Zylinder – Volumen und Oberfläche
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Grundlagen zum Thema Zylinder – Volumen und Oberfläche
Was ist ein Zylinder?
Der Zylinder (auch Kreiszylinder) ist ein geometrischer Körper.
Grundfläche und Deckfläche des Zylinders sind per Definition zueinander parallele und kongruente Kreise. Diese werden von einer Fläche ummantelt, der Mantelfläche. Der Abstand von Grund- zur Deckfläche ist die Höhe $h$ des Zylinders.
Wir wollen uns zunächst genauer mit den Eigenschaften von Zylindern und verschiedenen Arten von Zylindern beschäftigen, die dir im Matheunterricht begegnen. Im Anschluss untersuchen wir die Berechnung von Oberfläche und Volumen verschiedener Zylinder.
Eigenschaften des Zylinders
Jeder Zylinder weist die folgenden Eigenschaften auf:
- Zwei kreisförmige Begrenzungsflächen (Grund- und Deckfläche), die zueinander parallel und kongruent (deckungsgleich) sind.
- Der Mantel verbindet die Grund- und Deckfläche des Zylinders.
- Ein Zylinder hat drei Flächen, zwei Kanten und keine Ecken.
Arten von Zylindern
Es gibt verschiedene Arten von (Kreis-)Zylindern:
-
Gerader Zylinder
Bei einem geraden Zylinder liegt die Deckfläche genau über der Grundfläche. Die Höhe $h$ entspricht dann dem Abstand der Mittelpunkte der beiden Flächen. Die Mantelfläche verläuft senkrecht zur Grund- und Deckfläche und hat ausgebreitet die Form eines Rechtecks. Häufig ist, wenn von einem Zylinder gesprochen wird, ein solcher gerader Kreiszylinder gemeint. -
Schiefer Zylinder
Ein schiefer Zylinder hat nach Definition kongruente kreisförmige Grund- und Deckfläche, diese liegen allerdings versetzt zueinander. Durch die Verschiebung von Grund- und Deckfläche zueinander entspricht die Höhe eines schiefen Zylinders nicht der Verbindung der Mittelpunkte beider Flächen. Außerdem ist die Abwicklung der Mantelfläche eines schiefen Zylinders kein Rechteck und entsprechend komplexer in der Berechnung. -
Offener Zylinder
Von einem offenen Zylinder sprechen wir, wenn ein Zylinder beispielsweise als Gefäß nur auf einer Seite geschlossen ist. Ein offener Zylinder hat also im Normalfall keine Deckfläche. -
Hohlzylinder
Ein Hohlzylinder entsteht, wenn aus einem Zylinder mittig ein kleinerer Zylinder ausgeschnitten wird. Es handelt sich also um einen Zylinder mit einem Loch in der Mitte. Wir können auch sagen: „Der Zylinder ist in der Mitte hohl.“ Der fehlende innere Zylinder hat dabei dieselbe Höhe wie der äußere Zylinder, aber einen kleinen Radius.
Hinweis: Die im Weiteren aufgeführten Ausführungen und Formeln gelten soweit nicht anders spezifiziert für gerade Kreiszylinder.
Zylindernetz
Wenn man einen Körper an den Kanten aufschneidet und auffaltet, erhält man das Körpernetz, das sich aus allen Seitenflächen des Körpers zusammensetzt. Bei einem Zylinder besteht das Körpernetz aus zwei Kreisen und einem Rechteck.
Die in dem Netz zu sehende rechteckige Mantelfläche (3) und die kreisförmige Grund- und Deckfläche (2 und 1) bilden gemeinsam die Oberfläche des Zylinders.
Oberfläche eines Zylinders berechnen
Die Oberfläche ergibt sich als Summe der Mantelfläche sowie dem Doppelten der Grundfläche:
$O_{\text{Zylinder}}= \text{Mantelfläche} + 2 \cdot \text{Grundfläche} = M + 2G$
Um die Oberfläche zu berechnen, muss man also zunächst die Grundfläche des Zylinders berechnen. Die Grundfläche ist ein Kreis. Somit gilt für die Grundfläche des Zylinders die Formel:
$G=\pi\cdot r^2$
Dieser Wert geht zweimal in die Zylinderoberfläche ein. Denn die Grundfläche und die Deckfläche haben als kongruente Flächen einen identischen Flächeninhalt.
