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Parallelschaltung

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Die Autor*innen
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Sandra Haufe
Parallelschaltung
lernst du in der Sekundarstufe 1. Klasse - 2. Klasse

Grundlagen zum Thema Parallelschaltung

Inhalt

Die Parallelschaltung

In der Elektrotechnik gibt es verschiedene Möglichkeiten, Bauteile miteinander zu verschalten. Eine Möglichkeit ist die Parallelschaltung.

Wir wollen uns im Folgenden damit beschäftigen, wie sich Strom, Spannung und Widerstand in einer Parallelschaltung verhalten.

Die Parallelschaltung – Strom

Wir betrachten eine Parallelschaltung von zwei Widerständen, in der wir an vier Punkten den Strom messen: jeweils vor und hinter der Verzweigung und in jedem Ast der Verzweigung.

Parallelschaltung Physik: Strom

Um zu überlegen, wie sich der Strom verhält, rufen wir uns zuerst in Erinnerung, was Strom ist. Strom ist definiert als die Ladungsmenge $Q$ die pro Zeit $t$ durch einen Leiter fließt, also:

$I = \frac{Q}{t}$

Die Ladung wird in Form von Ladungsträgern transportiert. Weil die gleiche Menge an Ladungsträgern, die den Minuspol der Spannungsquelle verlässt, auch den Pluspol erreichen muss, müssen $I_0$ und $I_3$ gleich groß sein. Da in den Verzweigungen keine neuen Ladungsträger erzeugt werden können, aber auch keine Ladungsträger vernichtet werden, müssen $I_1$ und $I_2$ jeweils kleiner als $I_0$ sein. In Summe müssen sie aber wieder $I_0$ ergeben. Wir können deswegen aufschreiben:

$I_0 = I_3 \text{ und } I_1+I_2=I_0$

Im Gegensatz zur Reihenschaltung ergibt sich in der Parallelschaltung der Gesamtstrom also aus der Summe der Teilströme.

Die Ladungsträger gehen außerdem bevorzugt den Weg des geringsten Widerstands. Da, wo der Widerstand größer ist, fließt weniger Strom und umgekehrt. Daher gilt für die Parallelschaltung die folgende Formel für die Beziehung zwischen den Teilströmen:

$\frac{I_1}{I_2} = \frac{R_2}{R_1}$

Die Parallelschaltung – Spannung

Wie verhält es sich mit der Spannung in einer Parallelschaltung? Wir bauen dazu Spannungsmessgeräte in unsere Schaltung:

Parallelschaltung Physik: Spannung

Wir können uns anschaulich überlegen, wie sich die Spannung verhalten muss, wenn wir an die hydraulische Analogie denken. Dabei stellen wir uns einen Stromkreis als System aus Rohren vor, durch die Wasser fließt. Die Spannung kann man sich in diesem Bild als den Höhenunterschied zwischen zwei Enden vorstellen. Wenn also der Punkt, an dem sich die Kabel aufteilen, auf der Höhe $h_1$ befindet, und der Punkt, an dem sie wieder zusammenlaufen, auf der Höhe $h_2$, muss immer die Differenz $h_1 - h_2$ überwunden werden. Das ist auch unabhängig davon, ob die Rohre schmaler oder größer sind. Für die Spannung, die wir an den Voltmetern in unserem Schaltplan messen, bedeutet das:

$U_1 = U_2 = U_0$

Die einzige Größe, die uns jetzt noch fehlt, ist der Widerstand.

Die Parallelschaltung – Widerstand

Wir wollen herausfinden, wie sich in einer Parallelschaltung der Gesamtwiderstand verhält. Dazu rufen wir uns zunächst das ohmsche Gesetz in Erinnerung, das die Größen Strom, Spannung und Widerstand miteinander verbindet:

$U = R \cdot I \rightarrow I = \frac{U}{R}$

Wenn die Widerstände $R_1$ und $R_2$ ohmsch sind, gilt auch für beide Teilströme das ohmsche Gesetz:

$I_1 = \frac{U_0}{R_1}$

$I_2 = \frac{U_0}{R_2}$

Statt $U_1$ und $U_2$ haben wir $U_0$ geschrieben, denn wir wissen bereits, dass die Spannung in allen Zweigen gleich groß ist. Wir setzen diese Beziehungen in die Gleichung für den Gesamtstrom ein:

