

$a_y(t) = \dfrac{\text{d}v_y(t)}{\text{d}t} = -g$

Die maximale Höhe $h$ und die Flugzeit $T$ können ebenfalls berechnet werden, wenn die Bewegungsgleichung in $y$-Richtung $s_y (t)$ auf ihre Nullstellen und Extrempunkte analysiert wird.

Grafische Darstellung

In einem $s$-$t$-Diagramm für den schiefen Wurf ergibt sich eine Parabel für die vertikale Bewegung. Die Steigung der Tangente zu jedem Zeitpunkt gibt die Momentangeschwindigkeit an und die Krümmung der Kurve gibt die Beschleunigung an.

Zusammenfassung – Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung als Ableitungen nach der Zeit

  • Die Konzepte der Differenzialrechnung lassen sich auch in der Kinematik wiederfinden. Die physikalischen Größen des Orts, der Geschwindigkeit und der Beschleunigung hängen alle über der Änderung der Zeit zusammen.
  • Die Geschwindigkeit ist die zeitliche Änderung des Orts. Im Sinne der mathematischen Ableitung schreiben wir:

    $v(t) = \dot{s}(t) = \dfrac{\text{d}s(t)}{\text{d}t}$

  • Die Beschleunigung ist wiederum die zeitliche Ableitung der Geschwindigkeit und die zweite zeitliche Ableitung des Orts:

    $a(t) = \dot{v}(t) = \dfrac{\text{d}v(t)}{\text{d}t} = \dfrac{\text{d}^2s(t)}{\text{d}t^2} = \ddot{s}(t)$

Häufig gestellte Fragen zum Thema Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung als Ableitungen nach der Zeit

Was beschreibt die Differenzialrechnung in der Kinematik?
Wie leitet man die Geschwindigkeit aus dem Ort ab?
Was ist das zweite newtonsche Axiom?
Wie berechnet man die vertikale Bewegung beim schiefen Wurf?
Was zeigt die Steigung der Tangente in einem $s$-$t$-Diagramm?
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