Quadratische Gleichungen – Übungen

Quadratische Gleichungen (höchster Exponent $= 2$):

• $3x^2 + 2x + 1 = 0$
• $\dfrac{1}{3}x^2 + 9x - 2 = 0$
• $2x^2 = 8x$ (umsortiert: $2x^2 - 8x = 0$)
• $(x-1)(x+2) = 0$ (ausmultipliziert: $x^2 + x - 2 = 0$)
• $3x - 1 = 2x^2$ (umsortiert: $2x^2 - 3x + 1 = 0$)

Keine quadratischen Gleichungen (höchster Exponent $\neq 2$):

• $7x^3 + x - 2 = 0$ (höchster Exponent $=3$)
• $\dfrac{2}{5}x + 4 = 0$ (höchster Exponent $=1$)
• $x^2(-24x + 6) = 0$ (ausmultipliziert:$-24x^3 + 6x^2 = 0$, höchster Exponent $=3$)

Hier ist $a=4$, $b=-12$ und $c=8$. Achte unbedingt auf die Vorzeichen. Du erhältst dann die folgenden Lösungen:

$\begin{array}{rcl} x_{1,2}&=&\dfrac{-(-12)\pm\sqrt{(-12)^{2}-4\cdot4\cdot8}}{2\cdot4}\\ \\ &=&\dfrac{12\pm\sqrt{144-128}}{8}\\ \\ &=&\dfrac{12\pm\sqrt{16}}{8}\\ \\ x_1&=&\dfrac{12+4}{8}=\dfrac{16}{8}=2\\ \\ x_2&=&\dfrac{12-4}{8}=\dfrac{8}{8}=1 \end{array}$

Hier ist $a=2$, $b=-4$ und $c=2$. Da die Diskriminante $\text{D}$ (der Term unter der Wurzel) gleich null ist, besitzt die Gleichung genau eine (ganzzahlige) Lösung:

$\begin{array}{rcl} x_{1,2}&=&\dfrac{-(-4)\pm\sqrt{(-4)^{2}-4\cdot2\cdot2}}{2\cdot2}\\ \\ &=&\dfrac{4\pm\sqrt{16-16}}{4}\\ \\ &=&\dfrac{4\pm0}{4}\\ \\ x&=&1 \end{array}$

Hier ist $a=3$, $b=2$ und $c=1$. Weil die Diskriminante $\text{D}$ (der Term unter der Wurzel) negativ ist, hat die Gleichung keine Lösung:

$\begin{array}{rcl} \text{D} &=& b^2 - 4ac \\ \\ &=& 2^2 - 4\cdot3\cdot1 \\ \\ &=& 4 - 12 \\ \\ &=& -8 \end{array}$

Weil wir die Wurzel aus einer negativen Zahl nicht ziehen können, hat die Gleichung keine Lösung.

Hier ist $a=-3$, $b=15$ und $c=-18$. Achte unbedingt auf die Vorzeichen. Du erhältst dann die folgenden Lösungen:

$\begin{array}{rcl} x_{1,2}&=&\dfrac{-15\pm\sqrt{(-15)^{2}-4\cdot(-3)\cdot(-18)}}{2\cdot(-3)}\\ \\ &=&\dfrac{-15\pm\sqrt{225-216}}{-6}\\ \\ &=&\dfrac{-15\pm\sqrt{9}}{-6}\\ \\ x_1&=&\dfrac{-15+3}{-6}=\dfrac{-12}{-6}=2\\ \\ x_2&=&\dfrac{-15-3}{-6}=\dfrac{-18}{-6}=3 \end{array}$

Hier ist $a=4$, $b=-4$ und $c=1$. Da die Diskriminante $\text{D}$ (der Term unter der Wurzel) gleich null ist, besitzt die Gleichung genau eine Lösung:

$\begin{array}{rcl} x_{1,2}&=&\dfrac{-(-4)\pm\sqrt{(-4)^{2}-4\cdot4\cdot1}}{2\cdot4}\\ \\ &=&\dfrac{4\pm\sqrt{16-16}}{8}\\ \\ &=&\dfrac{4\pm0}{8}\\ \\ x&=&\dfrac{1}{2} \end{array}$

Hier ist $a=-7$, $b=14$ und $c=21$. Achte unbedingt auf die Vorzeichen. Du erhältst dann die folgenden Lösungen:

$\begin{array}{rcl} x_{1,2}&=&\dfrac{-14\pm\sqrt{(-14)^{2}-4\cdot(-7)\cdot21}}{2\cdot(-7)}\\ \\ &=&\dfrac{-14\pm\sqrt{196+588}}{-14}\\ \\ &=&\dfrac{-14\pm\sqrt{784}}{-14}\\ \\ x_1&=&\dfrac{-14+28}{-14}=\dfrac{14}{-14}=-1\\ \\ x_2&=&\dfrac{-14-28}{-14}=\dfrac{-42}{-14}=3 \end{array}$

