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Zylinder – Volumen und Oberfläche

Zylinder sind geometrische Körper mit parallelen Grund- und Deckflächen, die von einer Mantelfläche umgeben sind. Es gibt verschiedene Arten von Zylindern, wie gerade, schiefe, offene und Hohlzylinder. Lerne, wie du die Oberfläche und Volumen berechnen kannst, und vergiss nicht, dass du noch üben muss, um mit den Berechnungen sicherzugehen.

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Team Digital
Zylinder – Volumen und Oberfläche
lernst du in der Sekundarstufe 1. Klasse - 2. Klasse

Beschreibung zum Video Zylinder – Volumen und Oberfläche

Was haben manche Hüte, die meisten Trinkgläser und viele Torten gemeinsam? Sie alle haben die Form eines Zylinders. Aber was ist ein Zylinder in Mathe überhaupt? Finde es in diesem Video heraus!

Zunächst lernst du die Definition und Eigenschaften eines Zylinders kennen. Danach werden die Formeln für die Oberfläche und das Volumen des Zylinders einfach erklärt. Anhand von Beispielen lernst du, wie du sie anwendest. Ergänzend zum Video findest du interaktive Übungen. Leg gleich im Anschluss damit los und teste dein Wissen!

Grundlagen zum Thema Zylinder – Volumen und Oberfläche

Was ist ein Zylinder?

Der Zylinder (auch Kreiszylinder) ist ein geometrischer Körper.
Grundfläche und Deckfläche des Zylinders sind per Definition zueinander parallele und kongruente Kreise. Diese werden von einer Fläche ummantelt, der Mantelfläche. Der Abstand von Grund- zur Deckfläche ist die Höhe $h$ des Zylinders.

Zylinder mit Grundfläche Deckfläche Radius

Wir wollen uns zunächst genauer mit den Eigenschaften von Zylindern und verschiedenen Arten von Zylindern beschäftigen, die dir im Matheunterricht begegnen. Im Anschluss untersuchen wir die Berechnung von Oberfläche und Volumen verschiedener Zylinder.

Eigenschaften des Zylinders

Jeder Zylinder weist die folgenden Eigenschaften auf:

  • Zwei kreisförmige Begrenzungsflächen (Grund- und Deckfläche), die zueinander parallel und kongruent (deckungsgleich) sind.
  • Der Mantel verbindet die Grund- und Deckfläche des Zylinders.
  • Ein Zylinder hat drei Flächen, zwei Kanten und keine Ecken.

Arten von Zylindern

Es gibt verschiedene Arten von (Kreis-)Zylindern:

  • Gerader Zylinder
    Bei einem geraden Zylinder liegt die Deckfläche genau über der Grundfläche. Die Höhe $h$ entspricht dann dem Abstand der Mittelpunkte der beiden Flächen. Die Mantelfläche verläuft senkrecht zur Grund- und Deckfläche und hat ausgebreitet die Form eines Rechtecks. Häufig ist, wenn von einem Zylinder gesprochen wird, ein solcher gerader Kreiszylinder gemeint.
  • Schiefer Zylinder
    Ein schiefer Zylinder hat nach Definition kongruente kreisförmige Grund- und Deckflächen, diese liegen allerdings versetzt zueinander. Durch die Verschiebung von Grund- und Deckfläche zueinander entspricht die Höhe eines schiefen Zylinders nicht der Verbindung der Mittelpunkte beider Flächen. Außerdem ist die Abwicklung der Mantelfläche eines schiefen Zylinders kein Rechteck und entsprechend komplexer in der Berechnung.
  • Offener Zylinder
    Von einem offenen Zylinder sprechen wir, wenn ein Zylinder beispielsweise als Gefäß nur auf einer Seite geschlossen ist. Ein offener Zylinder hat also im Normalfall keine Deckfläche.
  • Hohlzylinder
    Ein Hohlzylinder entsteht, wenn aus einem Zylinder mittig ein kleinerer Zylinder ausgeschnitten wird. Es handelt sich also um einen Zylinder mit einem Loch in der Mitte. Wir können auch sagen: „Der Zylinder ist in der Mitte hohl.“ Der fehlende innere Zylinder hat dabei die gleiche Höhe wie der äußere Zylinder, aber einen kleineren Radius.

Arten von Zylindern Übersicht

Hinweis: Die im Weiteren aufgeführten Ausführungen und Formeln gelten soweit nicht anders spezifiziert für gerade Kreiszylinder.