Dann muss man noch die Mantelfläche des Zylinders berechnen. Die Mantelfläche ist ein Rechteck mit den Seitenlängen Höhe des Zylinders und Umfang der Grundfläche. Damit gilt für die Mantelfläche des Zylinders die Formel:
$M=2\pi\cdot r\cdot h$
Zylinderoberfläche – Formel
Nun kann die Oberflächenformel Zylinder abhängig von Grundkreisradius $r$ und Höhe $h$ angegeben werden.
$O_{\text{Zylinder}}=2 \cdot \pi \cdot r^2+2\pi\cdot r\cdot h=2\pi~r\cdot(r+h)$
Beispiel: Oberfläche eines Zylinders berechnen
Zunächst soll die Zylinderoberfläche eines Zylinders mit den folgenden gegebenen Größen berechnet werden:
$r=15~\text{cm}$ und $h=5~\text{cm}$
Diese Größen werden in die Oberflächenformel eingesetzt:
$O=2\pi~r\cdot(r+h)$
Dies führt zu:
$O=2\pi\cdot 15~\text{cm}\cdot(15~\text{cm}+5~\text{cm})$
Und weiter zu:
$O=2\pi\cdot 15~\text{cm}\cdot 20~\text{cm}=600\pi~\text{cm}^2\approx \underline{\underline{1\,844{,}96~\text{cm}^2}}$
Volumen eines Zylinders berechnen
Um das Volumen eines Zylinders zu berechnen wird, wie beim Prisma der Flächeninhalte der Grundfläche mit der Höhe multipliziert. Diese Formel gilt nach dem Satz von Cavalieri auch für schiefe Kreiszylinder. Auch das Volumen hängt vom Grundkreisradius $r$ und der Höhe $h$ ab.
Zylindervolumen – Formel
$V_{\text{Zylinder}}=G\cdot h=\pi\cdot r^2\cdot h$
Beispiel: Volumen eines Zylinders berechnen
Für den Zylinder aus dem obigen Beispiel mit $r=15~\text{cm}$ und $h=5~\text{cm}$ kann man mit folgender Volumenformel schließlich noch das Volumen berechnen:
$V=\pi\cdot r^2\cdot h$
Die bekannten Größen werden in diese Formel eingesetzt:
$V=\pi\cdot \left(15~\text{cm}\right)^2\cdot 5~\text{cm}$
Nun kann weitergerechnet werden:
$V=\pi\cdot 225~\text{cm}^2\cdot 5~\text{cm}=1\,125\pi~\text{cm}^3\approx \underline{\underline{3\,534{,}29~\text{cm}^3}}$
Weitere Aufgaben: Volumen und Oberfläche von Zylindern
Wir wollen nun noch ein etwas komplexeres Beispiel für Berechnungen bei Zylindern betrachten.
Der Hersteller einer beliebten Tomatensoße möchte die Dose, in welche diese Soße gefüllt wird, neu gestalten.
- Die Höhe der Dose soll $h=12~\text{cm}$ sein und
- das Volumen soll $950~\text{cm}^3$ betragen.
Nun stellt sich der Hersteller die folgenden Fragen:
- Wie groß ist der Materialaufwand (in $\text{cm}^2$), ohne Verschnitt, zur Herstellung der Dose?
- Wie groß (in $\text{cm}^2$) ist der Aufkleber, welcher die gesamte Dose umhüllt? Auf diesem soll das wunderbare Logo der Firma zu sehen sein.
Zuerst überlegst du dir, wonach gefragt ist?
- Der Materialaufwand ist die gesamte Oberfläche.
- Die Größe des Aufklebers entspricht der Mantelfläche.
Da du die Mantelfläche auch für die Oberfläche benötigst, berechnest du erst einmal die Mantelfläche ${M=2\cdot \pi\cdot r\cdot h}$.
