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pq-Formel

Die pq-Formel ist eine der bekanntesten Lösungsformeln für quadratische Gleichungen in Normalform.

Wann wird die pq-Formel angewendet?

Die pq-Formel wird zum Lösen quadratischer Gleichungen eingesetzt. Quadratische Gleichungen sind zum Beispiel:

  • $x^{2}=7$
  • $4x^{2}-9=-1$
  • $x^{2}-6x+3=0$

Eine solche quadratische Gleichung erhältst du zum Beispiel, wenn du die Nullstellen quadratischer Funktionen ermitteln möchtest. Die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung lautet:

$ax^{2}+bx+c=0\quad$ mit $\quad a \neq 0$.

Dabei ist $ax^2$ das quadratische Glied, $bx$ das lineare Glied und $c$ das Absolutglied.

Wichtig ist, dass der Koeffizient $a$, also der Faktor vor dem $x^{2}$ ungleich $0$ ist. Andernfalls würde die Gleichung kein quadratisches Glied enthalten.

Ist $b \neq 0$, so enthält die quadratische Gleichung ein lineares Glied. Solche Gleichungen werden gemischtquadratische Gleichungen genannt. Ist $b=0$, so handelt es sich um eine reinquadratische Gleichung.

Eine quadratische Gleichung der Form

$x^{2}+px+q=0\quad$

wird als quadratische Gleichung in Normalform bezeichnet. Hierbei ist der Koeffizient $a=1$ und taucht deshalb in der Gleichung nicht auf.

Wie lautet die pq-Formel?

Liegt die Gleichung in der Normalform $x^{2}+px+q=0$ vor, so lauten die Lösungen der quadratischen Gleichung wie folgt:

$x_{1,2}=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left( \frac{p}{2} \right)^{2} -q}$

Diese Formel nennt man pq-Formel. $x_{1,2}$ steht dabei für die möglichen zwei Lösungen der quadratischen Gleichung, also $x_1$ und $x_2$.

Das folgende Bild stellt die pq-Formel mit Hilfe von Meeresbewohnern dar. Diese sehr bildliche Darstellung soll dir beim Merken der pq-Formel helfen.

pq-Formel.jpg

Quadratische Gleichungen in der allgemeinen Form $ax^{2}+bx+c=0$ lassen sich durch Division mit dem Koeffizienten $a$ in die Normalform überführen:

$\begin{array}{ccccccc} ax^2 &+& bx &+& c &=& 0 & ~\vert \div a\\ x^2 &+& \frac{b}{a}x &+& \frac{c}{a} &=& 0 &~ \end{array}$

Der Einfachheit halber werden die Brüche in dieser Gleichung durch die Variablen $p$ und $q$ ersetzt:

$x^2+px+q=0\quad $ mit $\quad p=\frac{b}{a}$ und $q=\frac{c}{a}$

Spezialfälle

  • Liegt eine gemischtquadratische Gleichung ohne Absolutglied vor, also $b\neq 0$ und $c=0$, so ist in der Normalform $q=0$. Die Lösungen sind dann:

$\qquad x_{1,2}=-\frac{p}{2} \pm \frac{p}{2}$

  • Handelt es sich um eine reinquadratische Gleichung mit Absolutglied, also $b=0$ und $c\neq 0$, so ist in der Normalform $p=0$. Die Lösungen lauten dann:

$\qquad x_{1,2}=\pm \sqrt{-q}$

  • Für eine reinquadratische Gleichung ohne Absolutglied, also $b=0$ und $c=0$, hat in der Normalform die Koeffizienten $p=0$ und $q=0$ und somit genau eine Lösung, nämlich:

$\qquad x=0$

Mitternachtsformel

Du kannst quadratische Gleichungen in allgemeiner Form $ax^2+bx+c=0$ auch lösen, ohne diese zunächst in die Normalform zu überführen. Hierfür verwendest du die Mitternachtsformel, die wie folgt definiert ist:

$x_{1,2}= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} $

Herleitung pq-Formel

Zur Herleitung der pq-Formel werden kleine Tricks sowie das Wissen über die binomischen Formeln benutzt. Zunächst wird die quadratische Gleichung in die Normalform überführt, anschließend quadratisch ergänzt und mit Hilfe der 1. binomischen Formel umgeformt, um die Gleichung nach $x$ umstellen zu können. Klingt kompliziert, aber du wirst sehen, das ist es gar nicht:

