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pq-Formel und Normalform einer quadratischen Gleichung

Die pq-Formel ist eine Methode zur Lösung von quadratischen Gleichungen. Mit der Formel $x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{ \left( \frac{p}{2} \right)^{2} -q }$ können die Nullstellen berechnet werden. Finde heraus, wie sie angewendet wird und warum sie so nützlich ist. Interessiert? Dies und vieles mehr findest du im folgenden Text!

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Team Digital
pq-Formel und Normalform einer quadratischen Gleichung
lernst du in der Sekundarstufe 1. Klasse - 2. Klasse - 3. Klasse - 4. Klasse

pq-Formel und Normalform einer quadratischen Gleichung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video pq-Formel und Normalform einer quadratischen Gleichung kannst du es wiederholen und üben.
  • Bestimme die Lösung der quadratischen Gleichung.

    Tipps

    In der $pq$-Formel steht die Hälfte des Koeffizienten des linearen Terms.

    Setze die Werte für $p$ und $q$ in die Formel ein.

    $q$ ist das Absolutglied, also der Term der rechten Seite, der kein $x$ enthält.

    Lösung

    Eine quadratische Gleichung hat keine, genau eine oder genau zwei Lösungen. Die $pq$-Formel ist die Lösungsformel für Lösungen quadratischer Gleichungen in Normalform, d.h. in der Form:

    $x^2 +px+q=0$

    Die $pq$-Formel lautet dann:

    $x_{1,2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{\big(\frac{p}{2} \big) ^2 - q} $

    Hierbei bezeichnen $x_1$ und $x_2$ die beiden Lösungen. Du kannst die Lösungen bestimmen, indem du für eine gegebene Gleichung zunächst die Koeffizienten $p$ und $q$ bestimmst und dann die Werte einsetzt. $p$ ist der Koeffizient des linearen Terms in der Normalform und $q$ das Absolutglied. Wir betrachten folgende quadratische Gleichung:

    $x^2 +10x+9$

    Diese ist bereits in der Normalform. Hier ist also $p=10$ und $q=9$. Durch Einsetzen erhältst du:

    $x_{1,2} = - \frac{10}{2} \pm \sqrt{\big(\frac{10}{2}\big) ^2 - 9} = - 5 \pm \sqrt{5^2 - 9} = - 5 \pm 4$

    Es ist also $x_1= - 5+4=-1$ und $x_1=-5-4=-9$.

    Du kannst die beiden Lösungen zur Probe in die quadratische Gleichung einsetzen, um zu zeigen, dass sie wirklich die Gleichung lösen:

    $ \begin{array}{lrl} && &(-1)^2 + 10\cdot (-1) +9& &= 0 \\ &\Leftrightarrow& &1 - 10 +9& &= 0 \\ &&&&& \\ && &(-9)^2 +10\cdot (-9) + 9& &= 0 \\ &\Leftrightarrow& &81 - 90 + 9& &= 0 \end{array} $

  • Bestimme alle Lösungen der quadratischen Gleichungen.

    Tipps

    In der $pq$-Formel steht unter der Wurzel das Absolutglied mit negativem Vorzeichen.

    Die quadratische Gleichung hat keine Lösung, wenn in der $pq$-Formel der Term unter der Wurzel negativ ist.

    Ist die quadratische Gleichung nicht in Normalform gegeben, so dividiere die Gleichung durch den Koeffizienten des quadratischen Gliedes.

    Lösung

    Eine quadratische Gleichung hat keine, genau eine oder genau zwei Lösungen. Welcher Fall eintritt, kannst du an der $pq$-Formel ablesen: Ist der Term unter der Wurzel negativ, so hat die Gleichung keine reelle Lösung. Die Gleichung hat genau dann zwei verschiedene reelle Lösungen, wenn der Term unter der Wurzel positiv ist.

