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Kreis – Definition, Begriffe und Konstruktion

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Team Digital
Kreis – Definition, Begriffe und Konstruktion
lernst du in der Primarschule 5. Klasse - 6. Klasse - Sekundarstufe 1. Klasse - 2. Klasse

Beschreibung zum Video Kreis – Definition, Begriffe und Konstruktion

Du erkennst einen Kreis natürlich, wenn du ihn siehst. Aber weißt du auch, was ein Kreis aus mathematischer Sicht ist und mit welchen Grundbegriffen man ihn beschreiben kann? In diesem Video lernst du all diese Dinge kennen. Außerdem lernst du, wie du einen Kreis zeichnen kannst. Ergänzend zum Video gibt es außerdem Übungen, mit denen du dein neu gewonnenes Wissen noch vertiefen kannst.

Grundlagen zum Thema Kreis – Definition, Begriffe und Konstruktion

Inhalt

Der Kreis

Kreise gibt es überall auf der Welt. Wenn du dich in deinem Alltag umschaust, kannst du viele davon entdecken. Die Reifen von Fahrrädern, manche Gullideckel, Frisbeescheiben und Geldmünzen. Aber was ist ein Kreis eigentlich aus mathematischer Sicht?

Kreis – Definition

Schauen wir uns die mathematische Definition eines Kreises an:

Die Menge aller Punkte P einer Ebene, die von einem gegebenen Punkt M denselben Abstand r haben, heißt Kreis, mit dem Mittelpunkt M und dem Radius r.

Das klingt vielleicht kompliziert, ist es aber gar nicht. Du kannst dir das so vorstellen: Du zeichnest einen Punkt $M$ auf ein weißes Blatt Papier. Anschließend zeichnest du Punkte auf das Blatt, die alle einen Abstand von $r = 10~\text{cm}$ zu diesem Punkt $M$ haben. Nachdem du einige Punkte gezeichnet hast, siehst du schon, dass sich ein Kreis andeutet. Weil in der Definition alle Punkte steht, müsstest du unendlich viele dieser Punkte zeichnen. Dann kann man aber die einzelnen Punkte gar nicht mehr voneinander unterscheiden, und es ergibt sich eine Linie. Diese Linie ist der Kreis mit dem Radius $r$. Der Kreis ist in der Mathematik nur diese Linie, manchmal sagt man deswegen auch Kreislinie. Die Fläche heißt Kreisfläche. Umgangssprachlich werden diese Begriffe manchmal verwechselt. Die Länge der Kreislinie heißt Umfang des Kreises.

Der Kreis in der Mathematik

Das sind fast alle wichtigen Bezeichnungen zum Kreis. Uns fehlen nur noch zwei Begriffe. Wenn man keinen ganzen Kreis zeichnet, sondern nur einen Ausschnitt – zum Beispiel ein Viertel – nennt man diese Linie einen Kreisbogen. Die Fläche, die sich so ergibt, heißt Kreisausschnitt oder Kreissektor. Ein Pizzastück ist zum Beispiel ein Kreissektor.

Kreis – Konstruktion

Wenn du einen Kreis konstruieren willst, musst du einen Weg finden, eine Linie mit einem festen Abstand zu einem Mittelpunkt zu zeichnen. Die einfachste Variante ist der Zirkel. Den Radius stellst du als die Zirkelspanne ein, und die Zirkelspitze bildet den Mittelpunkt.

Wenn du aber keinen Zirkel zur Hand hast, oder ein Zirkel unpraktisch wäre, wie zum Beispiel bei sehr großen Kreisen, kannst du auch ein Stück Schnur an einen Stift binden. Dann musst du nur ein Ende fixieren, und kannst mit dem gespannten Stück Schnur einen Kreis um diesen Punkt zeichnen.

Geraden und Strecken am Kreis

Zum Schluss schauen wir uns an, auf welche verschiedenen Arten wir Geraden und Strecken an den Kreis zeichnen können. Dabei unterscheidet man, ob es einen oder mehrere Schnittpunkte mit dem Kreis gibt.