Zylindernetz

Wenn man einen Körper an den Kanten aufschneidet und auffaltet, erhält man das Körpernetz, das sich aus allen Seitenflächen des Körpers zusammensetzt. Bei einem Zylinder besteht das Körpernetz aus zwei Kreisen und einem Rechteck.

Zylinder Mantelfläche Oberfläche Netz Zylindernetz

Die in dem Netz zu sehende rechteckige Mantelfläche (3) und die kreisförmige Grund- und Deckfläche (2 und 1) bilden gemeinsam die Oberfläche des Zylinders.

Oberfläche eines Zylinders berechnen

Die Oberfläche ergibt sich als Summe aus der Mantelfläche sowie dem Doppelten der Grundfläche:

$O_{\text{Zylinder}}= \text{Mantelfläche} + 2 \cdot \text{Grundfläche} = M + 2G$

Um die Oberfläche zu berechnen, muss man also zunächst die Grundfläche des Zylinders berechnen. Die Grundfläche ist ein Kreis. Somit gilt für die Grundfläche des Zylinders die Formel:

$G=\pi\cdot r^2$

Dieser Wert geht zweimal in die Zylinderoberfläche ein. Denn die Grundfläche und die Deckfläche haben als kongruente Flächen einen identischen Flächeninhalt.

Dann muss man noch die Mantelfläche des Zylinders berechnen. Die Mantelfläche ist ein Rechteck mit den Seitenlängen Höhe des Zylinders und Umfang der Grundfläche. Damit gilt für die Mantelfläche des Zylinders die Formel:

$M=2\pi\cdot r\cdot h$

Zylinderoberfläche – Formel

Nun kann die Oberflächenformel des Zylinders abhängig von Grundkreisradius $r$ und Höhe $h$ angegeben werden.

$O_{\text{Zylinder}}=2 \cdot \pi \cdot r^2+2\pi\cdot r\cdot h=2\pi~r\cdot(r+h)$

Beispiel – Oberfläche eines Zylinders berechnen

Zunächst soll die Zylinderoberfläche eines Zylinders mit den folgenden gegebenen Größen berechnet werden:

$r=15~\text{cm}$ und $h=5~\text{cm}$

Diese Größen werden in die Oberflächenformel eingesetzt:

$O=2\pi~r\cdot(r+h)$

Dies führt zu:

$O=2\pi\cdot 15~\text{cm}\cdot(15~\text{cm}+5~\text{cm})$

Und weiter zu:

$O=2\pi\cdot 15~\text{cm}\cdot 20~\text{cm}=600\pi~\text{cm}^2\approx \underline{\underline{1\,844{,}96~\text{cm}^2}}$

Zylinder – Flächenrechner

Beschrifteter_Zylinder_Skizze.svg





Hinweis: Alle Längen müssen in der gleichen Einheit angegeben werden. Die Oberfläche wird dann in der entsprechenden Flächeneinheit ausgegeben.
(Beispiel: $r$ und $h$ in $\pu{cm} ~~ \Rightarrow ~~$Oberfläche in $\pu{cm2}$)

Volumen eines Zylinders berechnen

Um das Volumen eines Zylinders zu berechnen, wird wie beim Prisma der Flächeninhalt der Grundfläche mit der Höhe multipliziert. Diese Formel gilt nach dem Satz von Cavalieri auch für schiefe Kreiszylinder. Auch das Volumen hängt vom Grundkreisradius $r$ und der Höhe $h$ ab.

Zylindervolumen – Formel

$V_{\text{Zylinder}}=G\cdot h=\pi\cdot r^2\cdot h$

Beispiel – Volumen eines Zylinders berechnen

Für den Zylinder aus dem obigen Beispiel mit $r=15~\text{cm}$ und $h=5~\text{cm}$ kann man mit folgender Volumenformel schließlich noch das Volumen berechnen:

$V=\pi\cdot r^2\cdot h$

Die bekannten Größen werden in diese Formel eingesetzt:

$V=\pi\cdot \left(15~\text{cm}\right)^2\cdot 5~\text{cm}$

Nun kann weitergerechnet werden:

$V=\pi\cdot 225~\text{cm}^2\cdot 5~\text{cm}=1\,125\pi~\text{cm}^3\approx \underline{\underline{3\,534{,}29~\text{cm}^3}}$

Zylinder – Volumenrechner

Beschrifteter_Zylinder_Skizze.svg





Hinweis: Alle Längen müssen in der gleichen Einheit angegeben werden. Das Volumen wird dann in der entsprechenden Volumeneinheit ausgegeben.
(Beispiel: $r$ und $h$ in $\pu{cm} ~~ \Rightarrow ~~$Volumen in $\pu{cm3}$)

Weitere Aufgaben – Volumen und Oberfläche von Zylindern

Wir wollen nun noch ein etwas komplexeres Beispiel für Berechnungen bei Zylindern betrachten.