    Im Einzelnen erhältst du folgende Zuordnung:

    • Die Gleichung $x^2 +10x +9=0$ hat die Lösungen $x_{1,2} = -5 \pm \sqrt{25-9}$. Denn hier ist $p=10$ und $q=9$.
    • Zu der Gleichung $x^2+px+q=0$ mit $\left(\frac{p}{2}\right)^2 > q$ gehören die Lösungen $x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 -q}$. Dies ist genau der Fall, in dem die $pq$-Formel genau zwei Lösungen liefert.
    • Für die Gleichung $2x^2 + 16x-18=0$ findest du die Lösungen $x_{1,2} = -4 \pm \sqrt{16+9}$. Dazu formst du zuerst mittels Division durch $2$ die Gleichung in Normalform um und setzt dann $p=8$ und $q=-9$ in die $pq$-Formel ein.
    • Die Gleichung $x^2+px+q=0$ mit $q >\left(\frac{p}{2}\right)^2 $ hat keine Lösung. Denn in der $pq$-Formel erhältst du unter der Wurzel einen negativen Term.
  • Bestimme die Koeffizienten und Lösungen.

    Tipps

    Setze die Werte für $p$ und $q$ in folgende Formel ein, um die Lösungen einer quadratischen Gleichung zu bestimmen:

    $ x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 -q} $

    Beachte, dass die $pq$-Formel keine Lösung liefert, wenn unter der Wurzel ein negativer Term steht.

    Steht unter der Wurzel $0$, so hat die quadratische Gleichung genau eine Lösung.

    Lösung

    Die $pq$-Formel gibt die Lösungen einer quadratischen Gleichung in Normalform $x^2 +px +q=0$ an und lautet wie folgt:

    $x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 -q}$

    Hierbei ist $p$ der Koeffizient des linearen Gliedes und $q$ das Absolutglied.

    Nicht jede quadratische Gleichung ist lösbar. Du kannst trotzdem immer die $pq$-Formel verwenden. An den Termen in der Formel kannst du ablesen, ob die Gleichung genau zwei, genau eine oder keine Lösung besitzt. Ist der Term unter der Wurzel negativ, so hat die Gleichung keine reellen Lösungen. Ist der Term unter der Wurzel $0$, so hat sie genau eine Lösung. Ansonsten sind die beiden Werte $x_1$ und $x_2$, die die $pq$-Formel angibt, die beiden verschiedenen Lösungen der quadratischen Gleichung.

    Im Einzelnen findest du daher folgende Zuordnung:

    $x^2\! +\!3x\! =\!0$:

    • Hier ist $p=3$, denn das lineare Glied ist $3x$.
    • Außerdem ist $q=0$, denn die Gleichung enthält kein Absolutglied.
    • Die $pq$-Formel ergibt $x_1 = -\frac{3}{2} + \sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2} = 0$.
    • Die zweite Lösung aus der $pq$-Formel ist $x_1 = -\frac{3}{2} - \sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2} = -3$.
    $x^2 \! + \! 2x\! +\! 1\! =\! 0$:
    • $p=2$ ist der Koeffizient des linearen Gliedes $2x$.
    • $q=1$ ist das Absolutglied.
    • $x=-1$ ist die einzige Lösung, denn die $pq$-Formel lautet $x_{1,2} = -1\pm \sqrt{1^2-1} = -1 \pm 0 = -1$.
    $x^2\!-\!4\!=\!0$:
    • Hier ist $p=0$, denn die Gleichung enthält kein lineares Glied.
    • $q=-4$ ist das Absolutglied.
    • Die $pq$-Formel ergibt die Lösungen $x_{1,2} = 0 \pm \sqrt{0^2 -(-4)} = \pm 2$.
    $x^2 \! +\!4x \! +\!8\!=\!0$:
    • $p=4$ ist der Koeffizient des linearen Gliedes.
    • $q=8$ ist das Absolutglied.
    • Da $4=\left(\frac{p}{2}\right)^2 < q = 8$, ist der Term unter der Wurzel in der $pq$-Formel negativ, sodass die Gleichung keine Lösungen besitzt.

  • Erschließe die Lösungen.

    Tipps

    Setze in die $pq$-Formel die passenden Werte für $p$ und $q$ aus den Gleichungen ein und vergleiche das Ergebnis mit den angegebenen Lösungen.