Die Höhe der Dose kennst du bereits, allerdings nicht den Radius der Grundfläche. Diesen kannst du allerdings mit dem bekannten Volumen berechnen:
$\begin{array}{rclll} 950&=&\pi\cdot r^2\cdot 12&|&:\pi~:12\\ 950 : 12\pi &=&r^2\\ 25{,}2&\approx&r^2&|&\sqrt{~~~}\\ r&\approx&5\end{array}$
Der Radius beträgt somit ungefähr $5~\text{cm}$. Diesen kannst du schließlich in der Formel für die Mantelfläche einsetzen:
$M=2\cdot \pi\cdot (5~\text{cm})\cdot (12~\text{cm})=120~\pi~\text{cm}^2 \approx \underline{\underline{377~\text{cm}^2}}$
Der Aufkleber mit dem Logo des Herstellers hat somit einen Flächeninhalt von circa $377~\text{cm}^2$.
Ebenso kannst du die Oberfläche berechnen:
$O=2\cdot \pi\cdot (5~\text{cm})\cdot (12~\text{cm} + 5~\text{cm})=170~\pi~\text{cm}^2 \approx \underline{\underline{534~\text{cm}^2}}$
Der gesamte Materialaufwand zur Herstellung einer Dose beträgt somit gerundet $534~\text{cm}^2$.
Übung: Volumen und Oberfläche von Zylindern
Eine Getränkedose hat näherungsweise die Form eines Zylinders. Wir wissen, dass die Grundfläche den Radius $r=3{,}35~\text{cm}$ hat und die Dose ist $11{,}5~\text{cm}$ hoch ist. Um die Dose möchte der Hersteller eine Folie kleben, auf welcher das Fassungsvermögen, der Name, die Inhaltsstoffe, und weitere Informationen stehen.
Formeln Zylinder – Tabellarischer Steckbrief
| Zylinder | Volumen | Oberfläche |
|---|---|---|
| Grundfläche mal Höhe | zweimal Grundfläche plus Mantelfläche | |
| Formel | $V = G \cdot h = \pi r^2 \cdot h$ | $O = 2G + M = 2 \cdot \pi r^2 + 2 \pi r \cdot h$ $\quad = 2 \pi r \cdot (r+h)$ |
| Beispiel: $r = 5~\text{cm}, h = 2~\text{cm}$ |
$V = \pi \cdot (5~\text{cm})^2 \cdot 2~\text{cm}$ $\quad \approx 157{,}1~\text{cm}^3$ |
$O = 2 \pi \cdot 5~\text{cm} \cdot (5~\text{cm} + 2~\text{cm})$ $\quad \approx 219{,}9~\text{cm}^2$ |
Zylinder Zusammenfassung
- Ein geometrischer Körper, der aus zwei gleichgroßen parallelen kreisförmigen Flächen besteht, die rundum miteinander verbunden sind, heißt Zylinder.
- Es wird zwischen geraden und schiefen Kreiszylinder unterschieden, abhängig davon, ob die Grund- und Deckfläche senkrecht übereinander liegen.
- Die Oberfläche eines Zylinders setzt sich aus Grundfläche, Deckfläche und Mantelfläche zusammen.
- Das Volumen ergibt sich als Produkt aus Grundfläche und Höhe eines Zylinders.
