Quotientenregel

Inhaltsverzeichnis zum Thema

• Definition der Quotientenregel
• Herleitung der Quotientenregel
• Anwendung der Quotientenregel
  • Beispiel rationale Funktion
  • Beispiel Tangensfunktion
  • Weitere Beispiele

Definition der Quotientenregel

Mithilfe der Quotientenregel können Funktionen abgeleitet werden, die durch einen Quotienten beschrieben werden. Beispiele sind $f(x)=\frac{2}{x^2}$ oder $g(x)=\frac{3x^2+x+1 }{x^3}$. Im Allgemeinen sieht eine solche Funktion so aus:

$f(x)= \frac{u(x)}{v(x)}$

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Dabei muss natürlich für alle $x$ gelten: $v(x) \neq 0$. Wir dürfen ja nicht durch $0$ dividieren.

Außerdem müssen die Terme $u(x)$ und $v(x)$ differenzierbar sein. Dann ist auch $f(x)$ differenzierbar und die Ableitung lautet

$f'(x)= \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{(v(x))^2}=\frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2}$

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Wie du auf der rechten Seite der Gleichung sehen kannst, wird die Quotientenregel häufig abkürzend mit $u$ und $v$ formuliert.

Im Gegensatz zur Produktregel kommt es bei der Quotientenregel im Zähler auf die Reihenfolge der Terme an. Die Subtraktion ist nämlich nicht kommutativ.

Herleitung der Quotientenregel

Mithilfe des Differenzialquotienten kannst du die Quotientenregel herleiten. Sie ergibt sich aber auch aus der Produktregel. Um dies nachzuvollziehen, verwenden wir im Folgenden die vereinfachte Schreibweise $u(x)=u$ und $v(x)=v$. Dann schreiben wir den Quotienten als Produkt:

$f(x)= \frac{u}{v}= u \cdot v^{-1}$

.

Wir haben lediglich ausgenutzt, dass wir anstelle von $\frac1{v}$ auch $v^{-1}$ schreiben können. Das hat den Vorteil, dass wir nun die Produktregel anwenden können:

$f'(x) = u' \cdot v^{-1} + u \cdot (-1 \cdot v^{-2} \cdot v')$

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Dies kann noch weiter vereinfacht werden:

$f'(x) = u' \cdot v^{-1} - u \cdot v^{-2} \cdot v'$

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Nun formen wir den negativen Exponenten wieder in die Bruchschreibweise um:

$f'(x) = \frac{u'}{v} - \frac{u \cdot v'}{v^2}$

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Dann erweitern wir den linken Bruch mit $v$ und fassen die beiden Brüche unter demselben Nenner zusammen:

$f'(x) = \frac{u' \cdot v}{v^2} - \frac{u \cdot v'}{v^2} = \frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2}$

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Nun haben wir die Quotientenregel hergeleitet. Wir wollen nun einige Beispiele betrachten.

Anwendung der Quotientenregel

Beispiel rationale Funktion

Wir wollen zunächst die gebrochenrationale Funktion $f(x)=\frac{2}{x^2}$ ableiten. Dazu bestimmen wir zunächst die beiden Funktion $u(x)=2$ und $v(x) = x^2$. Führen wir die Quotientenregel einmal ausführlich durch:

$ f'(x) = \frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2} = \frac{(2)' \cdot x^2 - 2 \cdot (x^2)'}{(x^2)^2}$

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Der erste Term im Zähler fällt weg, weil die Ableitung einer Konstanten $0$ ist:

$f'(x) = \frac{0-2 \cdot 2 \cdot x}{x^4} = -\frac{4}{x^3}$

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Beispiel Tangensfunktion

Auch die Tangensfunktion kann durch die Quotientenregel abgeleitet werden, da sie durch einen Quotienten definiert ist:

$f(x) = \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$

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Wir verwenden also $u(x)= \sin(x)$ und $v(x)= \cos(x)$. Dann ergibt sich:

$ f'(x) = \frac{ \cos(x) \cdot \cos(x) - \sin(x) \cdot (-\sin(x))}{\cos^2(x)} = \frac{\cos^2(x) + \sin^2(x)}{\cos^2(x)}$

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Dies kann durch den trigonometrischen Satz des Pythagoras vereinfacht werden, der $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$ lautet. Dann erhalten wir zuletzt:

$ f'(x) = \frac{1}{\cos^2(x)}$

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Alternativ hätte die Ableitung durch Zerlegen in zwei Brüche auch in $\tan'(x) = 1 + \tan^2(x)$ umgeformt werden können.

Weitere Beispiele

Wenn das Schema der Quotientenfunktion erst einmal erkannt ist, lassen sich auch scheinbar komplizierte Funktionen leicht ableiten.

• Die Ableitung von $f(x) = \frac{2x+5}{e^x}$ ist $f'(x)= \frac{2 \cdot e^x - (2x+5) \cdot e^x}{e^{2x}} = \frac{-2x -3 }{e^x}$.
• Die Ableitung von Wurzelfunktionen wie $f(x) = \frac{2 \cdot x^2 + 3}{\sqrt{x}}$ funktioniert genauso: $f'(x)=\frac{4x \cdot \sqrt{x} - (2 \cdot x^2+3) \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{x}}}{x}= \frac{3x^2-\frac32}{x \cdot \sqrt{x}}$.