$I_0 = I_1 + I_2 = \frac{U_0}{R_1} + \frac{U_0}{R_2}$

Wir teilen diese Gleichung auf beiden Seiten durch $U_0$:

$I_0 = \frac{U_0}{R_1} + \frac{U_0}{R_2} | :U_0$

$\Rightarrow \frac{I_0}{U_0} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$

Das ohmsche Gesetz gilt natürlich auch für den gesamten Stromkreis:

$U_0 = I_0 \cdot R_0 \rightarrow \frac{I_0}{U_0} = \frac{1}{R_0}$

Durch den Vergleich beider Gleichungen erhalten wir eine Formel für den Gesamtwiderstand:

$ \frac{1}{R_0} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$

Die Kehrwerte der Einzelwiderstände addieren sich also zum Kehrwert des Gesamtwiderstands. In der Parallelschaltung ergibt sich der Gesamtwiderstand also folgendermaßen:

$R_0 = \frac{1}{\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}}$

Dieses Video

In diesem Video bekommst du einen Überblick über die Parallelschaltung. Die lernst, wie man in einer Parallelschaltung Spannung, Strom und Widerstand berechnen kann und wie diese Größen zusammenhängen. Wie immer findest du neben diesem Video auch zum Thema Parallelschaltungen Übungen und Beispiele.