- Für einen Zylinder mit Grundkreisradius $r$ und Höhe $h$ gelten die Formeln:
$O_{\text{Zylinder}} = 2 \cdot G + M = 2 \pi r \cdot (r+h)$
und
$V_{\text{Zylinder}} = G \cdot h = r^2 \cdot \pi \cdot h$
Häufig gestellte Fragen zum Thema Volumen und Oberfläche von Zylindern
Transkript Zylinder – Volumen und Oberfläche
Oh! Das sieht aber lecker aus! Ein Kuchen und Torten Wettbewerb? Wäre es nicht toll einen der heißbegehrten Preise zu gewinnen? Nichts einfacher als das, denkt Titus! Um die Jury zu beeindrucken, möchte er eine besonders große Torte backen. Dabei kann er sein Wissen über den Zylinder verwenden. Ein Kuchen wird nämlich oft in so einer Form gebacken. Der Zylinder ist ein Körper, der als Grundfläche einen Kreis besitzt. Verschieben wir diese Grundfläche... und ummanteln den entstandenen Zwischenraum, erhalten wir einen Zylinder. Der Zylinder besteht also aus einer kreisförmigen Grundfläche und einer kreisförmigen Deckfläche, die jeweils den gleichen Radius besitzen. Sie sind also kongruent. Durch die Verschiebung des Kreises haben wir außerdem die Höhe des Zylinders erhalten. Klappen wir den Zylinder nun auf, so sehen wir das Körpernetz. Es besteht aus der Grundfläche, der Deckfläche und dieser rechteckigen Fläche, die auch Mantelfläche genannt wird. All diese Flächen zusammen bilden die Oberfläche des Zylinders. Zur Berechnung der Oberfläche benötigen wir also den Flächeninhalt der beiden Kreise und den Flächeninhalt der Mantelfläche. Da die Kreise kongruent zueinander sind, haben sie beide den gleichen Flächeninhalt. Wir rechnen zwei mal pi mal r quadrat. Für das Rechteck benötigen wir nun nur noch die Längen der beiden Seiten. Diese Seite hier ist die Höhe h. Und diese Seite umschließt die Grundfläche des Zylinders, wir können sie also durch den Umfang des Kreises darstellen. Der Flächeninhalt des Rechtecks beträgt also U mal h. Da der Umfang eines Kreises mit zwei mal pi mal r berechnet wird, erhalten wir für die Mantelfläche also zwei mal pi mal r mal h. Für die Oberfläche haben wir nun diese Formel. Fassen wir sie noch weiter zusammen, so erhalten wir zwei mal pi mal r mal in Klammern (r+h). Schauen wir uns das doch nun an einem Beispiel an: die Kuchenform, in der Titus seinen Kuchen backen möchte, hat einen Radius von 15 cm und eine Höhe von 5 cm. Welche Oberfläche wird dieser Kuchen haben? Setzen wir die Werte in die Formel ein und rechnen dies aus so sehen wir, dass der Kuchen eine Oberfläche von ungefähr 1884,96 Quadratzentimetern haben wird. Was für ein Volumen würde dieser Kuchen denn haben? Das Volumen eines Zylinders berechnen wir mithilfe der Grundfläche und der Höhe. Die Grundfläche ist ein Kreis, also können wir wieder die Formel für den Flächeninhalt eines Kreises verwenden. Für das Volumen verwenden wir also die Formel pi mal r quadrat mal h. Bei einem Radius von 15 cm und einer Höhe von 5 cm hat der Kuchen also ein Volumen von ungefähr 3534,29 Kubikzentimetern. Während Titus seine Torte zubereitet, fassen wir zusammen. Die Oberfläche eines Zylinders setzt sich zusammen aus Mantelfläche, Grund- und Deckfläche. Da die Grund- und Deckfläche den gleichen Flächeninhalt besitzen, berechnen wir die Oberfläche mit zwei mal G plus M und das sind 2 mal pi mal r mal in Klammern (r +h). Die Oberfläche umschließt das Volumen des Zylinders. Dieses berechnet man mithilfe der Grundfläche und der Höhe, also pi mal r quadrat mal h. Ist Titus wohl schon auf dem Weg zum Wettbewerb? Oh, da konnte er der Torte wohl nicht widerstehen.
Zylinder – Volumen und Oberfläche Übung
-
Gib wieder, wie man die Oberfläche eines Zylinders bestimmt.
TippsDa die Grundfläche $G$ und Deckfläche $D$ kongruent sind, können wir $D=G$ annehmen.
Eine Seite der Mantelfläche liegt genau an dem Umfang des Kreises an.
Zuletzt können wir die einzelnen bestimmten Größen zu unserer Formel zusammensetzen.
LösungSo kannst du den Lückentext vervollständigen:
„Die Oberfläche eines Zylinders besteht aus der Grundfläche, der Deckfläche und der Mantelfläche. Das können wir so schreiben:
$O=2G+M$“.
- Da die Grund- und Deckfläche kongruent sind, können wir diese hier zusammenfassen.
$G=\pi r^2$.“
- So berechnest du den Flächeninhalt eines Kreises.
$M=h\cdot2 \pi r$.“
- Eine Seite der Mantelfläche liegt genau an dem Umfang des Kreises an. Deshalb muss dies eine Seite des Rechtecks sein.
