Lineare Abbildungen durch Matrizen – Orthogonale Spiegelung an der x-Achse

Lineare Abbildungen durch Matrizen – Orthogonale Spiegelung an der x-Achse Übung

• Ergänze die Erklärung zu linearen Abbildungen.

  Tipps

  Zum Beispiel ist die Spiegelung an der x-Achse eine lineare Abbildung.

  Sei $P(3|3)$, dann ist $P(3|-3)$ der an der x-Achse gespiegelte Punkt $P$.

  Es gilt

  $\begin{pmatrix} 1 &0 \\ 0& -1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 \\ -3 \end{pmatrix}$

  Hier siehst du eine $(2\times 2)$-Matrix. Gesprochen: „Zwei kreuz zwei“.

  Diese Matrix hat zwei Zeilen und zwei Spalten.

  Lösung

  Was ist eine lineare Abbildung?

  Eine Zuordnung $f$, die den Raum $\mathbb{R}^n$ auf den Raum $\mathbb{R}^m$ abbildet, also

  $f:~\mathbb{R}^n~\rightarrow~\mathbb{R}^m$,

  heißt lineare Abbildung, wenn sie jedem Punkt $P$ aus $\mathbb{R}^n$ einen Bildpunkt $P'$ aus $\mathbb{R}^m$ zuordnet und eine $(m\times n)$-Matrix $A$ existiert, so dass gilt

  $\vec{x'}=A\cdot \vec x$.

  Dabei ist

  • $\vec{x'}$ der Ortsvektor von $P'$ und
  • $\vec x$ der Ortsvektor von $P$.

• Gib die Matrix an, welche die orthogonale Spiegelung an der x-Achse beschreibt.

  Tipps

  Beachte die Definition einer linearen Abbildung:

  Eine Zuordnung $f$, die den Raum $\mathbb{R}^n$ auf den Raum $\mathbb{R}^m$ abbildet, also

  $f:~\mathbb{R}^n~\rightarrow~\mathbb{R}^m$,

  heißt lineare Abbildung, wenn sie jedem Punkt $P$ aus $\mathbb{R}^n$ einen Bildpunkt $P'$ aus $\mathbb{R}^m$ zuordnet und eine $(m\times n)$-Matrix $A$ existiert, so dass gilt:

  $\vec{x'}=A\cdot \vec x$.

  Der Bildpunkt von $E(3|4)$ ist $E'(3|-4)$ und der von $F(5|2)$ ist $F'(5|-2)$.

  Berechne an weiteren Beispielen das Produkt „Matrix mal Vektor“: Multipliziere hierfür jede Zeile der Matrix mit dem Vektor.

  Lösung

  Wenn man das Dreieck $\Delta_{DEF}$ an der x-Achse spiegeln möchte, kann man jeden Eckpunkt des Dreiecks einzeln an der x-Achse spiegeln. Wenn man am Schluss die gespiegelten Punkte wieder miteinander verbindet, erhält man das gespiegelte Dreieck.

  Diese Spiegelung sei hier einmal exemplarisch für den Punkt $D$ gezeigt.

  1. Man zeichnet eine Hilfslinie von $D$ ausgehend orthogonal zur x-Achse.
  2. Nun misst man die Länge der Strecke bis zur x-Achse und trägt diese Länge auf der anderen Seite der x-Achse ab.
  3. Der Bildpunkt von $D$ hat die gleiche $x$-Koordinate. Nur die $y$-Koordinate ändert sich: Das Vorzeichen wird vertauscht.
  4. Der Bildpunkt von $D(1|1)$ ist $D'(1|-1)$.

  Ebenso ist

  • $E'(3|-4)$ der Bildpunkt von $E(3|4)$ und
  • $F'(5|-2)$ der Bildpunkt von $F(5|2)$

  Kann diese Abbildung auch in der Form $\vec x'=A\cdot \vec x$ geschrieben werden?

  Hierzu betrachtet man einen beliebigen Punkt $P(x|y)$ und den zugehörigen Bildpunkt $P'(x'|y')$. An den Beispielen kann man erkennen, dass die $x$-Koordinate gleich bleibt und bei der $y$-Koordinate das Vorzeichen vertauscht wird. Also gilt

  • $x'=x$ sowie
  • $y'=-y$.

  Dies kann auch so aufgeschrieben werden:

  $\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x \\ -y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\cdot x+0\cdot y \\ 0\cdot x+(-1)\cdot y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 &0 \\ 0& -1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$

  Das bedeutet, dass die Matrix

  $A=\begin{pmatrix} 1 &0 \\ 0& -1 \end{pmatrix}$

  die gesuchte Matrix aus der Definition der linearen Abbildung ist.

• Leite die Matrix $A$ für die orthogonale Spiegelung an der y-Achse her.

  Tipps

  Durch diese Matrix ist die orthogonale Spiegelung an der x-Achse gegeben.

  Bei der orthogonalen Spiegelung an der y-Achse änderst du bei der $x$-Koordinate das Vorzeichen und behältst die $y$-Koordinate bei.

  Hier siehst du, wie du die Matrix bestimmen kannst.

  Lösung

  Die orthogonale Spiegelung an der y-Achse bewirkt, dass bei der $x$-Koordinate das Vorzeichen vertauscht wird. Die $y$-Koordinate ändert sich nicht.

