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Kongruenzsätze für Dreiecke

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Inhalt

  • Definition Kongruenz von Dreiecken und Kongruenzsätze
  • Kongruenzsatz $WSW$ und Kongruenzsatz $SWW$
  • Kongruenzsatz $SWS$
  • Kongruenzsatz $SSS$
  • Kongruenzsatz $SSW$
  • Definition Kongruenz von Dreiecken und Kongruenzsätze

    Wenn Dreiecke nach einer Verschiebung, Drehung oder Achsenspiegelung deckungsgleich sind, so nennt man diese Dreiecke kongruent. Zueinander kongruente Dreiecke sind flächengleich. Das bedeutet: Der Flächeninhalt von Dreieck 1 ist gleich dem Flächeninhalt von Dreieck 2.

    2 kongruente Dreiecke

    Die Kongruenzsätze geben dir nun Aussagen darüber, wann Dreiecke zueinander kongruent sind. Dabei geht es immer um die Übereinstimmung bestimmter Seiten ($S$) und Winkel ($W$).

    Kongruenzsatz $WSW$ und Kongruenzsatz $SWW$

    Stimmen zwei Dreiecke in einer Seite und zwei Winkeln überein, so sind sie kongruent. Zwei Fälle sind zu unterscheiden:

    a) Die beiden Winkel liegen an der Seite an, d.h. die Seite liegt zwischen den beiden Winkeln ($WSW$).

    Kongruenzsatz WSW am Dreieck

    b) Ein Winkel liegt an der Seite an, der andere Winkel liegt der Seite gegenüber ($SWW$).

    Kongruenzsatz SWW am Dreieck

    Die Fälle a) und b) hängen über die Winkelsumme im Dreieck zusammen. Diese beträgt immer $180^\circ$, d.h. sind zwei Winkel gegeben, ist der dritte automatisch festgelegt.

    Die Sätze $WSW$ bzw. $SWW$ kannst du benutzen, um ein Dreieck aus der Angabe der Seite und der Winkel eindeutig zu konstruieren.

    Konstruktion von Dreiecken mit $WSW$

    Gegeben sind beispielsweise die Seite $c$ und die Winkel $\alpha$ und $\beta$. Für die Konstruktion arbeitest du folgende Schritte ab:

    1. Zeichne die Seite $c$ mit den Punkten $A$ und $B$.
    2. Trage an $c$ in $A$ den Winkel $\alpha$ ab und zeichne den zugehörigen Schenkel.
    3. Trage an $c$ in $B$ den Winkel $\beta$ ab und zeichne den zugehörigen Schenkel.
    4. Der Schnittpunkt der beiden Schenkel ist Punkt $C$.

    Konstruktion von Dreiecken mit $SWW$

    Gegeben sind beispielsweise die Seite $c$ und die Winkel $\beta$ und $\gamma$, wobei $\gamma$ gegenüber von $c$ liegt.

    1. Zeichne die Seite $c$ mit den Punkten $A$ und $B$.
    2. Trage an $c$ in $A$ den Winkel $\alpha$ ab und zeichne den zugehörigen Schenkel.
    3. Trage an einem beliebigen Punkt dieses Schenkels den Winkel $\gamma$ ab .
    4. Zeichne eine Parallele zu dem zweiten Schenkel, die durch den Punkt $A$ geht.

    Kongruenzsatz $SWS$

    Stimmen Dreiecke in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel überein, so sind sie kongruent.

    Kongruenzsatz SWS am Dreieck

    Konstruktion von Dreiecken mit $SWS$

    Diesen Satz kannst du benutzen, um ein Dreieck eindeutig zu konstruieren, von dem zwei Seiten (z.B. $b$ und $c$) und die Winkelgröße des von ihnen eingeschlossenen Winkels ($\alpha$) bekannt sind.

    1. Zeichne die Seite $c$ mit den Punkten $A$ und $B$.
    2. Trage an $c$ in $A$ den Winkel $\alpha$ ab.
    3. Ziehe einen Kreis um $A$ mit dem Radius der Länge der Seite $b$.
    4. Der Schnittpunkt des Kreises mit dem Schenkel ist Punkt $C$.
    5. Verbinde die Punkte $B$ und $C$. Dies ist die Seite $a$.

    Kongruenzsatz $SSS$

    Stimmen Dreiecke in all ihren drei Seiten überein, so sind sie kongruent.

    Kongruenzsatz SSS am Dreieck

    Konstruktion von Dreiecken mit $SSS$

    Auch mit diesem Satz kannst du ein Dreieck eindeutig konstruieren, wenn dir die drei Seiten (d.h. ihre Seitenlängen) bekannt sind.

    1. Zeichne die Seite $c$ mit den Punkten $A$ und $B$.
    2. Schlage um $A$ einen Kreis mit dem Radius $b$.
    3. Schlage um $B$ einen Kreis mit dem Radius $a$.
    4. Der Schnittpunkt der Kreise ist der Punkt $C$.

    In Schritt 4 sind genau genommen zwei Schnittpunkte der beiden Kreise möglich. Die beiden möglichen Dreiecke sind aber spiegelgleich zueinander (Spiegelachse $c$). Also sind sie kongruent.

    Kongruenzsatz $SSW$

    Stimmen Dreiecke in zwei Seiten und dem der größeren Seite gegenüberliegenden Winkel überein, so sind sie kongruent.

    Kongruenzsatz SsW am Dreieck

    Konstruktion von Dreiecken mit $SSW$

    Mit diesem Satz lässt sich auf eindeutige Weise ein Dreieck konstruieren, von dem zwei Seiten ($b$ und $c$ mit $b > c$) und der Winkel ($\beta$) , welcher der größeren Seite gegenüberliegt, bekannt sind.

    1. Zeichne die Seite $c$ mit den Punkten $A$ und $B$.
    2. Trage an $c$ in $B$ den Winkel $\beta$ ab und zeichne den zugehörigen Schenkel.
    3. Schlage um $A$ einen Kreis mit dem Radius $b$.
    4. Der Schnittpunkt des Kreises mit dem Schenkel ist $C$.