Hier muss die Gleichung zunächst umgeformt werden, damit $0$ auf einer Seite steht:

$$2x^2-4=2x \Leftrightarrow 2x^2-2x-4=0$$

Nun ist $a=2$, $b=-2$ und $c=-4$. Dann ergeben sich:

$\begin{array}{rcl} x_{1,2}&=&\dfrac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^{2}-4\cdot2\cdot(-4)}}{2\cdot2}\\ \\ &=&\dfrac{2\pm\sqrt{4+32}}{4}\\ \\ &=&\dfrac{2\pm\sqrt{36}}{4}\\ \\ x_1&=&\dfrac{2+6}{4}=2\\ \\ x_2&=&\dfrac{2-6}{4}=-1 \end{array}$

Hier kann man zunächst $x$ ausklammern:

$$5x^3-7x^2+2x=0 \Leftrightarrow x(5x^2-7x+2)=0$$

Für die Mitternachtsformel betrachten wir $5x^2-7x+2=0$, also $a=5$, $b=-7$ und $c=2$. Dann ergeben sich:

$\begin{array}{rcl} x_{1,2}&=&\dfrac{-(-7)\pm\sqrt{(-7)^{2}-4\cdot5\cdot2}}{2\cdot5}\\ \\ &=&\dfrac{7\pm\sqrt{49-40}}{10}\\ \\ &=&\dfrac{7\pm\sqrt{9}}{10}\\ \\ x_1&=&\dfrac{7+3}{10}=1\\ \\ x_2&=&\dfrac{7-3}{10}=\dfrac{4}{10}=\dfrac{2}{5} \end{array}$

Zusätzlich ergibt sich durch das Ausklammern noch die Lösung $x_3=0$.

Hier ist die Gleichung in Normalform $x^2-4x+4=0$ mit $p=-4$ und $q=4$. Da die Diskriminante $\text{D}$ (der Term unter der Wurzel) null ist, besitzt die Gleichung genau eine ganzzahlige Lösung:

$\begin{array}{rcl} x_{1,2}&=&-\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\Bigl(\dfrac{p}{2}\Bigr)^2 - q}\\[1em] &=&\dfrac{4}{2}\pm\sqrt{\dfrac{16}{4}-4}\\[1em] &=&2\pm\sqrt{4-4}\\[1em] &=&2\pm0=2 \end{array}$

Einzige Lösung: $x=2$.

Hier ist die Gleichung in Normalform $x^2-5x+6=0$ mit $p=-5$ und $q=6$. Dann ergeben sich:

$\begin{array}{rcl} x_{1,2}&=&-\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\Bigl(\dfrac{p}{2}\Bigr)^2 - q}\\[1em] &=&\dfrac{5}{2}\pm\sqrt{\dfrac{25}{4}-6}\\[1em] &=&\dfrac{5}{2}\pm\sqrt{\dfrac{25-24}{4}}\\[1em] &=&\dfrac{5}{2}\pm\dfrac{1}{2}\\[1em] x_1&=&\dfrac{5+1}{2}=3\\[1em] x_2&=&\dfrac{5-1}{2}=2 \end{array}$

Hier ist die Gleichung in Normalform $x^2+2x+5=0$ mit $p=2$ und $q=5$. Wir prüfen die Diskriminante $\text{D}$ (den Term unter der Wurzel):

$\begin{array}{rcl} \text{D} &=& \Bigl(\dfrac{p}{2}\Bigr)^2 - q = 1 - 5 = -4 < 0 \end{array}$

Da $\text{D}<0$, hat die Gleichung keine Lösung.

Hier ist die Gleichung in Normalform $x^2 - x + \tfrac{1}{4}=0$ mit $p=-1$ und $q=\tfrac{1}{4}$. Da die Diskriminante $\text{D}$ (der Term unter der Wurzel) gleich null ist, besitzt die Gleichung genau eine Lösung:

$\begin{array}{rcl} x_{1,2}&=&-\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\Bigl(\dfrac{p}{2}\Bigr)^2 - q}\\[1em] &=&\dfrac{1}{2}\pm\sqrt{\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}}\\[1em] &=&\dfrac{1}{2}\pm0\\[1em] &=&\dfrac{1}{2} \end{array}$

Einzige Lösung: $x=\tfrac{1}{2}$.