    Du kannst jede quadratische Gleichung in die Normalform bringen, indem du jeden Summanden durch den Koeffizienten von $x^2$ dividierst.

    Lösung

    Mithilfe der $pq$-Formel kann man alle Lösungen einer quadratischen Gleichung in Normalform bestimmen. Sie lautet:

    $ x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q} $

    Eine quadratische Gleichung hat entweder keine oder genau eine oder genau zwei Lösungen. Welcher Fall eintritt, kannst du an dem Term unter der Wurzel ablesen: Ist der Term positiv, so sind $x_1$ und $x_2$ verschieden und beides Lösungen der quadratischen Gleichung. Ist der Term unter der Wurzel $0$, so ist $x_1=x_2$ die eindeutige Lösung der quadratischen Gleichung. Ist der Term unter der Wurzel negativ, so hat die quadratische Gleichung keine reellen Lösungen.

    Hier findest du folgende Zuordnungen:

    • Die Gleichung $x^2 +2x -1=0$ hat die beiden Lösungen $x_{1,2} = -1 \pm \sqrt{2}$, denn nach der $pq$-Formel ist $x_{1,2} = -1 \pm \sqrt{1 -(-1)} = -1 \pm \sqrt{2}$.
    • Für die Gleichung $x^2 +2x +1=0$ findest du die eindeutige Lösung $x=-1$, denn hier ist $x_{1,2} = -1 \pm \sqrt{1 -1} = -1 \pm 0$.
    • Die Gleichung $2x^2 +4x +4=0$ hat keine reellen Lösungen. Um das aus der $pq$-Formel abzulesen, musst du die Gleichung zuerst in die Normalform bringen, indem du durch $2$ dividierst: Dies ergibt die Gleichung $x^2 +2x +2=0$. Diese Gleichung hat keine reellen Lösungen, denn die $pq$-Formel ergibt $x_{1,2} = -1 \pm \sqrt{1 - 2}$.
    • Zu der Gleichung $x^2 +2x=0$ ergeben sich die Lösungen $x_{1,2} = -1 \pm 1$ aus der $pq$-Formel.
    • Die $-x^2 -4x -3=0$ ist nicht in Normalform. Diese erhältst du durch Division jedes Summanden durch den Koeffizienten von $x^2$, also durch $(-1)$. Die Normalform ist dann $x^2 +4x +3=0$. Mit der $pq$-Formel findest du die Lösungen $x_{1,2} = -2 \pm 1$.
  • Zeige auf, dass die angegebenen Werte die quadratische Gleichung lösen.

    Tipps

    Setze beide angegebenen Werte für $x$ in die Gleichung $2x^2 +16x-18$ ein, aber jeweils an beiden Stellen denselben Wert.

    Beachte die Vorzeichen der angegebenen Werte.

    Verwende beim Quadrieren die Regel: Minus mal Minus ergibt Plus

    Lösung

    Die Lösungen einer quadratischen Gleichung in Normalform kannst du mithilfe der $pq$-Formel angeben. Die angegebene Gleichung ist nicht in Normalform gegeben. Willst du die Lösungen mit der $pq$-Formel bestimmen, so musst du sie zunächst in Normalform bringen.

    Hier geht es aber nur darum, die angegebenen Lösungen zu prüfen. Dazu setzt du die beiden Werte $x_1=1$ und $x_2 = -9$ in die Gleichung ein. Du darfst aber jeweils nur die beiden gleichen Werte einsetzen, also entweder an beiden Stellen $x_1$ oder an beiden Stellen $x_2$.

    Für $x_1$ erhältst du:

    $ \begin{array}{rcl} 2x_1^2 + 16 x_1 -18 &=& 0 \\ 2 \cdot (1)^2 + 16 \cdot (1) -18 &=& 0 \\ 2 + 16 - 18 &=& 0 \end{array} $

    Die letzte Zeile ist eine wahre Aussage, also ist $x_1$ tatsächlich eine Lösung der Gleichung.

