Potenzgesetze – Übungen

Lösung:

$$9^4 : 3^4=(9:3)^4 = 3^4 = \underline{\underline{81}}$$

Erklärung:
Dieser Term hat die Form des vierten Potenzgesetzes (Division bei gleichem Exponenten).

Lösung:

$$5^3 \cdot 5=5^3 \cdot 5^1=5^{3+1} = 5^4 = \underline{\underline{625}}$$

Erklärung:
Dieser Term hat die Form des ersten Potenzgesetzes (Multiplikation bei gleicher Basis).

Lösung:

$$(2^3)^4=2^{3\cdot4} = 2^{12} = \underline{\underline{4096}}$$

Erklärung:
Dieser Term hat die Form des fünften Potenzgesetzes (Potenzieren von Potenzen).

Lösung:

$$8^5 : 8^2= 8^{5-2} = 8^3 = \underline{\underline{512}}$$

Erklärung:
Dieser Term hat die Form des zweiten Potenzgesetzes (Division bei gleicher Basis).

Lösung:

$$3^3 \cdot 2^3=(3\cdot2)^3 = 6^3 = \underline{\underline{216}}$$

Erklärung:
Dieser Term hat die Form des dritten Potenzgesetzes (Multiplikation bei gleichem Exponenten).

Lösung:

$$(3^2)^5=3^{2\cdot5} = 3^{10} = \underline{\underline{59049}}$$

Erklärung:
Dieser Term hat die Form des fünften Potenzgesetzes (Potenzieren von Potenzen).

Lösung:

$$4^2 \cdot 5^2=(4\cdot5)^2 = 20^2 = \underline{\underline{400}}$$

Erklärung:
Dieser Term hat die Form des dritten Potenzgesetzes (Multiplikation bei gleichem Exponenten).

Lösung:

$$10^4 : 10=10^4 : 10^1=10^{4-1} = 10^3 = \underline{\underline{1000}}$$

Erklärung:
Dieser Term hat die Form des zweiten Potenzgesetzes (Division bei gleicher Basis).

Lösung:

$$6^2 : 2^2=(6:2)^2 = 3^2 =\underline{\underline{9}}$$

Erklärung:
Dieser Term hat die Form des vierten Potenzgesetzes (Division bei gleichem Exponenten).

Lösung:

$$3^4 \cdot 3^2=3^{4+2} = 3^6 = \underline{\underline{729}}$$

Erklärung:
Dieser Term hat die Form des ersten Potenzgesetzes (Multiplikation bei gleicher Basis).

Lösung:

$$6^2 \cdot 6^{-3} \cdot 6 = 6^{2 + (-3) + 1} = 6^0 = \underline{\underline{1}}$$

Erklärung:
Das erste Potenzgesetz (Exponenten addieren) kann auch auf mehr als zwei Faktoren und auch bei negativen Zahlen im Exponenten angewendet werden. Eine beliebige Zahl hoch $0$ ist immer gleich $1$!

Lösung:

$$16^{\frac{3}{2}} = \sqrt{16}^{\,3} = 4^3 = \underline{\underline{64}}$$

Erklärung:
Dieser Term hat die Form des sechsten Potenzgesetzes (rationaler Exponent). Ein Bruch im Exponent ist eine andere Schreibweise für die Quadratwurzel aus der entsprechenden Basis. Wir betrachten also bei der Umformung den Nenner des Bruchs, um zu ermitteln, welche Wurzel wir ziehen müssen. Der Zähler gibt an, mit welcher Zahl wir diese Wurzel potenzieren. Es ist egal, ob wir zuerst die Wurzel ziehen und dann potenzieren oder umgekehrt. Hier bietet sich Ersteres an, weil die Rechnung so leichter ist.

Lösung:

$$5^4 : 5^2 : 5 = 5^{4 - 2 - 1} = 5^1 = \underline{\underline{5}}$$

Erklärung:
Dieser Term kann mit dem zweiten Potenzgesetz (Exponenten subtrahieren) berechnet werden. Wir rechnen von links nach rechts und können bei dem Ergebnis den Exponenten $1$ einfach weglassen.

Lösung:

$$27^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{27}^{\,2} = 3^2 = \underline{\underline{9}}$$

Erklärung:
Dieser Term hat die Form des sechsten Potenzgesetzes (rationaler Exponent). Da hier eine $3$ im Nenner steht, müssen wir die dritte Wurzel aus $27$ ziehen. Hier bietet es sich an, erst die Wurzel zu ziehen und anschließend mit der $2$ im Zähler zu potenzieren.

Lösung:

$$30^3 : 2^3 : 5^3 = (30:2:5)^3 = 3^3 = \underline{\underline{27}}$$

Erklärung:
Dieser Term kann mit dem vierten Potenzgesetz (gleicher Exponent) berechnet werden. Wir rechnen von links nach rechts, verrechnen zuerst die Basen und können anschließend potenzieren.

Lösung:

$$32^{\frac{3}{5}} = \sqrt[5]{32}^{\,3} = 2^3 = \underline{\underline{8}}$$

Erklärung:
Dieser Term hat die Form des sechsten Potenzgesetzes (rationaler Exponent). Die fünfte Wurzel aus $32$ ist $2$, da $2^5=32$. Auch hier ist es einfacher, erst die Wurzel zu ziehen und dann zu potenzieren.