Zwei Schnittpunkte

Als Sehne bezeichnet man eine Strecke, die innerhalb des Kreises liegt und genau zwei Schnittpunkte hat, die zugleich die Endpunkte der Strecke sind. Geht die Sehne gleichzeitig durch den Mittelpunkt, heißt sie Durchmesser des Kreises, und ist zweimal so lang wie der Radius. Eine Gerade, die den Kreis zweimal schneidet, heißt Sekante.

Ein Schnittpunkt

Die Strecke, die vom Mittelpunkt zum Kreis läuft und genau einen Schnittpunkt hat, heißt Radius des Kreises. Eine Gerade, die den Kreis an einem Punkt berührt, heißt Tangente.

Kein Schnittpunkt

Eine Gerade, die neben dem Kreis läuft, ohne ihn zu berühren, heißt Passante.

Geraden und Strecken am Kreis, Begriffe

Transkript Kreis – Definition, Begriffe und Konstruktion

Lana fährt mit dem Kunstkurs nach Ringhain. Hier gibt es auf den Straßen viele Kunstwerke zu entdecken. Ihre Aufgabe ist es, all ihre Eindrücke in ihrer Kunstmappe festzuhalten. Zuerst steht die Besichtigung der berühmten Skulptur „Hypnos“ an. Wow, die ist ja riesig! Man munkelt, dass Menschen den ganzen Tag davor verbringen können. Aber das kommt natürlich nicht in Frage, der Zeitplan ist straff! Lana stellt fest, dass die Skulptur nur aus Kreisen besteht. Aber was sind Kreise denn genau? „Schauen wir uns das Thema Kreis doch mal genauer an.“ Beginnen wir mit der Definition. Die Menge aller Punkte P in einer Ebene, die von einem gegebenen Punkt M denselben Abstand r haben, heißt Kreis. Dabei ist M der Mittelpunkt und r der Radius. Das klingt vielleicht kompliziert, ist es aber gar nicht. Wir können uns das so vorstellen. Wir zeichnen einen Punkt M auf ein Blatt Papier. Anschließend zeichnen wir Punkte, die zu M einen Abstand von r haben. Wenn wir nun weitere Punkte zeichnen, deutet sich immer mehr ein Kreis an. Da wir in der Definition von allen Punkten sprechen, könnten wir unendlich viele dieser Punkte zeichnen. Jedoch würden wir irgendwann die einzelnen Punkte gar nicht mehr voneinander unterscheiden können und es entsteht eine Linie. Und diese Linie, auch „Kreislinie“ genannt, entspricht in der Mathematik dem „Kreis“ mit Mittelpunkt M und Radius r. Manchmal wird der Begriff Kreis auch mit der „Kreisfläche“, also der Fläche innerhalb der Kreislinie, verwechselt. Das ist jedoch nicht richtig. Und die Länge der Kreislinie diese nennen wir „Umfang“. Jetzt fehlen nur noch zwei Begriffe. Betrachten wir nicht die ganze Kreislinie, sondern nur einen Abschnitt, wie zum Beispiel hier, nennen wir diese Linie einen „Kreisbogen“. Dieser wird mit b bezeichnet. Die zugehörige Fläche, die von dem Kreisbogen und zwei Radien begrenzt wird, heißt „Kreisausschnitt“ oder „Kreissektor“. Jetzt haben wir alle wichtigen Begriffe rund um den Kreis beisammen. Aber wie konstruieren wir denn überhaupt Kreise? Die einfachste Methode ist das Zeichnen mit einem Zirkel. Dabei zeichnen wir einen Kreis mit einem gegebenen Mittelpunkt M, indem wir den gewünschten Radius r, zum Beispiel acht Zentimeter, in