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Definition und Beweis der Produktregel

Die Produktregel ist eine Ableitungsregel. Sie wird verwendet, um das Produkt von Funktionen abzuleiten: $f(x)=u(x)\cdot v(x)$.

Leibnitz.jpg

Nach Gottfried Wilhelm Leibniz (* 1646; † 1716), einem deutschen Mathematiker, wird diese Regel auch als Leibniz-Regel bezeichnet.

Beispiele für das Produkt von Funktionen

  • $f(x)=(x^2+7)(x^3-3x)$
  • $f(x)=e^x(x^2+3)$
  • $f(x)=x\cdot \sqrt x$
  • $f(x)=\frac1x\cdot \sin(x)$

Du siehst, du kannst beliebige Funktionen miteinander multiplizieren und erhältst wieder eine Funktion.

Die Produktregel

Die Ableitungsregel für das Produkt von Funktionen $f(x)=u(x)\cdot v(x)$ lautet

$f'(x)=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)$

  • Du leitest also zuerst den linken Faktor ab und multiplizierst diesen mit dem rechen Faktor.
  • Dann multiplizierst du den linken Faktor mit der Ableitung des rechten Faktors.
  • Zuletzt addierst du die beiden Produkte.

In deiner Formelsammlung findest du vielleicht auch diese Kurzschreibweise

$(uv)'=u'v+uv'$

Natürlich müssen zur Anwendung der Produktregel auch beide Faktoren differenzierbar sein.

Ein erstes einfaches Beispiel

Du kannst die Funktion $f(x)=x^2\cdot x^3$ ausmultiplizieren zu $f(x)=x^5$. Die Ableitung dieser Funktion erhältst du mit der Potenzregel der Differentiation: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$. Damit ist $f'(x)=5x^4$. Das selbe Ergebnis sollte nun auch mit der Produktregel heraus kommen:

$f'(x)=2x\cdot x^3+x^2\cdot 3x^2=2x^4+3x^4=5x^4$

Die Produktregel gilt (natürlich!) nicht nur für so einfache Beispiele. Dass sie allgemein gültig ist, siehst du im Folgenden.

Herleitung

Die Produktregel kann mithilfe des Differenzialquotienten anschaulich hergeleitet werden. Hierfür wird der Grenzwert von Differenzenquotienten mit Hilfe der h-Methode berechnet:

$\quad~~~f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim\limits_{x\to x_0} \frac{u(x)\cdot v(x)-u(x_0)\cdot v(x_0)}{x-x_0}$

  • Nun wird im Zähler einmal $u(x_0)\cdot v(x)$ subtrahiert und auch wieder addiert:

$\quad~~~f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0} \frac{u(x)\cdot v(x)-u(x_0)\cdot v(x)+u(x_0)\cdot v(x)-u(x_0)\cdot v(x_0)}{x-x_0}$

  • Der Bruch auf der rechten Seite kann noch auseinander geschrieben werden. Dann können auch die einzelnen Grenzwerte bestimmt und dann addiert werden:

$\quad~~~f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0} \frac{u(x)\cdot v(x)-u(x_0)\cdot v(x)}{x-x_0}+\lim\limits_{x\to x_0}\frac{u(x_0)\cdot v(x)-u(x_0)\cdot v(x_0)}{x-x_0}$

  • In dem linken Term wird $v(x)$ und in dem rechten $u(x_0)$ ausgeklammert:

$\quad~~~f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0} v(x)\cdot \frac{u(x)-u(x_0)}{x-x_0}+u(x_0)\cdot \lim\limits_{x\to x_0}\frac{v(x)-v(x_0)}{x-x_0}$

  • Da beide Funktionen $u(x)$ als auch $v(x)$ differenzierbar (und somit auch stetig) sind, existieren die beiden Grenzwerte und somit gilt:

$\quad~~~f'(x_0)=u'(x_0)\cdot v(x_0)+u(x_0)\cdot v'(x_0)$

Damit ist die Produktregel bewiesen.

Beispiele für die Produktregel

Um die Produktregel zu üben, kannst du dir jeweils die Faktoren $u(x)$ und $v(x)$ sowie deren Ableitungen aufschreiben:

Beispiel 1

Die Funktion $f(x)=(x^2+7)(x^3-3x)$ könnte gegebenenfalls auch ausmultiplizert werden. Dies ist jedoch recht aufwändig. Hier kann die Produktregel angewendet werden:

  • $u(x)=x^2+7$ und damit $u'(x)=2x$
  • $v(x)=x^3-3x$ und damit $v'(x)=3x^2-3$

Damit ist

$f'(x)=2x(x^3-3x)+(x^2+7)(3x^2-3)$

Dies könnte noch weiter vereinfacht werden, darauf wird hier verzichtet, da es um das Üben der Produktregel geht.

Beispiel 2

Betrachten wir die Exponentialfunktion $f(x)=e^x(x^2+3)$:

  • $u(x)=e^x$ und $u'(x)=e^x$
  • $v(x)=x^2+3$ uns $v'(x)=2x$

Gesamt lässt sich die Ableitung von $f(x)$ dann so berechnen

$f'(x)=e^x(x^2+3)+e^x\cdot 2x=e^x(2^2+2x+3)$

Beispiel 3

Nun schauen wir uns die Funktion $f(x)=x\cdot \sqrt x$ an:

Es ist $u(x)=x$ somit ist $u'(x)=1$ sowie $v(x)=\sqrt x$ und

$v'(x)=\frac1{2\sqrt x}$.

Damit kann die Produktregel angewendet werden:

$f'(x)=1\cdot \sqrt x+x\cdot \frac1{2\sqrt x}$

Beispiel 4

Zuletzt betrachten wir die Ableitung mit trigonometrischer Funktion $f(x)=\frac1x\cdot \sin(x)$. Hier sind

$u(x)=\frac 1x$ sowie $u'(x)=-\frac1{x^2}$

sowie $v(x)=\sin(x)$ mit der Ableitung $v'(x)=\cos(x)$. Wieder kann die Produktregel angewendet werden:

$f'(x)=-\frac1{x^2} \cdot \sin(x)+\frac 1x\cdot \cos(x)$

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