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Übergangsmatrizen

Einige Prozesse können mit Hilfe von Matrizen dargestellt werden: Ein Bestand, also Vektor, zu einem späteren Zeitpunkt ergibt sich als Produkt einer Matrix mit dem Bestand, ebenfalls als Vektor, jetzt. Diese Matrix wird als Übergangsmatrix bezeichnet.

Inhalt

  • Was ist ein Übergangsdiagramm?
  • Erstellung einer Übergangsmatrix aus einem Übergangsdiagramm
  • Eigenschaften der Übergangsmatrix
  • Was ist ein Übergangsdiagramm?

    zur Einführung ein Beispiel aus dem täglichen Leben an. In einer Gegend befinden sich drei Supermärkte A, B und C. Das folgende Übergangsdiagramm zeigt die Bewegungen der Kunden zwischen diesen drei Supermärkten an:

    1184_Übergangsdiagramm.jpg

    Was bedeutet dies? Schauen dir einmal den Supermarkt A an:

    • Ein Pfeil führt von A zu sich selbst. Dieser ist mit $0,7$ beschriftet. Das bedeutet, dass $70~\%$ der Kunden von Supermarkt A diesem auch treu bleiben.
    • Ein Pfeil führt von A nach B. An diesem steht $0,2$. Dies bedeutet, dass $20~\%$ der Kunden von Supermarkt A zu Supermarkt B abwandern.
    • Ebenso siehst du, dass die verbleibenden $10~\%$ der Kunden von Supermarkt A zu Supermarkt C abwandern.

    Die weiteren Bewegungen kannst du analog ablesen.

    Erstellung einer Übergangsmatrix aus einem Übergangsdiagramm

    Die Kundenbewegungen lassen sich auch in der Form $A \cdot b$ darstellen. Dabei ist:

    • $A$ die Matrix, welche die Übergänge beschreibt. Diese wird als Übergangsmatrix bezeichnet.
    • $b$ der Vektor, welcher die aktuellen Zahlen der Kunden der drei Supermärkte enthält.

    Die Übergangsmatrix kannst du spaltenweise aufschreiben:

    • Die erste Spalte zeigt die Bewegung von Supermarkt A zu den jeweiligen Supermärkten A, B und C an.
    • Die zweite Spalte entspricht dann den Bewegung von Supermarkt B zu den jeweiligen Supermärkten A, B und C an. Und die dritte Spalte entspricht der Kundenbewegung von Supermarkt C.

    Daraus ergibt sich folgende Matrix:

    $A=\begin{pmatrix} 0,7& 0,2& 0,3\\ 0,2& 0,6&0,2\\ 0,1& 0,2&0,5 \end{pmatrix}$

    • Werden nun die einzelnen Einträge einer Spalte addiert, ergibt sich in allen drei Spalten die Summe 1.
    • Zum Beispiel zeigt die zweite Spalte die Bewegung von Supermarkt B zu A, B und C an. Addierst du nun die zugehörigen Einträge des 2. Spalt, ergibt sich: $0,2+0,6+ 0,2=1$.

    Anwendungsbeispiel für Übergangsmatrizen

    Insgesamt $1000$ Kunden verteilen sich zu Beginn der Beobachtung wie folgt auf die drei Supermärkte: * Supermarkt A $600$ * Supermarkt B * C jeweils $200$

    Somit ergibt sich folgender Vektor:

    $\vec b=\begin{pmatrix} 600\\ 200\\ 200\end{pmatrix}$

    Anwendungsbeispiel Übergangsmatrix Supermarkt

    Möchtest du nun wissen, wie viele Kunden in dem jeweiligen Supermarkt nach einer Periode einkaufen, multiplizierst du die Matrix $A$ mit dem Vektor $\vec b$ . Die Kundenbewegung für die einzelnen Supermärkte lassen sich mittels Übergangsmatrix bestimmen . Hierfür multiplizierst du jede Zeile der Matrix mit dem Vektor:

    $\begin{pmatrix} 0,7& 0,2& 0,3\\ 0,2& 0,6&0,2\\ 0,1& 0,2&0,5 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 600 \\ 200 \\ 200 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0,7\cdot 600+0,2\cdot 200+0,3\cdot 200 \\ 0,2\cdot 600+0,6\cdot 200+0,2\cdot 200 \\ 0,1\cdot 600+0,2\cdot 200+0,5\cdot 200 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 520 \\ 280 \\ 200 \end{pmatrix}$

    Das bedeutet, dass nach einer Periode $520$ Kunden bei A, $280$ bei B und $200$ bei C einkaufen. Du siehst, es sind immer noch $1000$ Kunden. Dies liegt daran, dass die Spaltensummen immer $1$ ergeben. In diesem Modell wird davon ausgegangen, dass jeder Kunde weiterhin bei einem der 3 Supermärkte einkauft.

    Ebenso kannst du berechnen, wie die Kunden sich nach $2$ oder $3$ Perioden auf die Supermärkte verteilen.

    Du kannst umgekehrt auch herausfinden, wie die Kunden sich vor einer Periode auf die Supermärkte verteilt haben. Dabei musst du die Gleichung $A\cdot \vec x=\vec b$ lösen.

    Eigenschaften der Übergangsmatrix

    Du hast bereits gesehen, dass die Summen der Spaltenelemente der obigen Matrix immer $1$ ergibt. Dies ist nicht immer so.

    Definitionen

    Alle Einträge einer Übergangsmatrix sind Zahlen zwischen $0$ und $1$:

    • Eine Übergangsmatrix heißt zeilenstochastisch, wenn die Summe der Zeilenelemente immer $1$ ergibt.
    • Eine Übergangsmatrix heißt spaltenstochastisch, wenn die Summe der Spaltenelemente immer $1$ ergibt.
    • Eine Übergangsmatrix heißt doppelt-stochastisch, wenn sie gleichzeitig zeilen- und spaltenstochastisch ist.

    Übergangsmatrizen sind quadratische Matrix. In dem obigen Beispiel ist eine $[3\times 3]$-Matrix, deren Einträge alle zwischen $0$ und $1$ liegen, gegeben. Eine Übergangsmatrix ist immer entweder spalten- oder zeilenstochastisch.

    Woher kennst du dies, dass Werte zwischen $0$ und $1$ liegen? Du könntest es von Wahrscheinlichkeiten kennen. Häufig werden mit Übergangsmatrizen in der Wahrscheinlichkeitstheorie Übergangswahrscheinlichkeiten ausgedrückt.