die Zirkelspanne nehmen und einen Kreisbogen um M zeichnen. Wenn du gerade keinen Zirkel zur Hand hast oder sehr große Kreise zeichnen möchtest, gibt es noch eine andere Möglichkeit! Und zwar mit einem Stück Schnur, gebunden an einen Stift. Dann musst du nur das andere Ende an einem gewählten Punkt fixieren und kannst mit dem gespannten Stück Schnur einen Kreis um diesen Punkt zeichnen. Ob die Kreise in der Skulptur so entstanden sind? Abschließend schauen wir uns noch an, welche Geraden und Strecken wir am Kreis zeichnen können. Wir ordnen diese nach der Anzahl der Schnittpunkte mit dem Kreis. Insgesamt gibt es drei mögliche Fälle: zwei Schnittpunkte, ein Schnittpunkt und kein Schnittpunkt. Beginnen wir mit einer Strecke, die den Kreis in zwei Punkten schneidet. Eine solche Strecke heißt „Sehne“. Sie liegt innerhalb des Kreises und hat zwei Schnittpunkte, die zugleich die Endpunkte der Strecke sind. Eine besondere Sehne, welche auch die längste ist, ist der „Durchmesser“. Dieser geht durch den Mittelpunkt und ist somit doppelt so lang wie der Radius. Eine Gerade, die den Kreis zweimal schneidet, wird „Sekante“ genannt. Der Name wird abgeleitet von dem lateinischen Wort „secare“, was „schneiden“ bedeutet. Der „Radius“ ist eine Strecke, die den Kreis nur einmal schneidet. Er verläuft stets vom Mittelpunkt zum Kreis. Eine Gerade, die den Kreis an einem Punkt berührt, heißt „Tangente“. Der Begriff stammt aus dem Lateinischen und bedeutet „berühren“. Kommen wir nun zur dritten Zeile keine Schnittpunkte. Da gibt es nur eine Gerade, die „Passante“, die an dem Kreis vorbei läuft und ihn in keinem Punkt berührt. „Passante“ leitet sich von dem französischen Wort „passer“ ab und bedeutet „vorbeigehen“. So und nun kennen wir uns mit Kreisen bestens aus.
Was sich Lana wohl zu der Skulptur mit den Kreisen notiert hat? Fassen wir zuerst alles nochmal zusammen. Die Menge aller Punkte P in einer Ebene, die von einem gegebenen Punkt M denselben Abstand r haben, heißt Kreis. Dabei ist M der Mittelpunkt und r der Radius. Der Kreis bezeichnet also die „Kreislinie“. Sie ist nicht zu verwechseln mit der „Kreisfläche“, also der Fläche, die von der Kreislinie eingeschlossen wird. Und die Länge der Kreislinie diese nennen wir „Umfang“. Betrachten wir nicht die ganze Kreislinie, sondern nur einen Abschnitt, nennen wir diese Linie einen „Kreisbogen“. Die zugehörige Fläche heißt „Kreisausschnitt“ oder „Kreissektor“. Wir können Kreise mit einem Zirkel oder auch mit Hilfe einer Schnur, gebunden an einen Stift, konstruieren. Zudem haben wir nun verschiedene Strecken, wie Sehne, Durchmesser und Radius, sowie die Geraden Sekante, Tangente und Passante geordnet nach der Anzahl der Schnittpunkte mit dem Kreis kennengelernt. Welches Kunstwerk sich Lana wohl jetzt gerade anschaut? Nanu?! Sie steht ja immer noch vor der ersten Skulptur. Die Drehung der Kreise hat sie wohl hypnotisiert. Na hoffentlich schalten die Künstler bald den Strom ab.