Lösung:

$$10^3 : 10^{-2} = 10^{3 - (-2)} = 10^5 = \underline{\underline{100\,000}}$$

Erklärung:
Dieser Term hat die Form des zweiten Potenzgesetzes (Exponenten subtrahieren). Hier müssen wir auf die Vorzeichen achten: Durch den negativen Exponenten wird die Subtraktion zu einer Addition.

Lösung:

$\begin{array}{rcl} 4^6 \cdot 2^5 \cdot 2^{-3}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^7 & = & 4^6\cdot 2^{5+(-3)}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^7 \\ \\ & = & 4^6\cdot 2^2\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^7 \\ \\ & = & 4^6\cdot 4 \cdot\left(\frac{1}{2}\right)^7 \\ \\ & = & 4^{6+1}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^7 \\ \\ & = & 4^{7}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^7 \\ \\ & = & \left(4\cdot\frac{1}{2}\right)^7 \\ \\ & = & 2^7=\underline{\underline{128}} \end{array}$

Erklärung:
Bei diesem Term können wir zunächst zweimal hintereinander das erste Potenzgesetz anwenden. Dann können wir das Produkt aus zwei Potenzen mit gleichem Exponenten mithilfe des dritten Potenzgesetzes umformen und abschließend das Endergebnis berechnen.

Lösung:

$$b^4 : b^6 = b^{4-6} = b^{-2} = \underline{\underline{\tfrac{1}{b^2}}}$$

Erklärung:
Hier wendest du das zweite Potenzgesetz an (gleiche Basis, Exponenten subtrahieren). Potenzen mit negativem Exponenten lassen sich auch als Bruch schreiben.

Lösung:

$$3y^{-1} \cdot 5y^2 = (3\cdot5)\,y^{-1+2} = 15y^1 = \underline{\underline{15y}}$$

Erklärung:
Hier kannst du jeweils die Faktoren vor den Potenzen berechnen ($3$ und $5$ ausklammern und die Potenzen mit gleicher Basis nach dem ersten Potenzgesetz (Exponenten addieren) umformen). Alternativ könntest du den Term $3y^{-1}$ auch als Bruch schreiben und anschließend kürzen, um das gleiche Endergebnis zu erhalten.

Lösung:

$$7^{-10} : 7^{-4} = 7^{-10 - (-4)} = 7^{-6} = \underline{\underline{\dfrac{1}{7^6}}}$$

Erklärung:
Hier nutzt du das zweite Potenzgesetz (gleiche Basis, Exponenten subtrahieren) und kannst das Ergebnis wieder als Bruch schreiben.

Lösung:

$$m^{-k} \cdot m^2 = m^{-k+2} = \underline{\underline{m^{2-k}}}$$

Erklärung:
Hier kommt das erste Potenzgesetz zum Einsatz (Exponenten addieren). Den Exponenten $-k+2$ können wir noch umstellen, dann aber nicht weiter vereinfachen.

Lösung:

$$\begin{array}{rcl}x^3\cdot z^{-5}\cdot y^8\cdot z^5\cdot x^4\cdot y^{-1} & = & x^{3+4}\cdot y^{8+(-1)}\cdot z^{5+(-5)} \\ \\ & = & x^7\cdot y^7\cdot z^0 \\ \\ & = & \underline{\underline{(xy)^7}}\end{array}$$

Erklärung:
Da hier nur multipliziert wird, kannst du zuerst das erste Potenzgesetz für gleiche Basen anwenden. Dann kann das dritte Potenzgesetz für gleiche Exponenten angewendet werden. $z^0$ ist gleich $1$.

Lösung:

$$\begin{aligned} (p^2\cdot q^{-3})^2 \cdot p^{-1} &= p^{2\cdot2}\cdot q^{-3\cdot2}\;\cdot\;p^{-1} \\[4pt] &= p^4\cdot q^{-6}\cdot p^{-1} \\[4pt] &= p^{4+(-1)}\cdot q^{-6} \\[4pt] &= p^3\cdot q^{-6} \\[4pt] &= \underline{\underline{\dfrac{p^3}{q^6}}} \end{aligned}$$

Erklärung:
Für die erste Umformung wird hier das fünfte Potenzgesetz zum Potenzieren von Potenzen angewendet. Anschließend kannst du mit dem ersten Potenzgesetz die Potenzen mit der gleichen Basis zusammenfassen, indem du die Exponenten addierst. Abschließend kannst du die Potenz mit negativem Exponenten noch umformen, indem du sie als Bruch schreibst.

Lösung:

$$\begin{aligned} \sqrt{a}\cdot \sqrt{a}^3 : a &= a^{\tfrac12}\cdot a^{\tfrac32} : a^1 &= a^{\tfrac12 + \tfrac32} : a^1 \\[4pt] &= a^2 : a^1 \\[4pt] &= a^{2-1} \\[4pt] &= \underline{\underline{a}} \end{aligned}$$

Erklärung:
Zunächst kannst du die Wurzelterme mithilfe des sechsten Potenzgesetzes in Potenzen umformen. Dann kannst du zuerst das erste und dann das zweite Potenzgesetz anwenden, um den Term zu vereinfachen.