$\begin{array}{rclll} x^{ 2 }+px+q & = & 0~ & \vert & -q \\ x^{ 2 }+px & = & -q & \vert & \text{quadratische Erg}\ddot{\text{a}}\text{nzung mit}+\left(~\frac { p }{ 2 } \right) ^{ 2 } \\ x^{ 2 }+px+\left( \frac { p }{ 2 } \right) ^{ 2 } & = & -q+\left( \frac { p }{ 2 } \right) ^{ 2 } & \vert & \text{1. binomische Formel} \\ \left( x+\frac { p }{ 2 } \right) ^{ 2 } & = & \left( \frac { p }{ 2 } \right) ^{ 2 }-q & \vert & \sqrt{~} \\ x+\frac { p }{ 2 } & = & \pm \sqrt {\left( \frac { p }{ 2 } \right) ^{ 2 }-q } & \vert & -\frac { p }{ 2 } \\ x_{ 1,2 } & = & -\frac { p }{ 2 } \pm \sqrt { \left( \frac { p }{ 2 } \right) ^{ 2 }-q } & ~ & ~ \end{array}$

Anzahl der Lösungen quadratischer Gleichungen

Über das Lösungsverhalten quadratischer Gleichungen, also die Anzahl der Lösungen einer Gleichung der Form $x^{2}+px+q=0$, entscheidet der Term unter der Wurzel der pq-Formel:

$x_{1,2}=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{\color{#669900}{\left( \frac{p}{2} \right)^{2} -q}}$.

Dieser wird auch als Diskriminante $D$ bezeichnet.

Ist $D>0$, so hat die quadratische Gleichung genau 2 Lösungen, nämlich:

  • $x_{1}=-\frac{p}{2}+\sqrt{D}$
  • $x_{2}=-\frac{p}{2}-\sqrt{D}$

Ist hingegen $D=0$, so besitzt die quadratische Gleichung genau eine Lösung:

  • $x=-\frac{p}{2}$

Die dritte Möglichkeit ist, dass die Diskriminante $D$ einen negativen Wert annimmt, also ist $D<0$. Ist diesem Fall besitzt die quadratische Gleichung keine Lösung. Denn unter der Wurzel würde ein negativer Wert stehen und im Reellen kann die Wurzel aus einer negativen Zahl nicht gezogen werden.

Aufgaben und Übungen zur pq-Formel

Im Folgenden wird die Anwendung der pq-Formel an vier Beispielen verdeutlicht.

Anwendungsbeispiel 1

Gegeben ist die folgende quadratische Gleichung in allgemeiner Form:

$2x^{ 2 }+8x+6 = 0$

Beachte zur Lösung dieser Beispielaufgabe, dass du die Gleichung zunächst in die Normalform bringen musst, um die pq-Formel anwenden zu können.

$\begin{array}{cclll} 2x^{ 2 }+8x+6 & = & 0 & \vert & \div2 \\ x^{ 2 }+4x+3 & = & 0 & \end{array}$

Nun musst du nur noch die Werte für $p$ und $q$ ablesen und in die pq-Formel einsetzen, um die Lösungen der quadratischen Gleichung zu berechnen.

$x^{ 2 }\ \underbrace{+4}_{p}\ x\ \underbrace{+3}_{q} \ =\ 0$

Mit $p=4$ und $q=3$ liefert die pq-Formel folgende Lösungen:

$\begin{array}{cclll} x_{1,2} &=& -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left( \frac{p}{2} \right)^{2} -q} & \vert & \text{Werte f}\ddot{\text{u}}\text{r } ~p~ \text{und} ~q~ \text{einsetzen} \\ x_{1,2} &=& -\frac{4}{2} \pm \sqrt{\left( \frac{4}{2} \right)^{2} -3} & & \\ x_{1,2} &=& -2 \pm \sqrt{\left( 2 \right)^{2} -3} & & \\ x_{1,2} &=& -2 \pm \sqrt{4 -3} & & \\ x_{1,2} &=& -2 \pm \sqrt{1} & & \\ x_{1,2} &=& -2 \pm 1& & \\ \end{array} $

Somit sind die Lösungen der quadratischen Gleichung:

  • $x_{1}=-2+1=-1$
  • $x_{2}=-2-1=-3$

Dass es bei dieser quadratischen Gleichung zwei Lösungen gibt, siehst du auch daran, dass die Diskriminante $D$ größer als $0$ ist, nämlich $1$. Die Lösungsmenge der quadratischen Gleichung ist somit:

$L=\{-1;-3\}$.