Dose als Zylinder Beispiel

Der Hersteller einer beliebten Tomatensoße möchte die Dose, in die diese Soße gefüllt wird, neu gestalten.

  • Die Höhe der Dose soll $h=12~\text{cm}$ sein und
  • das Volumen soll $950~\text{cm}^3$ betragen.

Nun stellt sich der Hersteller die folgenden Fragen:

  • Wie groß ist der Materialaufwand (in $\text{cm}^2$), ohne Verschnitt, zur Herstellung der Dose?
  • Wie groß (in $\text{cm}^2$) ist der Aufkleber, der die gesamte Dose umhüllt? Auf diesem soll das wunderbare Logo der Firma zu sehen sein.

Zuerst überlegst du dir, wonach gefragt ist.

  • Der Materialaufwand ist die gesamte Oberfläche.
  • Die Größe des Aufklebers entspricht der Mantelfläche.

Da du die Mantelfläche auch für die Oberfläche benötigst, berechnest du erst einmal die Mantelfläche ${M=2\cdot \pi\cdot r\cdot h}$.

Die Höhe der Dose kennst du bereits, allerdings nicht den Radius der Grundfläche. Diesen kannst du allerdings mit dem bekannten Volumen berechnen:

$\begin{array}{rclll} 950&=&\pi\cdot r^2\cdot 12&|&:\pi~:12\\ 950 : 12\pi &=&r^2\\ 25{,}2&\approx&r^2&|&\sqrt{~~~}\\ r&\approx&5\end{array}$

Der Radius beträgt somit ungefähr $5~\text{cm}$. Diesen kannst du schließlich in der Formel für die Mantelfläche einsetzen:

$M=2\cdot \pi\cdot (5~\text{cm})\cdot (12~\text{cm})=120~\pi~\text{cm}^2 \approx \underline{\underline{377~\text{cm}^2}}$

Der Aufkleber mit dem Logo des Herstellers hat somit einen Flächeninhalt von circa $377~\text{cm}^2$.

Ebenso kannst du die Oberfläche berechnen:

$O=2\cdot \pi\cdot (5~\text{cm})\cdot (12~\text{cm} + 5~\text{cm})=170~\pi~\text{cm}^2 \approx \underline{\underline{534~\text{cm}^2}}$

Der gesamte Materialaufwand zur Herstellung einer Dose beträgt somit gerundet $534~\text{cm}^2$.

Übung – Volumen und Oberfläche von Zylindern

Eine Getränkedose hat näherungsweise die Form eines Zylinders. Wir wissen, dass die Grundfläche den Radius $r=3{,}35~\text{cm}$ hat und die Dose $11{,}5~\text{cm}$ hoch ist. Um die Dose möchte der Hersteller eine Folie kleben, auf der das Fassungsvermögen, der Name, die Inhaltsstoffe und weitere Informationen stehen.

Getränkedose als Zylinder Beispiel Volumen und Oberfläche

Berechne das Fassungsvermögen der Getränkedose.
Berechne die Größe der Folie.

Formeln Zylinder – tabellarischer Steckbrief

Zylinder Volumen Oberfläche
Grundfläche mal Höhe zweimal Grundfläche plus Mantelfläche
Formel $V = G \cdot h = \pi r^2 \cdot h$ $O = 2G + M = 2 \cdot \pi r^2 + 2 \pi r \cdot h$
$\quad = 2 \pi r \cdot (r+h)$
Beispiel:
$r = 5~\text{cm}, h = 2~\text{cm}$
$V = \pi \cdot (5~\text{cm})^2 \cdot 2~\text{cm}$
$\quad \approx 157{,}1~\text{cm}^3$
$O = 2 \pi \cdot 5~\text{cm} \cdot (5~\text{cm} + 2~\text{cm})$
$\quad \approx 219{,}9~\text{cm}^2$

