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Exponentielle Wachstumsfunktionen – Kurvendiskussion

Mit Hilfe der Kurvendiskussion kannst du Definitionsbereich, Symmetrie, Nullstellen, Extremwerte, Wendepunkte sowie Verhalten im Unendlichen einer Funktion bestimmen.

Inhalt

Was sind exponentielle Wachstumsfunktionen?

Es gibt viele exponentielle Wachstumsvorgänge in der Natur, zum Beispiel das zahlenmäßige Wachstum von verschiedenen Bakterienstämmen, Tierarten oder auch der menschlichen Population. In der Wirtschaft ist es der Zinseszins, der Kapital immer schneller anwachsen lässt.

Aber auch der radioaktive Zerfall oder das Aussterben einer bedrohten Rasse kann durch eine exponentielle Wachstumsfunktion modelliert werden. Diese werden dann als exponentielle Zerfalls- oder Abnahmefunktionen bezeichnet.

Also alle Veränderungen, die, zeitlich betrachtet, zunächst langsam und zunehmend immer schneller vonstattengehen, können damit beschrieben werden. Sie dienen als einfacheres Modell für einen komplizierteren Sachverhalt. Dadurch können z. B. relativ genaue Prognosen oder Ist-Zustände bestimmt werden.

Exponentielles Wachstum

Ist der Anfangswert $c\in\mathbb{R}^{+}$ und der Wachstumsfaktor $a$ bekannt, kann folgende Funktion aufgestellt werden:

$ f(x)=c\cdot a^{x} $.

Wenn dabei $0<a<1$ ist, handelt es sich um eine Abnahme, bei $a>1$ um eine Zunahme. Die Eigenschaften einer Funktion dieser Art können genauer mit einer Kurvendiskussion untersucht werden.

Definitionsbereich

Die maximale Definitionsmenge ist bei exponentiellen Wachstumsfunktionen ganz $\mathbb{R}$. Das bedeutet, jede beliebige reelle Zahl kann für $x$ eingesetzt werden. Da immer $a>0$ gilt, ist die Funktion auch für $x=0$ definiert, denn $a^{0}$ ist $1$, wenn $a\neq 0$ gilt.

Symmetrien

Bei der Kurvendiskussion wird der Graph der Funktion prinzipiell auf zwei Symmetrien untersucht. Als Beispiel kannst du dir folgende Wachstumsfunktion ansehen:

$ f(x)=1000\cdot (1,02)^{x} $.

Sie beschreibt, wie $1000$ € bei einem jährlichen Zinssatz von $2\ \%$ über die Jahre $x$ auf den Wert $f(x)$ anwachsen. Das könnte zum Beispiel dein Erspartes sein, das du gut angelegt hast.

Diese Funktion prüfst du nun auf Achsensymmetrie bezüglich der $y$-Achse.

$ f(x)=f(-x)\\ 1000\cdot (1,02)^{x} \stackrel{?}{=} 1000\cdot (1,02)^{-x}\\ 1000\cdot (1,02)^{x} \neq 1000\cdot \frac{1}{(1,02)^{x}}\\ $

Der Graph ist also nicht achsensymmetrisch. Das gilt sogar für alle exponentiellen Wachstumsfunktionen. Doch wie sieht es mit der Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung $O(0/0)$ aus? Auch das kannst du rechnerisch leicht prüfen.

$ f(x)=-f(-x)\\ 1000\cdot (1,02)^{x} \stackrel{?}{=} –(1000\cdot (1,02)^{-x})\\ 1000\cdot (1,02)^{x} \neq -1000\cdot \frac{1}{(1,02)^{x}}\\ $

Sowohl das Anwachsen deiner Reichtümer als auch alle anderen Wachstumsfunktionen dieser Art weisen keine Symmetrien auf.

Nullstellen

Die Nullstellen sind im Sachzusammenhang oft von großer Bedeutung. Das würde bei deinem angelegten Geld bedeuten, dass du alles verloren hättest! Bevor du aber Alarm schlägst: Gibt es denn bei solchen Funktionen überhaupt Nullstellen?