Anwendungsbeispiel 2

Eine quadratische Gleichung kannst du auch im Zusammenhang mit einer Textaufgabe erhalten: Wenn du die Quadrate einer natürlichen Zahl und deren Nachfolger addierst, erhältst du $61$. Wie lautet die Zahl?

Die gesuchte Zahl sei $x$ und damit der Nachfolger dieser Zahl $x+1$. Du erhältst also folgende Gleichung:

$x^2+(x+1)^2=61$

  • Nutze die 1. binomische Formel: $~x^2+x^2+2x+1=61$
  • Du kannst gleichartige Terme zusammenfassen: $~2x^2+2x+1=61$
  • Auf einer Seite muss $0$ stehen. Subtrahiere hierfür $61$: $~2x^2+2x-60=0$
  • Dividiere für die Normalform durch $2$: $~x^2+x-30=0$.

Nun kannst du $p=1$ und $q=-30$ erkennen. Setze diese in die pq-Formel ein:

$\begin{array}{rclll} x_{1,2} &=& -\frac{1}{2} \pm \sqrt{\left( \frac{1}{2} \right)^{2} -(-30)} \\\ &=& -\frac12 \pm \sqrt{\frac14+30} \\ &=& -\frac12 \pm \sqrt{\frac{121}4} \\ \\ x_{1} &=& -\frac12+\frac{11}2 =\frac{10}2=5\\ x_{2} &=& -\frac12-\frac{11}2 =-\frac{12}2=-6 \end{array} $

Du hast also zwei Lösungen $x_1=5$ sowie $x_2=-6$ gefunden. Da nach Voraussetzung eine natürliche Zahl gesucht ist, kannst du folgern, dass die gesuchte Zahl die $5$ ist.

Mach doch mal eine Probe: $5^2+6^2=25+36=61$ ✓

Anwendungsbeispiel 3

Achte bei dem folgenden Beispiel unbedingt auf die Vorzeichen der Koeffizienten:

$x^2\ \underbrace{-6}_{p}\ x\ \underbrace{+9}_{q}\ =\ 0$

Hier ist $p=-6$ und $q=9$. Nun setzt du diese Größen in die pq-Formel ein:

$\begin{array}{rcl} x_{1,2} &=& -\frac{-6}{2} \pm \sqrt{\left( \frac{-6}{2} \right)^{2} -9} \\ &=& 3 \pm \sqrt{\left( 3 \right)^{2} -9} \\ &=& 3 \pm \sqrt{0} \\ \\ x_{1} &=& 3+0 =3 \\ x_{2} &=& 3-0=3 \end{array} $

Hier siehst du, warum es für den Fall, dass die Diskriminante $D=0$ ist, nur eine Lösung gibt: Du erhältst so die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{3\}$.

Anwendungsbeispiel 4

Hier siehst du noch ein Beispiel, in welchem die quadratische Gleichung keine Lösung besitzt:

$\frac12x^2+4x+10=0$

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$, um die Normalform zu erhalten:

$x^2\ \underbrace{+8}_{p}\ x\ \underbrace{+20}_{q}\ =\ 0$

Es ist also $p=8$ und $q=20$. Einsetzen in die pq-Formel liefert:

$\begin{array}{rcl} x_{1,2} &=& -\frac{8}{2} \pm \sqrt{\left( \frac{8}{2} \right)^{2} -20} \\ &=& -4 \pm \sqrt{4^2-20} \\ &=& -4 \pm \sqrt{-4} \end{array} $

In diesem Beispiel ist die Diskriminante $D=-4\lt 0$. Das bedeutet, dass die quadratische Gleichung keine Lösung besitzt.

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