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Binomialverteilungen – p bestimmen – Zugverspätung

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Martin Wabnik
Binomialverteilungen – p bestimmen – Zugverspätung
lernst du in der Sekundarstufe 5. Klasse - 6. Klasse - 7. Klasse

Beschreibung Binomialverteilungen – p bestimmen – Zugverspätung

In diesem Video behandeln wir eine Aufgabe zu Binomialverteilungen: Gegeben ist eine binomialverteilte Zufallsgröße und eine bestimmte Anzahl von Erfolgen, wobei diese Anzahl eine bestimme Wahrscheinlichkeit haben soll. Gesucht ist das dazu passende p, also die Erfolgswahrscheinlichkeit des zugrunde liegenden Bernoulli-Versuchs. Die Aufgabe lautet: Wie hoch darf der Prozentsatz der verspäteten Züge höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80 % höchstens vier von zehn zufällig ausgewählten Zugfahrten verspätet sind?

Binomialverteilungen – p bestimmen – Zugverspätung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Binomialverteilungen – p bestimmen – Zugverspätung kannst du es wiederholen und üben.
  • Berechne den gesuchten Prozentsatz.

    Tipps

    Es gilt:

    $P(X\leq k)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+ ... +P(X=k-1)+P(X=k)$

    Es gilt:

    $P(X=k)=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$

    Sieh dir folgendes Beispiel an:

    $\begin{array}{lll} P(X=0) &=& \binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k} \\ \\ &=& \binom{10}{0}\cdot 0,326^0\cdot (1-0,326)^{10-0} \\ \\ &=&0,0193463466549 \end{array}$

    Lösung

    Wir möchten durch systematisches Probieren die gesuchte Erfolgswahrscheinlichkeit $p$ für $P(X\leq 4)\geq 0,8$ bestimmen. Hierzu setzen wir unterschiedliche Werte für $p$ in die Formel ein und berechnen $P(X\leq k)$. Wir benötigen folgende Formeln:

    • $P(X\leq k)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+ ... +P(X=k-1)+P(X=k)$
    • $P(X=k)=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$
    Wert 1 $~p=0,326$

    $P(X\leq 4)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)$

    • $P(X=0)=0,0193463466549$
    • $P(X=1)=0,0935743176481$
    • $P(X=2)=0,2036699168989$
    • $P(X=3)=0,2626959165540$
    • $P(X=4)=0,2223561133443$
    Damit ist $P(X\leq 4)\approx 0,8016$

    Wert 2 $~p=0,327$

    $P(X\leq 4)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)$

    • $P(X=0)=0,2231005755758$
    • $P(X=1)=0,2623795323067$
    • $P(X=2)=0,2025016344523$
    • $P(X=3)=0,0926154264264$
    • $P(X=4)=0,0190612177324$
    Damit ist $P(X\leq 4)\approx 0,7997$

    Wenn wir $p$ also auf drei Nachkommastellen genau bestimmen möchten, so wissen wir, dass $p=0,326$ unsere gesuchte Erfolgswahrscheinlichkeit ist.

    Wenn also höchstens $32,6\%$ aller Züge verspätet sind, ist die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens vier von zehn zufällig ausgewählten Zügen verspätet sind, größer als $80\%$.

  • Gib die nötigen Formeln für die Berechnung der kumulierten Wahrscheinlichkeit $P(X\leq k)$ an.

    Tipps

    Überlege dir zunächst, wie du die Wahrscheinlichkeit entlang eines Pfades mit $k$ Erfolgen bei einer Bernoulli-Kette berechnen würdest.

    Es gibt $\binom{n}{k}$ Pfade mit $k$ Erfolgen. Wenn du $P(X=k)$ bestimmen möchtest, musst du alle diese Pfade berücksichtigen.

    Lösung

    Um die kumulierte Wahrscheinlichkeit $P(X\leq k)$ zu berechnen, müssen wir alle Pfade berücksichtigen, bei denen die Anzahl der Erfolge kleiner gleich $k$ sind. Hierzu addiert man die Wahrscheinlichkeiten der betroffenen Pfade:

    • $P(X\leq k)=P(X=0)+P(X=1)+...+P(X=k)$
    Die Wahrscheinlichkeit entlang eines Pfades mit $k$ Erfolgen erhältst du wie folgt:

    • $P(e_{k;n})=p^k+(1-p)^{n-k}$
    Da es bei einer Bernoulli-Kette $\binom{n}{k}$ solcher Pfade gibt, müssen wir diesen Term noch mit dem Binomialkoeffizienten multiplizieren, um alle Pfade zu berücksichtigen, in denen genau $k$ Erfolge auftreten:

    • $P(X=k)=\binom{n}{k}\cdot p^k+(1-p)^{n-k}$
  • Ermittle die gesuchte Wahrscheinlichkeit.

    Tipps

    Den Wert für $p$ erhältst du durch folgende Überlegung:

    • Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit mit einem herkömmlichen Würfel (Augenzahlen von $1$ bis $6$) eine $3$ zu würfeln?

    Gesucht ist die kumulierte Wahrscheinlichkeit.

    Lösung

    Wir berechnen im Folgenden die kumulierte Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei $40-$maligem Würfeln höchstens $5$ Mal eine $3$ gewürfelt wird?

    Die Erfolgswahrscheinlichkeit $p$ entspricht $\frac 16$. Das ist bei jedem Wurf die Wahrscheinlichkeit, mit der eine $3$ gewürfelt wird.