Transkript Parallelschaltung

Hallo! In diesem Video beschäftigen wir uns mit der Parallelschaltung. Für eine Parallelschaltung benötigt man zunächst eine Spannungsquelle, an der zum Beispiel Wechselspannung anliegt, und zwei Widerstände, die so nebeneinandergeschaltet sind, dass sich der Strom an einer Stelle entscheiden muss, ob er jetzt links oder rechts lang fließt. Und dann wären wir schon beim ersten Thema: dem Strom. Um etwas über den Strom aussagen zu können, bauen wir nun 4 Messgeräte ein. Einmal oberhalb und unterhalb der Verzweigung, I0 und I3 nennen wir das, und an beide der verzweigten Stellen, also I1 und I2. Eigentlich müsste natürlich I1 auch beim Widerstand R1 und I2 beim Widerstand R2 sein. Strom, das sind ja Ladungen, also Elektronen. Und wie reagieren jetzt solche Teilchen, wenn sie an eine Verzweigung treffen? Sie teilen sich auf. Einige gehen nach links und andere gehen nach rechts. Das heißt, in beiden Zweigen fließt eine Ladung Q. Und was bedeutet das jetzt für die Stromstärke in den jeweiligen Zweigen? Das heißt, der Strom teilt sich auf. Und man kann noch eine weitere Aussage machen - die ist eigentlich logisch, wenn man daran denkt, dass auch Menschen immer den Weg des geringsten Widerstands gehen: Auf dem Abzweig, wo sich weniger Widerstand befindet, fließt mehr Strom. Jetzt wollen wir zuerst die erste Aussage mathematisieren. Über I0 und I3 wissen wir ja, dass die beiden gleich groß sein müssen, denn dort wurde der Strom nicht verzweigt. Aber I0 und I3 müssen das gleiche sein wie I1+I2 - dort, wo sich der Strom verzweigt hat. Das ist also unsere erste Formel für den Strom in der Parallelschaltung. Die zweite Aussage, weniger Widerstand bedeutet mehr Strom, kann man so mathematisieren: Die Ströme verhalten sich anders als die Widerstände. Setzen wir das also ins Verhältnis, dann kann man schreiben: I1/I2=R2/R1. Das ist die zweite Formel für den Strom. Kommen wir nun zur Spannung in der Parallelschaltung. Das wollen wir mal wieder mit dem Wassermodell vergleichen. Wir haben also hier Wasserrohre und auf der linken Seite wird das Wasser hochgepumpt von einer Pumpe und auf der rechten Seite fließt es durch zwei Rohre - das soll unsere Parallelschaltung dann darstellen - wieder hinunter. Und die Spannung wird ja im Wassermodell immer mit dem Höhenunterschied verglichen. Gucken wir uns aber hier die Höhenunterschiede an, so merken wir: In beiden Rohren ist der gleiche Höhenunterschied. Das lässt sich auch auf die Spannung in der Parallelschaltung übertragen. Erstmal bauen wir wieder ein paar Spannungsmessgeräte ein, also einmal an den Verzweigungsstellen U1 und U2 und an der Spannungsquelle U0. Messen wir nun die Spannung an den 3 Spannungsmessgeräten, stellen wir fest, dass alle 3 das gleiche anzeigen. Es gilt also: U1=U2=U0. Ihr erinnert euch vielleicht: In der Reihenschaltung war der Strom überall gleich; und jetzt, in der Parallelschaltung, ist die Spannung überall gleich. Außerdem war es ja so, dass sich die Teilspannungen in der Reihenschaltung addiert haben zur Gesamtspannung und jetzt, bei der Parallelschaltung, addieren sich die Teilströme zum Gesamtstrom. Es ist also genau vertauscht. Jetzt fehlt aber noch der Widerstand und den wollen wir jetzt einmal nicht durch Überlegungen herausfinden, sondern durch richtige Rechnungen. Beginnen wir also mit dem Strom. Wir wissen ja jetzt über den Strom in der Parallelschaltung, dass gilt: IGesamt=I1+I2. Auch an jedem der Teilwiderstände gilt das Ohm'sche Gesetz, das wir nach I auflösen und dann I1 und I2 ersetzen können. Dann erhalten wir: IGesamt=U0/R1+U0/R2. Wir sehen, in beiden Termen steckt im Zähler U0. Das können wir dann ausklammern. Dann bleibt übrig: IGesamt=U0×(1/R1+1/R2). Wenn wir jetzt noch die Gleichung durch U0 teilen, dann kommt heraus: IGesamt/U0=1/R1+1/R2. Das ist jetzt erst einmal die erste Gleichung, die wir uns merken werden. Jetzt stellen wir noch eine zweite Gleichung auf, und zwar ausgehend vom Ohm'schen Gesetz. Denn allgemein für die Parallelschaltung gilt ja: U0=RGesamt×IGesamt, wobei RGesamt der Gesamt- oder Ersatzwiderstand ist. Wenn wir diese Gleichung durch RGesamt und durch U0 teilen, erhalten wir: 1/RGesamt=IGesamt/U0. Das ist erst einmal unsere zweite Gleichung. Vergleichen wir nun diese beiden Gleichungen, stellen wir fest, dass IGesamt/U0 bei beiden Gleichungen auf einer Seite steht. Das heißt, wir können die beiden gleichsetzen. Das ergibt dann: Von der oberen Gleichung haben wir 1/RGesamt und das muss das gleiche sein wie 1/R1+1/R2. Diese Gleichung, die jetzt nicht so ganz leicht aussieht, ist die gültige Gleichung für den Widerstand in der Parallelschaltung. Um also den Gesamtwiderstand zu berechnen, muss man am Ende immer noch den Kehrwert nehmen. Das war es erst einmal zu den drei Größen Strom, Spannung und Widerstand. Zum Schluss möchte ich mit Euch noch eine Beispielaufgabe rechnen. In der Aufgabe haben wir eine Parallelschaltung gegeben, so wie die hier links, wir kennen aber nur 3 Werte. Einmal U0, das ist nämlich 12 V groß. Dann kennen wir den Wert für R1, also den Widerstand, der ist 100 Ω groß, und R2 kennen wir auch, der ist 200 Ω groß. Alle anderen Werte kennen wir nicht, müssen wir also herausfinden, also zum Beispiel I0 und U0. Jetzt vertausche ich auch einmal die Ströme, so wie es sich gehört. I1, I2 und U2 müssen wir auch herausfinden. Gut, beginnen wir einmal mit den Spannungen, denn in der Parallelschaltung ist das ziemlich leicht, da sind die ja alle gleich. Deswegen gilt U1=12V und auch U2=12V. Zum Schluss möchte ich mit Euch noch eine Beispielaufgabe rechnen, und zwar mithilfe des ohmschen Gesetzes:  Dann teilen wir durch R1 und erhalten I1=U0/R1, wir haben also nach I1 aufgelöst. Dann können wir einsetzen: I1=12V/100Ω=0,12A=120mA. I2 können wir jetzt, da wir jetzt ja schon einige Werte ausgerechnet haben, mithilfe dieses Verhältnisses ausrechnen. Dann gilt: I2/I1=R1/R2. Wenn wir das nach I2 auflösen, erhalten wir: R1/R2I1. Dann setzen wir ein: I2=100Ω/200Ω0,12A=0,06A=60mA.