Zylinder – Zusammenfassung

  • Ein geometrischer Körper, der aus zwei gleich großen parallelen kreisförmigen Flächen besteht, die rundum miteinander verbunden sind, heißt Zylinder.
  • Es wird zwischen geraden und schiefen Kreiszylindern unterschieden, abhängig davon ob die Grund- und Deckfläche senkrecht übereinander liegen.
  • Die Oberfläche eines Zylinders setzt sich aus Grundfläche, Deckfläche und Mantelfläche zusammen.
  • Das Volumen ergibt sich als Produkt aus Grundfläche und Höhe eines Zylinders.
  • Für einen Zylinder mit Grundkreisradius $r$ und Höhe $h$ gelten die Formeln:
    $O_{\text{Zylinder}} = 2 \cdot G + M = 2 \pi r \cdot (r+h)$
    und
    $V_{\text{Zylinder}} = G \cdot h = r^2 \cdot \pi \cdot h$

Formeln Zylinder Oberfläche und Volumen Zusammenfassung

Häufig gestellte Fragen zum Thema Volumen und Oberfläche von Zylindern

Wie berechne ich das Zylindervolumen?
Was ist ein Zylinder einfach erklärt?
Wie viele Flächen hat der Zylinder?
Was ist ein Beispiel für einen Zylinder?
Was für Zylinderarten gibt es?
Wie berechnet man die Mantelfläche eines Zylinders?
Wie berechnet man den Zylinder?
Wie berechnet man die Oberfläche eines Zylinders?
Wie berechnet man aus Grundfläche und Volumen die Höhe eines Zylinders?
Wie berechnet man die Grundfläche eines Zylinders?
Teste dein Wissen zum Thema Volumen Zylinder!

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Vorschaubild einer Übung

Transkript Zylinder – Volumen und Oberfläche

Oh! Das sieht aber lecker aus! Ein Kuchen und Torten Wettbewerb? Wäre es nicht toll einen der heißbegehrten Preise zu gewinnen? Nichts einfacher als das, denkt Titus! Um die Jury zu beeindrucken, möchte er eine besonders große Torte backen. Dabei kann er sein Wissen über den Zylinder verwenden. Ein Kuchen wird nämlich oft in so einer Form gebacken. Der Zylinder ist ein Körper, der als Grundfläche einen Kreis besitzt. Verschieben wir diese Grundfläche... und ummanteln den entstandenen Zwischenraum, erhalten wir einen Zylinder. Der Zylinder besteht also aus einer kreisförmigen Grundfläche und einer kreisförmigen Deckfläche, die jeweils den gleichen Radius besitzen. Sie sind also kongruent. Durch die Verschiebung des Kreises haben wir außerdem die Höhe des Zylinders erhalten. Klappen wir den Zylinder nun auf, so sehen wir das Körpernetz. Es besteht aus der Grundfläche, der Deckfläche und dieser rechteckigen Fläche, die auch Mantelfläche genannt wird. All diese Flächen zusammen bilden die Oberfläche des Zylinders. Zur Berechnung der Oberfläche benötigen wir also den Flächeninhalt der beiden Kreise und den Flächeninhalt der Mantelfläche. Da die Kreise kongruent zueinander sind, haben sie beide den gleichen Flächeninhalt. Wir rechnen zwei mal pi mal r quadrat. Für das Rechteck benötigen wir nun nur noch die Längen der beiden Seiten. Diese Seite hier ist die Höhe h. Und diese Seite umschließt die Grundfläche des Zylinders, wir können sie also durch den Umfang des Kreises darstellen. Der Flächeninhalt des Rechtecks beträgt also U mal h. Da der Umfang eines Kreises mit zwei mal pi mal r berechnet wird, erhalten wir für die Mantelfläche also zwei mal pi mal r mal h. Für die Oberfläche haben wir nun diese Formel. Fassen wir sie noch weiter zusammen, so erhalten wir zwei mal pi mal r mal in Klammern (r+h). Schauen wir uns das doch nun an einem Beispiel an: die Kuchenform, in der Titus seinen Kuchen backen möchte, hat einen Radius von 15 cm und eine Höhe von 5 cm. Welche Oberfläche wird dieser Kuchen haben? Setzen wir die Werte in die Formel ein und rechnen dies aus so sehen wir, dass der Kuchen eine Oberfläche von ungefähr 1884,96 Quadratzentimetern haben wird. Was für ein Volumen würde dieser Kuchen denn haben? Das Volumen eines Zylinders berechnen wir mithilfe der Grundfläche und der Höhe. Die Grundfläche ist ein Kreis, also können wir wieder die Formel für den Flächeninhalt eines Kreises verwenden. Für das Volumen verwenden wir also die Formel pi mal r quadrat mal h. Bei einem Radius von 15 cm und einer Höhe von 5 cm hat der Kuchen also ein Volumen von ungefähr 3534,29 Kubikzentimetern. Während Titus seine Torte zubereitet, fassen wir zusammen. Die Oberfläche eines Zylinders setzt sich zusammen aus Mantelfläche, Grund- und Deckfläche. Da die Grund- und Deckfläche den gleichen Flächeninhalt besitzen, berechnen wir die Oberfläche mit zwei mal G plus M und das sind 2 mal pi mal r mal in Klammern (r +h). Die Oberfläche umschließt das Volumen des Zylinders. Dieses berechnet man mithilfe der Grundfläche und der Höhe, also pi mal r quadrat mal h. Ist Titus wohl schon auf dem Weg zum Wettbewerb? Oh, da konnte er der Torte wohl nicht widerstehen.