Hier ist die Gleichung in Normalform $x^2+x-2=0$ mit $p=1$ und $q=-2$. Dann erhält man:

$\begin{array}{rcl} x_{1,2}&=&-\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\Bigl(\dfrac{p}{2}\Bigr)^2 - q}\\[1em] &=&-\dfrac{1}{2}\pm\sqrt{\dfrac{1}{4}-(-2)}\\[1em] &=&-\dfrac{1}{2}\pm\sqrt{\dfrac{1+8}{4}}\\[1em] &=&-\dfrac{1}{2}\pm\dfrac{3}{2}\\[1em] x_1&=&-\dfrac{1-3}{2}=1\\[1em] x_2&=&-\dfrac{1+3}{2}=-2 \end{array}$

Hier muss die Gleichung erst in Normalform gebracht werden (Teilen durch $2$):

$2x^2+4x-6=0 \Leftrightarrow x^2+2x-3=0$

Nun ist $p=2$ und $q=-3$. Dann ergeben sich:

$\begin{array}{rcl} x_{1,2}&=&-\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\Bigl(\dfrac{p}{2}\Bigr)^2 - q}\\[1em] &=&-1\pm\sqrt{1-(-3)}\\[1em] &=&-1\pm\sqrt{4}\\[1em] x_1&=&-1+2=1\\[1em] x_2&=&-1-2=-3 \end{array}$

Hier muss die Gleichung umgestellt werden, damit $0$ auf einer Seite steht:

$x^2+6=5x\ \Leftrightarrow\ x^2-5x+6=0$

Nun ist $p=-5$ und $q=6$. Mit der pq‑Formel erhält man:

$\begin{array}{rcl} x_{1,2}&=&-\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\Bigl(\dfrac{p}{2}\Bigr)^2 - q}\\[1em] &=&\dfrac{5}{2}\pm\sqrt{\dfrac{25}{4}-6}\\[1em] &=&\dfrac{5}{2}\pm\dfrac{1}{2}\\[1em] x_1&=&3\\[1em] x_2&=&2 \end{array}$

Hier kann man zunächst $x$ ausklammern:

$x^3 - x^2 -6x=0\ \Leftrightarrow\ x(x^2 - x -6)=0$

Für die pq‑Formel betrachten wir $x^2 - x -6=0$, also $p=-1$ und $q=-6$. Dann ergibt sich:

$\begin{array}{rcl} x_{1,2}&=&-\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\Bigl(\dfrac{p}{2}\Bigr)^2 - q}\\[1em] &=&\dfrac{1}{2}\pm\sqrt{\dfrac{1}{4}-(-6)}\\[1em] &=&\dfrac{1}{2}\pm\sqrt{\dfrac{25}{4}}\\[1em] x_1&=&\dfrac{1+5}{2}=3\\[1em] x_2&=&\dfrac{1-5}{2}=-2 \end{array}$

Zusätzlich ergibt sich durch das Ausklammern noch die Lösung $x_3=0$.

Diese Aufgabe kann man einfach durch Wurzelziehen lösen:

$\begin{array}{rcl} 4x^2 - 16 = 0 &\;\Longrightarrow\;& 4x^2 = 16\\ \\ &\Longrightarrow& x^2 = 4\\ \\ &\Longrightarrow& x_1 = 2,\quad x_2 = -2 \end{array}$

Auch hier zieht man die Wurzel:

$\begin{array}{rcl} 9x^2 - 81 = 0 &\;\Longrightarrow\;& 9x^2 = 81\\ \\ &\Longrightarrow& x^2 = 9\\ \\ &\Longrightarrow& x_1 = 3,\quad x_2 = -3 \end{array}$

Gleichungen in dieser Form sind ebenfalls durch Wurzelziehen schnell lösbar:

$\begin{array}{rcll} (x-2)^2 & = & 16 & \vert \sqrt{~} \\ \\ x - 2 & = & \pm 4\\ \\ \\ x_1 & = & 2 + 4 & = 6\\ \\ \quad x_2 & = & 2 - 4 & = -2 \end{array}$

Wenn eine quadratische Gleichung in faktorisierter Form vorliegt, wie diese hier, können die Lösungen direkt abgelesen werden:

$(x-3)=0 \Rightarrow x_1=3$

$(x+5)=0 \Rightarrow x_2=-5$

Hier ist $c=0$, also klammert man $x$ aus:

$6x^2 - 3x = x(6x - 3) = 0$

$\begin{array}{rcl} x_1 = 0 \quad\text{und}\quad 6x - 3 = 0 &\Longrightarrow& x_2 = \dfrac{3}{6} = \dfrac12 \end{array}$

Hier wenden wir die quadratische Ergänzung an:

$x^2 - 6x + 5 = \bigl(x^2 - 6x + 9\bigr) - 9 + 5 = (x - 3)^2 - 4 = 0$

$~$

$\begin{array}{rrcl} \Longrightarrow & (x - 3)^2 = 4 \\ \\ \Longrightarrow & x - 3 = \pm 2 \\ \\ \\ \Longrightarrow & x_1 = 3 + 2 &=& 5 \\ \\ \Longrightarrow & x_2 = 3 - 2 &=& 1 \end{array}$