    Damit erhalten wir die folgende Berechnung:

    • $P(X=0)=\binom{40}{0}\cdot \left(\frac 16\right)^0\cdot \left(1-\frac 16\right)^{40-0} = 0,0006803778368$
    • $P(X=1)=\binom{40}{1}\cdot \left(\frac 16\right)^1\cdot \left(1-\frac 16\right)^{40-1} = 0,0054430226944$
    • $P(X=2)=\binom{40}{2}\cdot \left(\frac 16\right)^2\cdot \left(1-\frac 16\right)^{40-2} = 0,0212277885081$
    • $P(X=3)=\binom{40}{3}\cdot \left(\frac 16\right)^3\cdot \left(1-\frac 16\right)^{40-3} = 0,0537770642204$
    • $P(X=4)=\binom{40}{4}\cdot \left(\frac 16\right)^4\cdot \left(1-\frac 16\right)^{40-4} = 0,0994875688078$
    • $P(X=5)=\binom{40}{5}\cdot \left(\frac 16\right)^5\cdot \left(1-\frac 16\right)^{40-5} = 0,1432620990832$
    Damit ist:

    $\begin{array}{lll} P(X\leq 5) &=& P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)\\ &\approx & 0,3239 \\ &=& 32,39\% \end{array}$

  • Bestimme die Erfolgswahrscheinlichkeit auf drei Nachkommastellen genau.

    Tipps

    Es ist $n=10$ und $k=2$.

    Du benötigst folgende Formeln:

    • $P(X\leq k)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+ ... +P(X=k-1)+P(X=k)$
    • $P(X=k)=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$
    Lösung

    Wir möchten durch systematisches Probieren die gesuchte Wahrscheinlichkeit für den Ausschuss $p$ für $P(X\leq 2)\geq 0,9$ bestimmen. Hierzu setzen wir unterschiedliche Werte für $p$ in die Formel ein und berechnen $P(X\leq k)$. Wir benötigen folgende Formeln:

    • $P(X\leq k)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+ ... +P(X=k-1)+P(X=k)$
    • $P(X=k)=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$
    Wert 1 $~p=0,116$

    $P(X\leq 2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)$

    • $P(X=0)=0,291422211872058$
    • $P(X=1)=0,382409237298176$
    • $P(X=2)=0,225811789445303$
    Damit ist $P(X\leq 2)\approx 0,8996$

    Wert 2 $~p=0,115$

    $P(X\leq 2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)$

    • $P(X=0)=0,294735675445797$
    • $P(X=1)=0,382989860748775$
    • $P(X=2)=0,223951698234453$
    Damit ist $P(X\leq 2)\approx 0,9017$

    Wenn wir $p$ also auf drei Nachkommastellen genau bestimmen möchten, so wissen wir, dass $p=0,115$ unsere gesuchte Ausschusswahrscheinlichkeit ist.

    Wenn also mit höchstens $11,5\%$ Ausschuss produziert wird, ist die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens zwei von zehn zufällig ausgewählten Staubsaugern Ausschussstücke sind, größer als $90\%$.

  • Bestimme die jeweiligen Ansätze.

    Tipps

    Die Formulierungen „mehr als“ und „weniger als“ schließen die jeweilige Grenze nicht ein.

    Eine Münze wird $50$ Mal geworfen. Mit $P(X=2)$ bezeichnen wir die Wahrscheinlich, dass genau $2$ Mal Kopf geworfen wird.

    Lösung

    Die Formulierungen können wir wie folgt mit Relationszeichen ausdrücken:

    • „mehr als $32$“ $~\rightarrow~>32$
    • „weniger als $32$“ $~\rightarrow~<32$
    • „mindestens $32$“ $~\rightarrow~\geq 32$
    • „höchstens $32$“ $~\rightarrow~\leq 32$
    • „genau $32$ Mal“ $~\rightarrow~=32$
    Damit erhalten wir die folgenden Zuordnungen:

    • Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau $32$ Mal Kopf geworfen wird, schreiben wir als $P(X=32)$.
    • Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens $32$ Mal Kopf geworfen wird, schreiben wir als $P(X\geq 32)$.
    • Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass höchstens $32$ Mal Kopf geworfen wird, schreiben wir als $P(X\leq 32)$.
    • Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mehr als $32$ Mal Kopf geworfen wird, schreiben wir als $P(X>32)$.
    • Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass weniger als $32$ Mal Kopf geworfen wird, schreiben wir als $P(X<32)$.
  • Erschließe die gesuchte Wahrscheinlichkeit.

    Tipps

    Es gilt für die Gegenwahrscheinlichkeit:

    $P(X\geq k)=1-P(X\leq k-1)$

    Versuche es mit $p= 0,056$, $p= 0,069$ und $p= 0,078$.

    Lösung

    Wir möchten durch systematisches Probieren die gesuchte Wahrscheinlichkeit $p$ für $P(X\geq 3)\leq 0,15$ bestimmen. Das formulieren wir wie folgt:

    $P(X\geq 3)=1-P(X\leq 2)\leq 0,15$

    Nun setzen wir unterschiedliche Werte für $p$ in die Formel ein und berechnen $1-P(X\leq 2)$. Wir benötigen folgende Formeln:

    • $1-P(X\leq k)=1-(P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+ ... +P(X=k-1)+P(X=k))$
    • $P(X=k)=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$
    Für $p=0,067$ folgt:

    $P(X\leq 2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)$

    • $P(X=0)=0,249823262108031$
    • $P(X=1)=0,358802970230183$
    • $P(X=2)=0,244778232102371$
    Damit ist $1-P(X\leq 2)\approx 0,1466$

    Wenn das Gerät also mit höchstens $15\%$ nicht funktionieren soll, dürfen alle Teile mit maximal $6,7\%$ nicht funktionieren.

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