Bei den Strömen fehlt jetzt noch der Gesamtstrom und der ergibt sich ja aus der Addition der Teilströme. Also I0=120mA+60mA=180mA. Jetzt haben wir schon die Spannungen und alle Ströme auch, fehlt jetzt noch der Gesamtwiderstand oder der Ersatzwiderstand R0. Und da haben wir ja gerade die Formel gelernt: 1/R0=1/R1+1/R2. Dann können wir die bekannten Widerstände einsetzen, also: 1/R0=1/100Ω+1/200Ω. Um die beiden Brüche zu addieren, müssen wir sie auf den gleichen Nenner bringen, also den ersten erweitern mit 2, dann erhalten wir 2/200Ω. Und wenn wir die nun addieren, erhalten wir: 1/R0=3/200Ω. Jetzt müssen wir noch den Kehrwert bilden, das heißt: R0=200Ω/3=66,7Ω. Jetzt seht ihr auch, dass der Gesamt- oder Ersatzwiderstand immer kleiner ist als die Einzelwiderstände. Gut, jetzt haben wir alles ausgerechnet: den Strom, die Spannung und den Widerstand. Jetzt sind wir auch am Ende dieses Videos. Ich hoffe, es hat Euch gefallen, danke fürs Zuschauen und bis zum nächsten Mal! Tschüss!

33 Kommentare

33 Kommentare
  1. Danke, das Video hat mir sehr geholfen

    Von Rieke, vor etwa einem Monat
  2. Hallo M Attal,
    in diesem Schaltbild findest Du eine Kombination aus Reihenschaltung und Parallelschaltung. Sind Widerstände in Reihe geschaltet, dann laufen die Ladungen komplett durch den Widerstand und die Stromstärke I ist in all diesen Widerständen gleich. Sind sie aber parallel geschaltet, teilen sich die Ladungen auf. Ihre Gesamtmenge hat sich aber nicht verändert. Die Summe aller Stromstärken ergibt daher wieder die Gesamtstromstärke.
    In diesem Beispiel sind I0 und I3 in Reihe geschaltet. Durch sie fließen also alle Ladungen und die Stromstärke ist in beiden identisch – es handelt sich um die Gesamtstromstärke. I1 und I2 sind parallel zueinander geschaltet. Die Ladungen teilen sich auf beide Widerstände auf und die Summe aus I1 und I2 entspricht dem Gesamtstromstärke.
    Damit ergibt sich: I0=I3=I1+I2
    Ich hoffe, ich habe dir weiterhelfen können. Bei weiteren Fragen kannst du dich gerne an den Fachchat wenden, der Mo-Fr von 17-19 Uhr für dich da ist.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Albrecht K., vor etwa einem Jahr
  3. Ich check nicht warum i0 und i3=l1+l2 sind lol

    Von M Attal, vor etwa einem Jahr
  4. supidupi rambam

    Von Tw0 1, vor fast 2 Jahren
  5. ich habe das im Unterricht kooommpleeet anders gelernt...

    Von David M., vor etwa 2 Jahren
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Parallelschaltung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Parallelschaltung kannst du es wiederholen und üben.
  • Finde die Formeln, die für eine Parallelschaltung gelten.

    Tipps

    Welche der Größen ist überall in der Parallelschaltung analog zum Wassermodell gleich groß?

    Welche Größe teilt sich aufgrund der Verzweigung im Stromkreis auf? Deren Teilgrößen muss du addieren.