$ f(x)=0\\ 0 = 1000\cdot (1,02)^{x}\\ 0 = 1,02^{x}\\ $

Wird diese Exponentialfunktion jemals null? Nein!

Extremwerte

Oder auch: Wann ist dein Erspartes maximal angewachsen? Jetzt sind die Extremwerte interessant. Dafür benötigst du die erste Ableitung der Funktion, die du mithilfe der Kettenregel bestimmen kannst.

$ f(x)= 1000\cdot (1,02)^{x}=1000\cdot e^{\ln(1,02)\cdot x}\\ f^\prime (x) = 1000\cdot \ln(1,02)\cdot e^{\ln(1,02)\cdot x}\\ f^\prime (x) = 1000\cdot \ln(1,02)\cdot 1,02^{x} $

Anschließend musst du diese gleich null setzen, denn das ist ein notwendiges Kriterium für die Existenz von Extrema. Die Steigung der Tangente am Graphen im Extrempunkt ist immer null.

$ 0 = f^\prime (x)\\ 0 = 1000\cdot \ln(1,02)\cdot 1,02^{x}\\ 0 = 1,02^{x} $

Auch hier stellt sich die Frage: Kann die Exponentialfunktion überhaupt null werden? Wenn $x$ negativ ist, kannst du die Funktion auch als Bruch schreiben. Der Bruch kann nicht null werden, weil der Zähler nicht null werden kann.

Die Funktion ist per Definition $1$, wenn $x=0$ gilt. Wenn $x$ positiv ist, steigen die Funktionswerte immer weiter. Es gibt also weder Nullstellen noch Extrempunkte!

Wendepunkte

Für die Berechnung der Wendepunkte und Sattelpunkte wird die zweite Ableitung gleich null gesetzt.

$ f^\prime (x) = 1000\cdot \ln(1,02)\cdot 1,02^{x}\\ f^{\prime}(x) = 1000\cdot \ln(1,02)\cdot e^{\ln(1,02)\cdot x}\\ f^{\prime\prime}(x) = 1000\cdot \ln(1,02)^{2}\cdot e^{\ln(1,02)\cdot x}\\ f^{\prime\prime}(x) = 1000\cdot \ln(1,02)^{2}\cdot 1,02^{x}$

$0 = f^{\prime\prime}(x)\\ 0 = 1,02^{x} $

Auch hier gilt, dass die zweite Ableitung nicht null werden kann. Daher gibt es keinen Wendepunkt oder Sattelpunkt.

Verhalten im Unendlichen

Wenn der Graph keine Symmetrien, Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkte aufweist, wie sieht er dann überhaupt aus?

Wirf einen „Blick“ ins Unendliche:

$ \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{(1000\cdot 1,02^{x})}\rightarrow \infty $.

Dein Geld wächst also ins Unermessliche! Allerdings nur, wenn du unendlich lange wartest … Was würde eigentlich passieren, wenn du dein Geld bei negativen Zinsen anlegen würdest? Das kann zum Beispiel passieren, wenn die Inflation höher ist als die Verzinsung. Die Exponentialfunktion hätte dann einen Wachstumsfaktor $a<1$, z.B. $a=0,99$.

$ \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{(1000\cdot 0,99^{x})}\rightarrow 0 $

Richtig gesehen: Dein Vermögen würde immer kleiner werden, aber nie ganz null. Daher ist nicht jede Verzinsung lohnenswert! Denn sie sollte zumindest die Geldentwertung durch Inflation ausgleichen.

Zusammenfassung und Graph

Für alle exponentiellen Wachstumsfunktionen der Form

$ f(x)=c\cdot a^{x} $

mit $c>0$ und $a>0$ kann also zusammengefasst werden:

  • Abnahme für $0<a<1$ und Zunahme für $a>1$,
  • Definitionsmenge: $\mathbb{D}=\mathbb{R}$,
  • keine Achsen- oder Punktsymmetrien,
  • keine Nullstellen,
  • keine Extremwerte,
  • keine Wendepunkte und
  • Grenzwert im Unendlichen: null bei Abnahme, unendlich bei Zunahme.

Mit all diesen Informationen kannst du die Graphen skizzieren.

Graph von Wachstums- und Zerfallsfunktion