$O=2G+M=2 \pi r^2+2h \pi r=2 \pi r (r+h)$.“
- Zuletzt können wir die einzelnen bestimmten Größen zu unserer Formel zusammensetzen.
-
Gib an, wie man das Volumen eines Zylinders bestimmt.
TippsDas Volumen eines Körpers mit zwei kongruenten parallelen Flächen bestimmst du immer, indem du die Grundfläche mit der Höhe des Körpers multiplizierst.
Zum Schluss kannst du die gegebenen Größen einsetzen und ausrechnen.
LösungSo kannst du den Lückentext vervollständigen:
„Das Volumen eines Zylinders berechnen wir, indem wir die Grundfläche $G$ mit der Höhe $h$ multiplizieren. So erhalten wir:
$V=G \cdot h$.“
- Das Volumen eines Körpers mit zwei kongruenten parallelen Flächen bestimmst du immer, indem du die Grundfläche mit der Höhe des Körpers multiplizierst.
$G=\pi r^2$.
Wir erhalten:
$V=\pi r^2 \cdot h$.“
- Hier setzen wir die Formel für den Flächeninhalt eines Kreises in die Formel des Volumens ein.
$V=\pi (15~\text{cm})^2 \cdot 5~\text{cm}\approx3~534,29~\text{cm}^3$.“
- Anschließend kannst du die gegebenen Größen einsetzen und ausrechnen.
-
Ermittle, wo die Oberfläche der Zylinder korrekt bestimmt wurde.
TippsDie Oberfläche eines Zylinders besteht aus seiner rechteckigen Mantelfläche $M$ und der kongruenten, kreisförmigen Grund- und Deckfläche.
$O=2G+M$
Mit $G=\pi r^2$ und $M=2h \pi r$ erhältst du:
$O=2G+M=2 \pi r^2+2h \pi r=2 \pi r (r+h)$.
In diese Formel kannst du die gegebenen Größen einsetzen, um die Oberflächen zu berechnen und zu vergleichen.
LösungDie Oberfläche eines Zylinders besteht aus seiner rechteckigen Mantelfläche $M$ und der kongruenten, kreisförmigen Grund- und Deckfläche.
$O=2G+M$
Mit $G=\pi r^2$ und $M=2h \pi r$ erhalten wir:
$O=2G+M=2 \pi r^2+2h \pi r=2 \pi r (r+h)$.
In diese Formel können wir die gegebenen Größen einsetzen, um die Oberflächen zu berechnen und mit den gegebenen Werten zu vergleichen. Damit erhalten wir, dass folgende Oberflächen falsch berechnet wurden:
„Ein Zylinder mit $r=3~\text{cm}$ und $h=3~\text{cm}$ hat keine Oberfläche von $O=131,2~\text{cm}^2$.“
- So berechnest du die Oberfläche richtig: $O=2 \pi \cdot 3~\text{cm} \cdot (3~\text{cm}+3~\text{cm}) \approx 113,10~\text{cm}^2.$
- So berechnest du die Oberfläche richtig: $O=2 \pi \cdot 2~\text{cm} \cdot (2~\text{cm}+3,5~\text{cm}) \approx 69,12~\text{cm}^2.$
- $O=2 \pi \cdot 2~\text{cm} \cdot (2~\text{cm}+3~\text{cm}) \approx 62,83 ~\text{cm}^2$
- $O=2 \pi \cdot 2,5~\text{cm} \cdot (2,5~\text{cm}+2,5~\text{cm}) \approx 78,54 ~\text{cm}^2$
-
Ermittle die Volumen der Zylinder.
TippsDas Volumen eines Zylinders erhältst du, indem du seine Grundfläche $G$ mit seiner Höhe $h$ multiplizierst.
$V=G \cdot h$
Die Grundfläche ist ein Kreis mit dem Flächeninhalt $\pi r^2$. Dabei ist $r$ der Kreisradius.
LösungDas Volumen eines Zylinders erhältst du, indem du seine Grundfläche $G$ mit seiner Höhe $h$ multiplizierst.
