Scheitelpunkt mithilfe der Nullstellen berechnen

Die Bedeutung des Scheitelpunktes für eine quadratische Funktion

Jede Parabel hat einen Scheitelpunkt und dieser ist der höchste oder tiefste Punkt des Funktionsgraphen. Daher versucht man häufig die Koordinaten des Scheitelpunkts zu finden. Falls eine quadratische Funktion in der Scheitelpunktform gegeben ist, kann man den Scheitelpunkt direkt ablesen: Die Funktion ${f(x)=(x{-}5)^{2}+3}$ hat z. B. den Scheitelpunkt $S(5\vert 3)$. Wenn die Parabel in der Normalform bzw. der allgemeinen Form gegeben ist (z. B. ${f(x)=2x^{2}+12x+18}$), muss man zuerst einige Rechenschritte durchführen, um den Scheitelpunkt zu finden.

Hier lernst du ein Verfahren kennen, mit dem du den Scheitelpunkt bestimmen kannst, ohne die Scheitelpunktform der quadratischen Funktion zu verwenden. Dabei wirst du auch wiederholen, wie man Nullstellen von quadratischen Funktionen berechnet und dein Wissen zur $pq$-Formel auffrischen.

Der Zusammenhang zwischen Nullstellen und Scheitelpunkt

Um das Rechenverfahren anwenden zu können, müssen wir zuerst den Zusammenhang zwischen den Nullstellen und dem Scheitelpunkt bei quadratischen Funktionen verstehen. Dazu schauen wir uns die Abbildung an und erkennen, dass es drei verschiedene Fälle gibt.

• Fall 1 (die roten Graphen): Wenn es genau eine Nullstelle gibt, dann liegt der Scheitelpunkt auf der $x$-Achse.
• Fall 2 (die blauen Graphen): Wenn es zwei Nullstellen gibt, dann liegt der Scheitelpunkt unterhalb der $x$-Achse bei einer nach oben geöffneten Parabel und oberhalb der $x$-Achse bei einer nach unten geöffneten Parabel.
• Fall 3 (die grünen Graphen): Wenn es keine Nullstellen gibt, dann liegt der Scheitelpunkt oberhalb der $x$-Achse bei einer nach oben geöffneten Parabel und unterhalb der $x$-Achse bei einer nach unten geöffneten Parabel.

In der Regel hast du nur einen Funktionsterm und keinen Graphen gegeben und weißt zu Beginn noch nicht, welcher Fall zutrifft. Das ist kein Problem: Du beginnst in jedem Fall damit, die Funktionsterm gleich null zu setzen und die Nullstellen zu berechnen. Danach bestimmst du, welcher Fall eintritt.

Fall 1: Eine Nullstelle – Scheitelpunkt auf der Achse

Beispiel a

Gegeben ist die Funktion $f(x)=2x^{2}+12x+18$.

Setze den Funktionsterm gleich null und bringe die Gleichung in Normalform (Division durch den Koeffizienten vor $x^{2}$):

$2x^{2}+12x+18=0 \quad \vert :2$

$x^{2}+6x+9=0$

Wende anschließend die $pq$-Formel an:

$x_{1,2}=-\frac{6}{2}\pm \sqrt{\left (\frac{6}{2}\right )^{2}-9}=-3 \pm \sqrt{9-9}=-3 \pm \sqrt{0}=-3 \pm 0$

$\implies x=-3$

Da die Diskriminante (der Term unter der Wurzel) gleich null ist, haben wir nur eine Nullstelle bei $x=-3$.

Wenn du eine Nullstelle erhältst, bedeutet das, dass der Scheitelpunkt auf der $x$-Achse liegt und als $x$-Koordinate den Wert der Nullstelle hat. Der Scheitelpunkt hat also die $x$-Koordinate $x=-3$ und die $y$-Koordinate $y=0$. Zur Bestimmung der $y$-Koordinate kannst du als Probe $x=-3$ in den Funktionsterm einsetzen: ${f(-3)=2\cdot(-3)^{2}+12\cdot (-3)+18=0}$. Der Scheitelpunkt lautet ${S(-3\vert 0)}$.