10 Kommentare
10 Kommentare
  1. Also muss man so was wissen um eine Torte zu machen ...

    Von Bkxt2018, vor 6 Monaten
  2. Klasse erklärt habe alles verstanden

    Von Silas, vor mehr als einem Jahr
  3. super Video,klasse wäre eine Formelsammlung (wenn auch nur knapp).

    Von Cihan Sever, vor etwa 2 Jahren
  4. good vid

    Von Team Digital, vor mehr als 2 Jahren
  5. Danke🧍🏻

    Von Itslearning Nutzer 2535 34332, vor fast 3 Jahren
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Zylinder – Volumen und Oberfläche Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Zylinder – Volumen und Oberfläche kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib wieder, wie man die Oberfläche eines Zylinders bestimmt.

    Tipps

    Da die Grundfläche $G$ und Deckfläche $D$ kongruent sind, können wir $D=G$ annehmen.

    Eine Seite der Mantelfläche liegt genau an dem Umfang des Kreises an.

    Zuletzt können wir die einzelnen bestimmten Größen zu unserer Formel zusammensetzen.

    Lösung

    So kannst du den Lückentext vervollständigen:

    „Die Oberfläche eines Zylinders besteht aus der Grundfläche, der Deckfläche und der Mantelfläche. Das können wir so schreiben:

    $O=2G+M$“.

    • Da die Grund- und Deckfläche kongruent sind, können wir diese hier zusammenfassen.
    „Die Grundfläche ist ein Kreis mit dem Radius $r$. Seine Fläche können wir so angeben:

    $G=\pi r^2$.“

    • So berechnest du den Flächeninhalt eines Kreises.
    „Die Mantelfläche ist ein Rechteck. Eine der Seitenlängen dieses Rechtecks ist die Höhe des Zylinders. Die andere entspricht dem Umfang der Grundfläche. So erhalten wir:

    $M=h\cdot2 \pi r$.“

    • Eine Seite der Mantelfläche liegt genau an dem Umfang des Kreises an. Deshalb muss dies eine Seite des Rechtecks sein.
    „Fügen wir die Formeln zusammen, erhalten wir für die Oberfläche:

    $O=2G+M=2 \pi r^2+2h \pi r=2 \pi r (r+h)$.“

    • Zuletzt können wir die einzelnen bestimmten Größen zu unserer Formel zusammensetzen.
  • Gib an, wie man das Volumen eines Zylinders bestimmt.

    Tipps

    Das Volumen eines Körpers mit zwei kongruenten parallelen Flächen bestimmst du immer, indem du die Grundfläche mit der Höhe des Körpers multiplizierst.

    Zum Schluss kannst du die gegebenen Größen einsetzen und ausrechnen.

    Lösung

    So kannst du den Lückentext vervollständigen:

    „Das Volumen eines Zylinders berechnen wir, indem wir die Grundfläche $G$ mit der Höhe $h$ multiplizieren. So erhalten wir:

    $V=G \cdot h$.“

    • Das Volumen eines Körpers mit zwei kongruenten parallelen Flächen bestimmst du immer, indem du die Grundfläche mit der Höhe des Körpers multiplizierst.
    „Die Grundfläche ist ein Kreis. Also benötigen wir die Formel für den Flächeninhalt eines Kreises:

    $G=\pi r^2$.