4 Kommentare

4 Kommentare
  1. Gutes Video

    Von Philipp, vor 4 Monaten
  2. War richtig gut 👍

    Von Ata, vor 7 Monaten
  3. nice

    Von Team Digital, vor 10 Monaten
  4. gutes video

    Von Alan ﺖ, vor 11 Monaten

Kreis – Definition, Begriffe und Konstruktion Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Kreis – Definition, Begriffe und Konstruktion kannst du es wiederholen und üben.
  • Benenne die Begriffe des Kreises.

    Tipps

    Den Begriff "Kreisgerade" gibt es nicht.

    Die Begriffe "Höhe" und "Umlauf" gehören nicht zum Kreis.

    Lösung

    Wir betrachten noch einmal die Definitionen der Begriffe und setzen entsprechend ein:

    Kreislinie: Menge aller Punkte der Ebene, die von einem festen Punkt $M$ der Ebene den gleichen Abstand r haben

    Umfang: Länge der Kreislinie

    Kreisfläche: von der Kreislinie eingeschlossene Fläche

    Mittelpunkt $M$: von diesem aus wird die Kreislinie gezeichnet

    Radius $r$: Abstand zwischen dem Mittelpunkt und der Kreislinie

    Durchmesser $d$: Doppelter Radius, geht durch den Mittelpunkt

    Kreisbogen: Teilstrecke der Kreislinie

    Kreissektor: Teilfläche der Kreisfläche

  • Beschreibe wichtige Begriffe zum Kreis.

    Tipps

    Kreislinie und Umfang stehen im Zusammenhang.

    Radius und Durchmesser haben miteinander zu tun.

    tangere bedeutet „berühren“.

    passer ist französisch und bedeutet „vorbeigehen“.

    Lösung

    Ein Kreis besteht aus einer Kreislinie, die eine Fläche umschließt. Man nennt sie Kreisfläche. Die Länge der Kreislinie ist der Umfang des Kreises.

    Der Radius steht im Zusammenhang zum Durchmesser. Er ist exakt doppelt so lange wie dieser.

    Wenn wir uns die Geraden am Kreis anschauen, unterscheiden wir zwischen Geraden mit einem, zwei oder keinem Schnittpunkt.

    Diese Begriffe gehören zu folgenden Erklärungen.

    $\begin{array}{l|l} \text{Begriff} & \text{Erklärung} \\ \hline \text{Umfang} & \text{Länge der Kreislinie} \\ \text{Durchmesser} & \text{doppelter Radius} \\ \text{Tangente} & \text{Gerade, die den Kreis in einem Punkt berührt} \\ \text{Sekante} & \text{Gerade, die den Kreis zweimal schneidet} \\ \text{Passante} & \text{Gerade, die den Kreis nicht schneidet oder berührt} \end{array}$

  • Entscheide, ob die Aussagen über eine Kreiskonstruktion richtig sind.

    Tipps

    Der Zirkel ist ein sehr einfaches Hilfsmittel, um einen Kreis zu zeichnen. Man muss ihn nur richtig einstellen und schon kann man einen Kreis anfertigen.

    Der Durchmesser ist der doppelte Radius.

    Lösung

    Im Geometrieunterricht lernst du, wie man Kreise richtig zeichnet. Hierfür brauchst du einen Zirkel. Dieser kann kleinere Kreise zeichnen. Wenn aber Künstler für ihre Kunstwerke einen großen Kreis zeichnen möchten, benötigen sie ein anderes Hilfsmittel. Hier kann eine Schnur mit Faden hilfreich sein.

    Folgende Aussagen sind korrekt:

    Wenn du einen Kreis konstruieren willst, musst du einen Weg finden, eine Linie mit einem festen Abstand zum Mittelpunkt zu zeichnen.

    Für sehr große Kreise kannst du auch eine Schnur angebunden an einen Stift zur Hilfe nehmen. Du musst dann die Schnur an einem Punkt fixieren.

    Folgende Aussagen sind nicht korrekt:

    Mit dem Zirkel stellst du den ${\color{red}Durchmesser}$ ein und zeichnest ihn um den Mittelpunkt. Man muss den Radius beim Zirkel einstellen.

    Um einen Kreis zu erhalten, wird ein ${\color{red}Kreissektor}$ um den Mittelpunkt gezeichnet. Man zeichnet eine Kreislinie um den Mittelpunkt.

  • Entscheide, welche Aussagen zu den Geraden am Kreis richtig sind.

    Tipps

    tangere bedeutet „berühren“.

    passer ist französisch und bedeutet „vorbeigehen“.

    Lösung

    Am Kreis unterscheidet man Strecken und Geraden. Diese werden ebenfalls noch einmal unterteilt nach ihrer Anzahl der Schnittpunkte.

    Der Radius ist die Strecke vom Mittelpunkt zu einem beliebigen Punkt auf der Kreislinie. Der Radius schneidet den Kreis einmal.

    Die Passante beschreibt eine Gerade, die den Kreis nicht schneidet oder berührt. Das Wort wird von dem französischen „passer“ = „vorbeigehen“ abgeleitet. Sie hat also keine Schnittpunkte mit dem Kreis.