Beispiel b

Gegeben ist die Funktion $f(x)=-x^{2}+20x-100$.

Wir setzen $f(x)=0$, formen die Gleichung um und wenden die $pq$-Formel an:

$-x^{2}+20x-100=0 \quad \vert \cdot (-1)$

$x^{2}-20x+100=0 $

$x_{1,2}=-\frac{-20}{2}\pm \sqrt{(\frac{-20}{2})^{2}-100}=10\pm \sqrt{10^{2}-100}=10\pm 0$

$\implies x=10$

Es gibt eine Nullstelle bei $x=10$ und der Scheitelpunkt liegt bei ${S(10\vert 0)}$.

Fall 2: Zwei Nullstellen – Scheitelpunkt liegt zwischen den Nullstellen

Beispiel a

Gegeben ist die Funktion $f(x)=x^{2}-14x+45$.

Setze den Funktionsterm gleich null und wende die $pq$-Formel an:

$x^{2}-14x+45=0$

$x_{1,2}=-\frac{-14}{2}\pm \sqrt{(\frac{-14}{2})^{2}-45}=+7 \pm \sqrt{(-7)^{2}-45}=+7 \pm \sqrt{4}=+7 \pm 2 $

$\implies x_1=9 \text{ und } x_2=5$

Wenn du zwei Nullstellen erhältst und die Parabel nach oben geöffnet ist, bedeutet das, dass der Scheitelpunkt unterhalb der $x$-Achse liegt. Mit Hilfe der Nullstellen können wir die $x$-Koordinate des Scheitelpunktes herausfinden, wenn wir uns daran erinnern, dass jede Parabel symmetrisch zu einer senkrechten Achse durch den Scheitelpunkt ist. Somit muss die $x$-Koordinate in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen liegen. Wir können ihn mit der Formel für den Mittelwert bzw. arithmetischen Mittel berechnen:

$x_S=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{5+9}{2}=\frac{14}{2}=7$.

Die $7$ liegt genau in der Mitte zwischen $5$ und $9$, das ist die $x$-Koordinate des Scheitelpunkts.

Die $y$-Koordinate erhalten wir durch Einsetzen in den Funktionsterm: ${f(7)=7^{2}-14\cdot 7+45=-4}$.

Der Scheitelpunkt liegt bei ${S(7\vert -4)}$.

Beispiel b

Gegeben ist die Funktion ${f(x)=-\frac {1}{4}x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}}$.

Wir setzen $f(x)=0$, formen die Gleichung um und wenden die $pq$-Formel an:

$-\frac {1}{4}x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{3}{4} =0 \quad \vert \cdot (-4)$

$x^{2}-2x-3=0 $

$x_{1,2}=-\frac{-2}{2}\pm \sqrt{\left (\frac{-2}{2}\right )^{2}-(-3)}=1\pm \sqrt{1+2}=1\pm 2$

$\implies x_1=3 \text{ und } x_2=-1$

Es gibt zwei Nullstellen und die $x$-Koordinate des Scheitelpunkts liegt bei $x=\frac{3+(-1)}{2}=\frac{2}{2}=1$.

Berechnung der $y$-Koordinate: ${f(1)=-\frac {1}{4}\cdot 1^{2}+\frac{1}{2}\cdot 1+\frac{3}{4}=1}$.

Der Scheitelpunkt liegt bei ${S(1\vert 1)}$.

Fall 3: Keine Nullstellen – Konstruktion einer Hilfsgeraden

Beispiel a

Gegeben ist die Funktion $f(x)=x^{2}-4x+7$.