    Wir erhalten:

    $V=\pi r^2 \cdot h$.“

    • Hier setzen wir die Formel für den Flächeninhalt eines Kreises in die Formel des Volumens ein.
    „Hier können wir die gegebenen Größen einsetzen:

    $V=\pi (15~\text{cm})^2 \cdot 5~\text{cm}\approx3~534,29~\text{cm}^3$.“

    • Anschließend kannst du die gegebenen Größen einsetzen und ausrechnen.
  • Ermittle, wo die Oberfläche der Zylinder korrekt bestimmt wurde.

    Tipps

    Die Oberfläche eines Zylinders besteht aus seiner rechteckigen Mantelfläche $M$ und der kongruenten, kreisförmigen Grund- und Deckfläche.

    $O=2G+M$

    Mit $G=\pi r^2$ und $M=2h \pi r$ erhältst du:

    $O=2G+M=2 \pi r^2+2h \pi r=2 \pi r (r+h)$.

    In diese Formel kannst du die gegebenen Größen einsetzen, um die Oberflächen zu berechnen und zu vergleichen.

    Lösung

    Die Oberfläche eines Zylinders besteht aus seiner rechteckigen Mantelfläche $M$ und der kongruenten, kreisförmigen Grund- und Deckfläche.

    $O=2G+M$

    Mit $G=\pi r^2$ und $M=2h \pi r$ erhalten wir:

    $O=2G+M=2 \pi r^2+2h \pi r=2 \pi r (r+h)$.

    In diese Formel können wir die gegebenen Größen einsetzen, um die Oberflächen zu berechnen und mit den gegebenen Werten zu vergleichen. Damit erhalten wir, dass folgende Oberflächen falsch berechnet wurden:

    „Ein Zylinder mit $r=3~\text{cm}$ und $h=3~\text{cm}$ hat keine Oberfläche von $O=131,2~\text{cm}^2$.“

    • So berechnest du die Oberfläche richtig: $O=2 \pi \cdot 3~\text{cm} \cdot (3~\text{cm}+3~\text{cm}) \approx 113,10~\text{cm}^2.$
    „Ein Zylinder mit $r=2~\text{cm}$ und $h=3,5~\text{cm}$ hat keine Oberfläche von $O=82,34~\text{cm}^2$.“

    • So berechnest du die Oberfläche richtig: $O=2 \pi \cdot 2~\text{cm} \cdot (2~\text{cm}+3,5~\text{cm}) \approx 69,12~\text{cm}^2.$
    Folgende Oberflächen wurden korrekt bestimmt:

    • $O=2 \pi \cdot 2~\text{cm} \cdot (2~\text{cm}+3~\text{cm}) \approx 62,83 ~\text{cm}^2$
    • $O=2 \pi \cdot 2,5~\text{cm} \cdot (2,5~\text{cm}+2,5~\text{cm}) \approx 78,54 ~\text{cm}^2$
  • Ermittle die Volumen der Zylinder.

    Tipps

    Das Volumen eines Zylinders erhältst du, indem du seine Grundfläche $G$ mit seiner Höhe $h$ multiplizierst.

    $V=G \cdot h$

    Die Grundfläche ist ein Kreis mit dem Flächeninhalt $\pi r^2$. Dabei ist $r$ der Kreisradius.

    Lösung

    Das Volumen eines Zylinders erhältst du, indem du seine Grundfläche $G$ mit seiner Höhe $h$ multiplizierst.

    $V=G \cdot h$

    Da die Grundfläche ein Kreis mit Flächeninhalt $\pi r^2$ ist, kannst du die Formel für das Volumen eines Zylinders so angeben:

    $V=\pi r^2 \cdot h$.

    Setzten wir in diese Formel die gegebenen Größen ein, erhalten wir:

    • $V=\pi (2~\text{m})^2 \cdot 3~\text{m}\approx 37,70~\text{m}^3$
    • $V=\pi (3~\text{m})^2 \cdot 3~\text{m}\approx 84,82~\text{m}^3$
    • $V=\pi (2,5~\text{m})^2 \cdot 2,5~\text{m}\approx 49,09~\text{m}^3$
    • $V=\pi (2~\text{m})^2 \cdot 3,5~\text{m}\approx 43,98~\text{m}^3$
  • Bestimme die korrekten Aussagen zur Oberfläche und dem Volumen von Zylindern.