$V=G \cdot h$
Da die Grundfläche ein Kreis mit Flächeninhalt $\pi r^2$ ist, kannst du die Formel für das Volumen eines Zylinders so angeben:
$V=\pi r^2 \cdot h$.
Setzten wir in diese Formel die gegebenen Größen ein, erhalten wir:
- $V=\pi (2~\text{m})^2 \cdot 3~\text{m}\approx 37,70~\text{m}^3$
- $V=\pi (3~\text{m})^2 \cdot 3~\text{m}\approx 84,82~\text{m}^3$
- $V=\pi (2,5~\text{m})^2 \cdot 2,5~\text{m}\approx 49,09~\text{m}^3$
- $V=\pi (2~\text{m})^2 \cdot 3,5~\text{m}\approx 43,98~\text{m}^3$
-
Bestimme die korrekten Aussagen zur Oberfläche und dem Volumen von Zylindern.
TippsDie Grund- und Deckfläche eines Zylinders sind zwei kongruente Kreise.
Hat ein Körper zwei parallele, kongruente Seitenflächen, kannst du sein Volumen bestimmen, indem du die Grundfläche mit der Höhe des Körpers multiplizierst.
LösungDiese Aussagen sind falsch:
„Die Grundfläche eines Zylinders ist ein Viereck.“
- Ein Zylinder hat zwei kongruente Kreise. Diese heißen Grund- und Deckfläche.
- Die Mantelfläche ist ein Rechteck mit der Höhe des Zylinders und dem Umfang der Grundfläche als Seitenlängen.
„Die Grund- und Deckfläche besitzen den gleichen Radius.“
- Da die beiden Flächen kongruent sind, besitzen sie auch den gleichen Radius.
„Das Volumen eines Zylinders kannst du bestimmen, indem du die Grundfläche mit der Höhe multiplizierst.“
- Hat ein Körper zwei parallele, kongruente Seitenflächen, kannst du sein Volumen bestimmen, indem du die Grundfläche mit der Höhe des Körpers multiplizierst. Dies ist auch hier der Fall.
-
Ermittle das Volumen und die Oberfläche des Halbzylinders.
TippsMit $\frac{1}{2}$ zu multiplizieren ist das gleiche, wie durch $2$ zu teilen.
Die Mantelfläche eines Zylinders beträgt $M=2 \cdot h \cdot \pi \cdot r$.
Der Durchmesser ist das Doppelte des Radius.
LösungSo kannst du den Lückentext vervollständigen:
„Da der Zylinder genau halbiert wurde, ist nur noch die Hälfte des Volumens $V$ übrig. Wir erhalten also für das Volumen des Halbzylinders $V_H$ folgende Formel:
$V_H=\frac{V}{2}=\frac{1}{2} \cdot \pi r^2 \cdot h$.“
- Mit $\frac{1}{2}$ zu multiplizieren ist das gleiche, wie durch $2$ zu teilen.
- Setzt du die gegebenen Größen ein, erhältst du diesen Zahlenwert.
$O_K=\frac{1}{2} \pi r^2$.“
- Ein Halbkreis hat genau die Hälfte der Fläche eines Kreises. Deshalb kannst du die Fläche eines Halbkreises angeben, indem du mit $\frac{1}{2}$ multiplizierst.
$A_M=h \cdot \pi \cdot r$.“
- Auch hier wurde durch zwei geteilt. Da allerdings die Mantelfläche eines Zylinders $2 \cdot h \cdot \pi \cdot r$ beträgt, können wir hier die zwei wegkürzen: $\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot h \cdot \pi \cdot r =h \cdot \pi \cdot r.$
$A_R=h \cdot 2r$.“
- Der Durchmesser ist das Doppelte des Radius: $d=2r$.
$O_H=\pi r^2+h \cdot \pi \cdot r+2rh$.“
- Jetzt setzen wir die einzelnen Teile der Formel zusammen.
$O_H \approx 931,15~\text{cm}^2$.“
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Klasse erklärt habe alles verstanden
super Video,klasse wäre eine Formelsammlung (wenn auch nur knapp).
good vid
Danke🧍🏻
So kompliziert erklärt und die Formeln so komisch erklärt. 0 von 5 sternen