  Sei also $P(x|y)$ ein beliebiger Punkt und $P'(x'|y')=P'(-x|y)$ der zugehörige Bildpunkt, dann gilt

  $\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} (-1)\cdot x+0\cdot y \\ 0\cdot x+1\cdot y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 &0 \\ 0& 1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$

  Das bedeutet, dass die Matrix

  $A=\begin{pmatrix} -1 &0 \\ 0& 1 \end{pmatrix}$

  die Matrix ist, die die orthogonale Spiegelung an der y-Achse beschreibt.

• Bestimme die zur der Punktspiegelung gehörige Matrix.

  Tipps

  Bei beiden Koordinaten ändert sich zwar das Vorzeichen, der Absolutbetrag bleibt jedoch gleich.

  Durch diese Matrix ist die orthogonale Spiegelung an der x-Achse gegeben.

  Wenn du bei beiden Diagonaleinträgen das Vorzeichen vertauschst, erhältst du die Matrix zu der Spiegelung an der y-Achse.

  Wenn du einmal an der x-Achse und dann an der y-Achse spiegelst, hast du insgesamt eine Punktspiegelung am Koordinatenursprung durchgeführt.

  Berechne das Produkt der Matrizen

  $\begin{pmatrix} 1 &0 \\ 0& -1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} -1 &0 \\ 0&1 \end{pmatrix}$

  Lösung

  Wenn ein Punkt an dem Koordinatenursprung gespiegelt wird, ändert sich bei beiden Koordinaten das Vorzeichen.

  Sei $P(x|y)$ ein beliebiger Punkt und $P'(x'|y')=P'(-x|-y)$ dessen Bildpunkt. Dann kann die zu diesem Bildpunkt gehörige Matrix wie folgt ermittelt werden:

  $\begin{align} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -x \\ -y \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} (-1)\cdot x+0\cdot y \\ 0\cdot x+(-1)\cdot y \end{pmatrix}\\ & =\begin{pmatrix} -1 &0 \\ 0& -1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{align}$

  Mit dieser Matrix $A=\begin{pmatrix} -1 &0 \\ 0& -1 \end{pmatrix}$ wird die Punktspiegelung am Koordinatenursprung beschrieben.

• Ermittle zu jedem Punkt den an der x-Achse gespiegelten Punkt.

  Tipps

  Trage die Punkte in ein Koordinatensystem ein.

  • Zeichne von jedem Punkt eine Hilfslinie orthogonal zur x-Achse.
  • Nun kannst du die Länge der Strecke bis zur x-Achse messen.
  • Trage diese Länge auf der anderen Seite der x-Achse ab.
  • So erhältst du den Bildpunkt.

  Fällt dir etwas auf?

  • Die $x$-Koordinate bleibt erhalten und
  • in der $y$-Koordinate ändert sich das Vorzeichen.

  Beachte: Die erste (zweite) Koordinate eines Punktes ist die $x$ ($y$)-Koordinate dieses Punktes.

  Lösung

  Die orthogonale Spiegelung an der x-Achse ist eine lineare Abbildung. Diese kann auch so dargestellt werden:

  $\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 &0 \\ 0& -1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$

  Für den Punkt $G(0,5|1)$ bedeutet dies

  $\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 &0 \\ 0& -1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 0,5 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\cdot 0,5+ 0\cdot 1 \\ 0\cdot 0,5 +(-1)\cdot 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0,5 \\ -1 \end{pmatrix}$

  So können die übrigen Bildpunkte berechnet werden. Man kann sich dies auch so klarmachen: Man behält die $x$-Koordinate bei und tauscht bei der $y$-Koordinate das Vorzeichen.

  • $H(5|2)~\rightarrow~H'(5|-2)$
  • $I(4|4)~\rightarrow~I'(4|-4)$
  • $J(1|2,5)~\rightarrow~J'(1|-2,5)$

• Prüfe, welche lineare Abbildungen durch die gegebenen Matrizen beschrieben werden.

  Tipps

  Mache dir jeweils an einem Beispiel klar, wie der Bildpunkt aussieht.

  Multipliziere hierfür den Ortsvektor des Punktes mit der Matrix.

  Hier siehst du ein Beispiel für die Matrix $E$.

  Rechne die jeweiligen Koordinaten noch aus.

  Wenn du eine Nullzeile einer Matrix mit einem Vektor multiplizierst, erhältst du $0$.

  Wenn der Punkt $P(x|y)$ auf die x-Achse projiziert wird, erhält man $P'(x|0)$.

  Lösung

  Man kann sich jeweils an einem Beispiel oder auch ganz allgemein klarmachen, wie die Multiplikation mit der entsprechenden Matrix sich auswirkt:

  Die Matrix $A$

  $\begin{pmatrix} 1 &0 \\ 0&0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\cdot x+0\cdot y \\ 0\cdot x+0\cdot y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x \\ 0 \end{pmatrix}$

  Dies ist eine orthogonale Projektion auf die x-Achse.

  Die Matrix $B$ beschreibt eine orthogonale Projektion auf die y-Achse.

  Bei den beiden Matrizen $C$ und $D$ ist noch dazu - im Vergleich zu $A$ und $B$ - das Vorzeichen vertauscht:

  Die Matrix $C$ bewirkt eine orthogonale Projektion auf die x-Achse sowie Spiegelung an der y-Achse.

  Die Matrix $D$ bewirkt eine orthogonale Projektion auf die y-Achse sowie Spiegelung an der x-Achse.

  Die Matrix $E$ vertauscht die x- mit der y-Koordinate:

  $\begin{pmatrix} 0 &1 \\ 1&0 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\cdot x+1\cdot y \\ 1\cdot x + 0\cdot y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix}$