    Tipps

    Die Grund- und Deckfläche eines Zylinders sind zwei kongruente Kreise.

    Hat ein Körper zwei parallele, kongruente Seitenflächen, kannst du sein Volumen bestimmen, indem du die Grundfläche mit der Höhe des Körpers multiplizierst.

    Lösung

    Diese Aussagen sind falsch:

    „Die Grundfläche eines Zylinders ist ein Viereck.“

    • Ein Zylinder hat zwei kongruente Kreise. Diese heißen Grund- und Deckfläche.
    „Ausgerollt ist die Mantelfläche eines Zylinders ein Dreieck.“

    • Die Mantelfläche ist ein Rechteck mit der Höhe des Zylinders und dem Umfang der Grundfläche als Seitenlängen.
    Diese Aussagen sind richtig:

    „Die Grund- und Deckfläche besitzen den gleichen Radius.“

    • Da die beiden Flächen kongruent sind, besitzen sie auch den gleichen Radius.
    „Eine Seite der Mantelfläche entspricht dem Umfang der Grundfläche.“

    „Das Volumen eines Zylinders kannst du bestimmen, indem du die Grundfläche mit der Höhe multiplizierst.“

    • Hat ein Körper zwei parallele, kongruente Seitenflächen, kannst du sein Volumen bestimmen, indem du die Grundfläche mit der Höhe des Körpers multiplizierst. Dies ist auch hier der Fall.
  • Ermittle das Volumen und die Oberfläche des Halbzylinders.

    Tipps

    Mit $\frac{1}{2}$ zu multiplizieren ist das gleiche, wie durch $2$ zu teilen.

    Die Mantelfläche eines Zylinders beträgt $M=2 \cdot h \cdot \pi \cdot r$.

    Der Durchmesser ist das Doppelte des Radius.

    Lösung

    So kannst du den Lückentext vervollständigen:

    „Da der Zylinder genau halbiert wurde, ist nur noch die Hälfte des Volumens $V$ übrig. Wir erhalten also für das Volumen des Halbzylinders $V_H$ folgende Formel:

    $V_H=\frac{V}{2}=\frac{1}{2} \cdot \pi r^2 \cdot h$.“

    • Mit $\frac{1}{2}$ zu multiplizieren ist das gleiche, wie durch $2$ zu teilen.
    „Damit ergibt sich ein Volumen von: $V_H \approx 1884,96~\text{cm}^3.$“

    • Setzt du die gegebenen Größen ein, erhältst du diesen Zahlenwert.
    „Die Oberfläche $O_H$ eines Halbzylinders besteht aus zwei gleich großen Halbkreisen und zwei unterschiedlich großen Rechtecken. Die Oberfläche $O_K$ eines Halbkreises bestimmen wir durch:

    $O_K=\frac{1}{2} \pi r^2$.“

    • Ein Halbkreis hat genau die Hälfte der Fläche eines Kreises. Deshalb kannst du die Fläche eines Halbkreises angeben, indem du mit $\frac{1}{2}$ multiplizierst.
    „Die Fläche des ersten Rechtecks $A_M$ entspricht der Hälfte der Mantelfläche. Also erhalten wir:

    $A_M=h \cdot \pi \cdot r$.“

    • Auch hier wurde durch zwei geteilt. Da allerdings die Mantelfläche eines Zylinders $2 \cdot h \cdot \pi \cdot r$ beträgt, können wir hier die zwei wegkürzen: $\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot h \cdot \pi \cdot r =h \cdot \pi \cdot r.$
    „Das letzte Rechteck ist die Fläche, die beim Durchschneiden des Zylinders entstanden ist. Eine Seitenlänge entspricht der Höhe $h$ und die andere dem Durchmesser der Grundfläche. Also:

    $A_R=h \cdot 2r$.“

    • Der Durchmesser ist das Doppelte des Radius: $d=2r$.
    „Zusammen erhalten wir:

    $O_H=\pi r^2+h \cdot \pi \cdot r+2rh$.“

    • Jetzt setzen wir die einzelnen Teile der Formel zusammen.
    Setzen wir die gegebenen Größen ein, erhalten wir eine Fläche von:

    $O_H \approx 931,15~\text{cm}^2$.“