    Lösung

    In einer Parallelschaltung von zwei Widerständen ist die Spannung überall gleich groß. Jeder Widerstand liegt quasi für sich allein direkt an der Spannungsquelle an. Darum fällt an jedem Widerstand die gesamte Spannung ab, die an der Spannungsquelle anliegt. Das kann man auch mit dem Wassermodell der Spannung vergleichen: die beiden Rohre im Verzweigungsbereich sind gleich hoch.

    Die Gesamtstromstärke hingegen teilt sich auf die Widerstände auf: je größer ein Widerstand, desto kleiner die Stromstärke in dieser Verzweigung. Die Gesamtstromstärke wird demnach durch Addition beider Teilstromstärken der Parallelschaltung ermittelt.

    Der Kehrwert des Gesamtwiderstandes ergibt sich aus der Summe der Kehrwerte der beiden Widerstände. Er ist also immer kleiner als jeder der beiden Teilwiderstände. Diese etwas kompliziertere Gesetzmäßigkeit kann mathematisch aus dem Ohmschen Gesetz hergeleitet werden.

  • Ermittle Gesamtstromstärke und Gesamtwiderstand für die beschriebene Parallelschaltung.

    Tipps

    Die Spannung U ist überall konstant. Du brauchst sie nicht für die Rechnungen.

    Ermittle zuerst den Kehrwert des Gesamtwiderstandes $ \frac {1} {R_{ges}}$.

    Das Zwischenergebnis lautet $ \frac {1} {R_{ges}}=\frac {1} {40~\Omega}$

    Lösung

    Die Gesamtstromstärke erhältst du durch Addition der beiden Teilstromstärken: $ I_{ges}=25~mA+100~mA=125~mA$.

    Der Gesamtwiderstand wird aus den beiden Widerständen wie folgt berechnet: $ \frac {1} {R_{ges}}=\frac {1} {200~\Omega}+\frac {1} {50~\Omega}=\frac {1} {200~\Omega}+\frac {4} {200~\Omega}=\frac {5} {200~\Omega}=\frac {1} {40~\Omega} $. Also gilt für den Gesamtwiderstand aus dem Kehrwert des Bruches: $ R_{ges}=40~\Omega $.

  • Ermittle für jedes Beispiel die am 1. Widerstand abfallende Teilstromstärke.

    Tipps

    Verwende zur Lösung die Verhältnisgleichung zwischen Teilstromstärken und Teilwiderständen.

    Auch hier sind die Zahlenbeispiele recht einfach. Mit dem Verhältnis argumentiert es sich aber etwas schwieriger als bei der Reihenschaltung!

    Wenn dir das Argumentieren über das Verhältnis zu umständlich ist, kannst du auch die Verhältnisgleichung nach der gesuchten Größe umstellen und die Werte einsetzen.

    Lösung

    Hier siehst du noch einmal die Verhältnisgleichung, die für die Teilstromstärken und Teilwiderstände bei einer Parallelschaltung gilt.

    Man kann über das Verhältnis der Größen argumentieren. Zum Beispiel kann man sagen: Widerstand 2 ist fünfmal so groß wie Widerstand 1, daher ist die Teilstromstärke 2 nur ein Fünftel so groß wie die Teilstromstärke 1. Als kleine Eselsbrücke kannst du daran denken, dass durch den kleineren Widerstand der größere Strom fließt, weil der Strom den Weg des geringsten Widerstandes nimmt.

    Drei der Größen sind jeweils gegeben, dass heißt, die fehlende Teilstromstärke kann durch Umformen und Einsetzen in die Verhältnisgleichung berechnet werden, z.B. so: $I_1=I_2\cdot \frac {R_2} {R_1}=25~mA\cdot \frac {250~\Omega} {50~\Omega}=25~mA\cdot 5=125~mA$.

  • Berechne die fehlenden Werte für die gezeigte Parallelschaltung.

    Tipps

    $ I_1 $ und $ R_2 $ findest du mit Hilfe des Ohmschen Gesetzes.

    $ I_{ges} $ kannst du ermitteln, sobald du beide Teilstromstärken kennst.

    Am Ende kannst du zur Ermittlung von $R_{ges}$ das Ohmsche Gesetz verwenden oder die Formel für den Gesamtwiderstand in einer Parallelschaltung.