    Die Tangente beschreibt eine Gerade, die den Kreis genau einmal schneidet bzw. berührt. Das Wort wird von dem lateinischen „tangere“ = „berühren“ abgeleitet. Sie hat also nur einen Schnittpunkt mit dem Kreis.

    Die Sekante beschreibt eine Gerade, die den Kreis genau zweimal schneidet. Das Wort wird von dem lateinischen „secare“ = „schneiden“ abgeleitet. Sie hat also zwei Schnittpunkte mit dem Kreis.

    Folgende Aussagen sind korrekt:

    Die hellblaue und dunkelblaue Gerade sind Tangenten.

    Die dunkelgrüne und gelbe Gerade sind Passanten.

    Die hellgrüne und lila Gerade sind Sekanten.

    Folgende Aussagen sind nicht korrekt:

    Die gelbe und die hellgrüne Gerade sind Passanten (hellgrün ist eine Sekante).

    Die hellgrüne und hellblaue Gerade sind Sekanten (hellblau ist eine Tangente).

    Der Radius ist eine Sekante (der Radius ist keine Gerade, sondern eine Strecke am Kreis).

  • Gib die Definition eines Kreises an.

    Tipps

    Hier wurde ein Mittelpunkt $M$ markiert und immer im Abstand von ${3}~\text{cm}$ ein Punkt gesetzt. Irgendwann ensteht eine Kreislinie, auch Kreis mit Radius $r$ genannt.

    Der Abstand des Mittelpunkts $M$ zum Radius $r$ ist immer gleich.

    Lösung

    Kreise kommen in vielen Kunstwerken vor. Aus ihnen können eindrucksvolle Muster entstehen.

    Ein Kreis hat immer einen Mittelpunkt $M$ und einen Radius $r$.

    Die Menge aller Punkte $P$ in einer Ebene $E$, die von einem gegebenen Punkt $M$ denselben Abstand $r$ haben, heißt Kreis. Man kann sich das so vorstellen, dass wenn man einen Mittelpunkt $M$ markiert und immer im gleichen Abstand $r$ zu $M$ einen Punkt setzt, irgendwann ein Kreis entsteht.

    Der Radius ist der Abstand zwischen dem Mittelpunkt $M$ und der Kreislinie. Der Durchmesser ist der doppelte Radius.

    Die Länge der Kreislinie nennt man Umfang.

  • Bestimme alle Bilder, auf denen Kreissektoren abgebildet sind.

    Tipps

    Überprüfe, ob die eingeschlossene Fläche von einem Kreisbogen und zwei Kreisradien eingeschlossen werden.

    Eine Fläche zwischen einer Sekante und dem Kreisbogen nennt man Kreissegment.

    Lösung

    Bei einem Kreissektor handelt es sich um eine Teilfläche der Kreisfläche. Diese wird von einem Kreisbogen (Teilstrecke der Kreislinie) und von zwei Kreisradien eingeschlossen und berührt somit den Mittelpunkt.

    Durch eine Sekante, welche den Kreis zweimal schneidet und nicht durch den Mittelpunkt geht, entstehen zwei Teilflächen. Dabei handelt es sich nicht um Kreissektoren.

    Folgende Bilder zeigen Kreissektoren:

    Bild 1: Der Kreissektor geht vom Mittelpunkt aus und wird von zwei Radien begrenzt, eine sehr kleine gelb markierte Fläche entsteht.

    Bild 3: Der Kreissektor geht ebenfalls vom Mittelpunkt aus, wird von zwei Radien eingeschlossen und umschließt eine gelb markierte Fläche, welche fast ${\frac{3}{4}}$ der gesamten Kreisfläche darstellt.

    Bild 4: Der Kreissektor geht ebenfalls vom Mittelpunkt aus, wird von zwei Radien eingeschlossen und die halbe Kreisfläche ist gelb markiert.

    Folgendes Bild zeigt keinen Kreissektor, sondern ein Kreissegment:

    Bild 2: Eine Sekante schneidet den Kreis zweimal und schließt eine Fläche ein, geht aber nicht durch den Mittelpunkt.

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