    Für den Wert $x_2$ sieht die Rechnung so aus:

    $ \begin{array}{rcl} 2x_2^2 + 16 x_2 -18 &=& 0 \\ 2 \cdot (-9)^2 + 16 \cdot (-9) - 18 &=& 0 \\ 162 - 144 - 18 &=& 0 \end{array} $

    Wieder ist die letzte Aussage wahr und die quadratische Gleichung somit auch für den Wert $x_2 =-9$ erfüllt.

  • Analysiere die Aussagen.

    Tipps

    Der Term auf der rechten Seite der $pq$-Formel gibt alle möglichen Lösungen der quadratischen Gleichung an.

    Lösung

    Folgende Aussagen sind richtig:

    • „Die $pq$-Formel zeigt, dass die Lösungen einer quadratischen Gleichung eindeutig durch die Koeffizienten bestimmt sind.“ Denn jede Lösung lässt sich mittels der $pq$-Formel direkt aus den Koeffizienten berechnen.
    • „Es gibt keine Lösung einer quadratischen Gleichung, die nicht die $pq$-Formel erfüllt.“ Setzt du den Term aus der $pq$-Formel in die Gleichung ein, so kannst du direkt nachrechnen, dass er die Gleichung erfüllt. Dies zeigt, dass jeder durch die $pq$-Formel beschriebene Term die quadratische Gleichung löst. Umgekehrt kannst du mittels quadratischer Ergänzung die Gleichung nach $x$ auflösen und erhältst genau die $pq$-Formel. Daher ist jede Lösung der quadratischen Gleichung von der Form, die durch die $pq$-Formel beschrieben wird.
    • „Ist das Absolutglied negativ, so hat die quadratische Gleichung mindestens eine Lösung.“ In diesem Fall ist nämlich der Term unter der Wurzel positiv. Die quadratische Gleichung hat in diesem Fall sogar zwei Lösungen.
    • „Jede quadratische Gleichung mit Absolutglied $0$ hat mindestens eine Lösung.“ Einerseits kannst du die Lösung $x=0$ durch Ausklammern von $x$ direkt ablesen: Die Gleichung $x^2 +px =0$ ist nämlich äquivalent zu $x \cdot (x+p) =0$. Die Lösungen sind also $x=0$ und $x=-p$. Anderseits kannst du auch die $pq$-Formel verwenden und findest $x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-0} = -\frac{p}{2} \pm \frac{p}{2}$.
    Folgende Aussagen sind falsch:

    • „Mit der $pq$-Formel kannst du für jede quadratische Gleichung eine reelle Lösung bestimmen.“ Nicht jede quadratische Gleichung hat eine reelle Lösung. Das kannst du allerdings auch an der $pq$-Formel ablesen: Ist der Term unter der Wurzel negativ, so hat die Gleichung keine reelle Lösung. Insbesondere definiert die $pq$-Formel in diesem Fall keine reelle Lösung der Gleichung.
    • „Eine quadratische Gleichung hat genau dann nur eine Lösung, wenn das Absolutglied dem Quadrat des Koeffizienten des linearen Gliedes entspricht.“ Die beiden Lösungen aus der $pq$-Formel sind nur eine Lösung, wenn der Term unter der Wurzel $0$ ist. Dazu muss gelten: $\left(\frac{p}{2}\right)^2 = q$. Es muss also das Quadrat der Hälfte des Koeffizienten des linearen Gliedes mit dem Absolutglied übereinstimmen.
    • „Eine quadratische Gleichung hat genau dann zwei verschiedene Lösungen, wenn das Absolutglied kleiner als die Hälfte des Koeffizienten des linearen Gliedes ist.“ Ist das Absolutglied negativ, so hat die Gleichung stets zwei Lösungen. Dazu muss nicht $q < \frac{p}{2}$ sein. So hat z. B. die Gleichung $x^2 -2x -1$ die beiden Lösungen $x_{1,2} = 1 \pm \sqrt{2}$, aber $-1 = q = \frac{p}{2} = -1$.