    Zum Vergleich: $ \frac {1} {R_{ges}}= \frac {3} {300~\Omega} $

    Lösung

    (1) Anwendung des Ohmschen Gesetzes:

    $ I_1=\frac {U} {R_1}=\frac {30~V} {150~\Omega}=\frac {1} {5} \cdot \frac {V\cdot A} {V}=0,2~ A=200~mA $

    (2) Anwendung des Ohmschen Gesetzes:

    $ R_2=\frac {U} {I_2} =\frac {30~V} {100~mA} = \frac {30~V} {0,100~A} = 300~\Omega $

    (3) Anwendung der Stromstärkengleichung für die Parallelschaltung von zwei Widerständen:

    $ I_{ges}=I_1+I_2=200~mA+100~mA=300~mA$

    (4) Anwendung des Ohmschen Gesetzes:

    $ R_{ges}=\frac {U} {I_{ges}} =\frac {30~V} {300~mA} = \frac {30~V} {0,300~A} = 100~\Omega $.

    Oder alternativ Anwendung der Formel für den Gesamtwiderstand bei einer Parallelschaltung:

    $ \frac {1} {R_{ges}}=\frac {1} {R_1} + \frac {1} {R_2}=\frac {1} {150~\Omega} +\frac {1} {300~\Omega}=\frac {2} {300~\Omega} + \frac {1} {300~\Omega}=\frac {3} {300~\Omega}=\frac {1} {100~\Omega}$.

    Und damit beträgt $R_{ges}=100~\Omega $.

  • Formuliere die Gesetzmäßigkeiten der Parallelschaltung in Worten.

    Tipps

    Wieder sind die Formeln in Worte "übersetzt".

    Welche Größe bleibt bei der Parallelschaltung überall konstant?

    Welche Größe wird durch Addition der Teilgrößen ermittelt, welche durch Addition der Kehrwerte?

    Lösung

    Bei der Parallelschaltung ist im Gegensatz zur Reihenschaltung die Spannung an jedem der beiden Widerstände so groß wie die Gesamtspannung. Jeder Widerstand ist für sich genommen direkt mit der Spannungsquelle verbunden.

    Die Gesamtstromstärke hingegen teilt sich bei der Parallelschaltung auf. Die Elektronen fließen entweder durch den einen Zweig oder den anderen Zweig. Die Formel für den Gesamtwiderstand ist etwas komplexer als bei der Reihenschaltung. Bei der Parallelschaltung werden die Kehrwerte der Teilwiderstände addiert und ergeben zusammen den Kehrwert des Gesamtwiderstandes.

  • Erkläre, wie ein Spannungsmessgerät richtig eingesetzt wird.

    Tipps

    Ein Spannungsmessgerät ist keine Spannungsquelle, sondern verhält sich wie ein Ohmscher Widerstand.

    Spannungen werden immer zwischen zwei Punkten gemessen. An einem Punkt ist die Spannung immer Null.

    Der Innenwiderstand eines Spannungsmessgerätes muss so gewählt sein, dass das Gerät möglichst wenig Strom "abzweigt".

    Lösung

    Spannungsmessgeräte sind keine Spannungsquellen. Sie werden mit einer geringen Spannung betrieben, sind also selbst nicht gefährlich. Man kann sie aber durch unvorsichtige Benutzung (falsche Schaltung, falscher Messbereich,...) beschädigen.

    Spannungsmessgeräte werden immer parallel geschaltet. Die Spannung wird zwischen zwei Punkten, also zum Beispiel "vor" und "hinter" einem Widerstand gemessen. So erfährt man, welche Spannung an diesem Widerstand abfällt. In dem Zusammenhang kennst du vielleicht schon den Begriff der Potentialdifferenz. Da die Spannung die Potentialdifferenz beschreibt, braucht man zwei unterschiedliche Stellen, zwischen denen das Potential verglichen werden kann.

    Spannungsmessgeräte sind so gebaut, dass sie die Schaltung selbst so wenig wie möglich beeinflussen. Dafür ist es wichtig, dass sie möglichst wenig Strom hindurch lassen. Da der Strom den "Weg des geringsten Widerstandes" entlang fließt, wird dies mit einem sehr hohen Innenwiderstand erreicht.

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