Quadratische Funktionen: f(x) = a · x² + c

Inhaltsverzeichnis zum Thema

• Was ist eine quadratische Funktion?
• Die Bedeutung des Parameters $a$

Was ist eine quadratische Funktion?

Ganz allgemein sieht eine quadratische Funktion $f$ so aus: $f(x)=ax^{2}+bx+c$. Dabei sind $a\neq 0,~b,~c\in\mathbb{R}$ Parameter.

Du siehst, die Potenz mit dem höchsten Exponenten ist $x^{2}$, also $x$ zum Quadrat. Daher kommt auch der Name. Der Funktionsgraph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. Hier siehst du die Normalparabel zu der quadratischen Funktion $f$ mit $f(x)=x^{2}$.

Du lernst im Folgenden, welche Auswirkungen die Parameter auf die Parabel haben. Dabei ist für die Betrachtung der Parameter $a$ sowie $c$ immer $b=0$.

Die Bedeutung des Parameters $a$

Für $c=0$ schauen wir uns nun die Bedeutung des Parameters $a$ an. Erstelle dir eine Wertetabelle der Funktion $f$ mit $f(x)=a x^{2}$ für $a=1$ (zweite Zeile), $a=4$ (dritte Zeile) sowie $a=\frac14$ (vierte Zeile).

Nun kannst du die so erhaltenen Paare $(x|y)$ in ein Koordinatensystem eintragen. Du erhältst drei Parabeln.

• Die gelbe Parabel gehört zu $x^{2}$,
• die blaue zu $4x^{2}$ und
• die grüne zu $\frac14 x^{2}$.

Fällt dir etwas auf? Betrachte einmal die blaue beziehungsweise die grüne in Relation zu der gelben Normalparabel:

• Die blaue Parabel verläuft enger als die Normalparabel. Man sagt auch, sie ist entlang der $y$-Achse gestreckt.
• Die grüne Parabel verläuft weiter als die Normalparabel. Man sagt auch, sie ist entlang der $y$-Achse gestaucht.

Wenn du übrigens einen negativen Wert für $a$ wählst, erhältst du eine nach unten geöffnete Parabel.

Der Parameter $a$ wird als Streckfaktor bezeichnet.

Du kannst anhand dieses Parameters erkennen, ob die Parabel nach oben oder nach unten geöffnet ist und wie weit sie geöffnet ist:

• Für $a>1$ erhältst du eine gestreckte und nach oben geöffnete Parabel.
• Für $a=1$ erhältst du die nach oben geöffnete Normalparabel.
• Für $0