Wir setzen $f(x)=0$, formen die Gleichung um und wenden die $pq$-Formel an:

$x^{2}-4x+7=0$

$x_{1,2}=-\frac{-4}{2}\pm \sqrt{(\frac{-4}{2})^{2}-7}=2\pm \sqrt{-3}$

Da die Diskriminante negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung. Es handelt sich um eine nach oben geöffnete Parabel, die keine Nullstellen hat. Der Scheitelpunkt liegt oberhalb der $x$-Achse. Um trotzdem Schnittstellen zu bekommen, schneiden wir die Parabel mit einer Geraden, die parallel zur $x$-Achse verläuft. Für diese waagerechte Hilfsgerade verwenden wir immer das Absolutglied (die konstante Zahl ohne $x$). Für den allgemeinen Funktionsterm ${f(x)=ax^2+bx+c}$ lautet die Hilfsgerade $y=c$. In diesem Fall schneiden wir also die Parabel mit der Geraden $y=7$. In der Abbildung siehst du die Parabel und Hilfsgerade im Koordinatensystem.

Um die Schnittstellen rechnerisch zu bestimmen, setzen wir beide Funktionsterme gleich und formen die Gleichung in Normalform (auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens muss $0$ stehen):

$x^{2}-4x+7=7 \quad \vert -7$

$x^{2}-4x= 0$

Jetzt kann man ausklammern oder die $pq$-Formel anwenden:

$x_{1,2}=-\frac{-4}{2}\pm \sqrt{(\frac{-4}{2})^{2}-0}=2\pm \sqrt{4}=2\pm 2$

$\implies x_1=4 \text{ und } x_2=0$

Wie in Fall 2 liegt jetzt die $x$-Koordinate des Scheitelpunkts zwischen den beiden Schnittstellen und wir berechnen sie mit dem arithmetischen Mittel:

$x_S=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{4+0}{2}=\frac{4}{2}=2$.

Die $y$-Koordinate des Scheitelpunkts bestimmen wir durch Einsetzen:

$f(2)=2^{2}-4\cdot 2+7=3$.

Der Scheitelpunkt liegt bei $S(2\vert 3)$.

Beispiel b

Gegeben ist die Funktion $f(x)=-\frac {1}{2}x^{2}-4x-9$.

Berechnung der Nullstellen:

$-\frac {1}{2}x^{2}-4x-9=0 \quad \vert \cdot (-2)$

$x^{2}+8x+18=0$

$x_{1,2}=-\frac{8}{2}\pm \sqrt{(\frac{8}{2})^{2}-18}=-4\pm \sqrt{-4}$

$\implies\text{ keine Lösung}$

Wir berechnen die Schnittstellen mit der Hilfsgeraden $y=-9$, indem wir die Funktionsterme gleichsetzen, die Gleichung in Normalform bringen und dann die $pq$-Formel anwenden:

$-\frac {1}{2}x^{2}-4x-9=-9 \quad \vert+9$

$-\frac {1}{2}x^{2}-4x=0 \quad \vert \cdot (-2)$

$x^{2}+8x=0$

$x_{1,2}=-\frac{8}{2}\pm \sqrt{(\frac{8}{2})^{2}}=-4\pm \sqrt{16}=-4\pm 4$

$\implies x_1=0 \text{ und } x_2=-8$

Berechnung der $x$-Koordinate des Scheitelpunkts mit dem arithmetischen Mittel:

$x_S=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{0+(-8)}{2}=\frac{-8}{2}=-4$.

Berechnung der $y$-Koordinate des Scheitelpunkts durch Einsetzen:

$f(-4)=-\frac {1}{2}\cdot(-4)^{2}-4x\cdot (-4)-9=-1$.

Der Scheitelpunkt liegt bei $S(-4\vert -1)$.

Scheitelpunkt mithilfe der Nullstellen berechnen – Zusammenfassung

Schaue dir die drei Fälle und unsere Beispielaufgaben in der Tabelle an und vergleiche auch mit der Abbildung zur Fallunterscheidung.